Theorem tfr0 6567

Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfr.1	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tfr0	⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Proof of Theorem tfr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
2	1	tfr0dm 6566	. . 3 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ dom 𝐹)
3	1	tfr2a 6565	. . 3 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
5		res0 5047	. . 3 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
6	5	fveq2i 5678	. 2 ⊢ (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
7	4, 6	eqtrdi 2283	1 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∅c0 3512  dom cdm 4754   ↾ cres 4756  ‘cfv 5357  recscrecs 6548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-recs 6549

This theorem is referenced by:  rdg0  6631  frec0g  6641