Theorem rdgexggg 6648

Description: The recursive definition generator produces a set on a set input. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgexggg	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. _V )

Proof of Theorem rdgexggg

Dummy variables g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6641	. . 3 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		rdgruledefgg 6646	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
3	2	alrimiv 1927	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> A. y ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
4	1, 3	tfrex 6639	. 2 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V ) /\ B e. W ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. _V )
5	4	3impa 1225	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   U_ciun 4012   |-> cmpt 4192   dom cdm 4774   Fun wfun 5371   Fn wfn 5372   ` cfv 5377   reccrdg 6640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-recs 6576  df-irdg 6641

This theorem is used by:  rdgexgg  6649  rdgisucinc  6656  omv  6728  oeiv  6729