Theorem tfr0 6378

Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfr.1	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tfr0	⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Proof of Theorem tfr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
2	1	tfr0dm 6377	. . 3 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ dom 𝐹)
3	1	tfr2a 6376	. . 3 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
5		res0 4947	. . 3 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
6	5	fveq2i 5558	. 2 ⊢ (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
7	4, 6	eqtrdi 2242	1 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∅c0 3447  dom cdm 4660   ↾ cres 4662  ‘cfv 5255  recscrecs 6359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-recs 6360

This theorem is referenced by:  rdg0  6442  frec0g  6452