Theorem rdgexggg 6353

Description: The recursive definition generator produces a set on a set input. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgexggg	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. _V )

Proof of Theorem rdgexggg

Dummy variables g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6346	. . 3 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		rdgruledefgg 6351	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
3	2	alrimiv 1867	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> A. y ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
4	1, 3	tfrex 6344	. 2 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V ) /\ B e. W ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. _V )
5	4	3impa 1189	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   u. cun 3119   U_ciun 3871   |-> cmpt 4048   dom cdm 4609   Fun wfun 5190   Fn wfn 5191   ` cfv 5196   reccrdg 6345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-recs 6281  df-irdg 6346

This theorem is referenced by:  rdgexgg  6354  rdgisucinc  6361  omv  6431  oeiv  6432