Theorem tfr0 6598

Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfr.1	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tfr0	⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Proof of Theorem tfr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
2	1	tfr0dm 6597	. . 3 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ dom 𝐹)
3	1	tfr2a 6596	. . 3 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
5		res0 5069	. . 3 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
6	5	fveq2i 5701	. 2 ⊢ (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
7	4, 6	eqtrdi 2287	1 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  dom cdm 4776   ↾ cres 4778  ‘cfv 5380  recscrecs 6579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-recs 6580

This theorem is used by:  rdg0  6662  frec0g  6672