Theorem tfr0 6532

Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfr.1	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tfr0	⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Proof of Theorem tfr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
2	1	tfr0dm 6531	. . 3 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ dom 𝐹)
3	1	tfr2a 6530	. . 3 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
5		res0 5023	. . 3 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
6	5	fveq2i 5651	. 2 ⊢ (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
7	4, 6	eqtrdi 2280	1 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∅c0 3496  dom cdm 4731   ↾ cres 4733  ‘cfv 5333  recscrecs 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-recs 6514

This theorem is referenced by:  rdg0  6596  frec0g  6606