Theorem subneintrd 8624

Description: Introducing subtraction on both sides of a statement of inequality. Contrapositive of subcand 8621. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
subneintrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
subneintrd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐴 − 𝐶))

Proof of Theorem subneintrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subneintrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subaddd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	subcanad 8623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
6	5	necon3bid 2453	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐴 − 𝐶) ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
7	1, 6	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐴 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  (class class class)co 6049  ℂcc 8121   − cmin 8440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sub 8442

This theorem is referenced by: (None)