ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfr0 GIF version

Theorem tfr0 6227
Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
tfr.1 𝐹 = recs(𝐺)
Assertion
Ref Expression
tfr0 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Proof of Theorem tfr0
StepHypRef Expression
1 tfr.1 . . . 4 𝐹 = recs(𝐺)
21tfr0dm 6226 . . 3 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ dom 𝐹)
31tfr2a 6225 . . 3 (∅ ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
42, 3syl 14 . 2 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
5 res0 4830 . . 3 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
65fveq2i 5431 . 2 (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
74, 6eqtrdi 2189 1 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1332  wcel 1481  c0 3367  dom cdm 4546  cres 4548  cfv 5130  recscrecs 6208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-res 4558  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-fv 5138  df-recs 6209
This theorem is referenced by:  rdg0  6291  frec0g  6301
  Copyright terms: Public domain W3C validator