Theorem tfr0 6422

Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfr.1	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tfr0	⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Proof of Theorem tfr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
2	1	tfr0dm 6421	. . 3 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ dom 𝐹)
3	1	tfr2a 6420	. . 3 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
5		res0 4972	. . 3 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
6	5	fveq2i 5592	. 2 ⊢ (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
7	4, 6	eqtrdi 2255	1 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∅c0 3464  dom cdm 4683   ↾ cres 4685  ‘cfv 5280  recscrecs 6403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-recs 6404

This theorem is referenced by:  rdg0  6486  frec0g  6496