Theorem tfrex 6149

Description: The transfinite recursion function is set-like if the input is. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrex.1	|- F = recs ( G )
tfrex.2	|- ( ph -> A. x ( Fun G /\ ( G ` x ) e. _V ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrex	|- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Distinct variable group:   x, G

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem tfrex

Dummy variables f g u y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrex.1	. . 3 |- F = recs ( G )
2	1	fveq1i 5321	. 2 |- ( F ` A ) = (recs ( G ) ` A )
3		eqid 2089	. . . 4 |- { g | E. z e. On ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) } = { g | E. z e. On ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) }
4	3	tfrlem3 6092	. . 3 |- { g | E. z e. On ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) } = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
5		tfrex.2	. . 3 |- ( ph -> A. x ( Fun G /\ ( G ` x ) e. _V ) )
6	4, 5	tfrexlem 6115	. 2 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> (recs ( G ) ` A ) e. _V )
7	2, 6	syl5eqel 2175	1 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1288   = wceq 1290   e. wcel 1439   {cab 2075   A.wral 2360   E.wrex 2361   _Vcvv 2622   Oncon0 4201   |` cres 4456   Fun wfun 5024   Fn wfn 5025   ` cfv 5030  recscrecs 6085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-recs 6086

This theorem is referenced by:  rdgexggg  6158