ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgexggg Unicode version

Theorem rdgexggg 6158
Description: The recursive definition generator produces a set on a set input. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
rdgexggg  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  e.  _V )

Proof of Theorem rdgexggg
Dummy variables  g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-irdg 6151 . . 3  |-  rec ( F ,  A )  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) )
2 rdgruledefgg 6156 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  y )  e.  _V ) )
32alrimiv 1803 . . 3  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  ->  A. y ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  y )  e.  _V ) )
41, 3tfrex 6149 . 2  |-  ( ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  /\  B  e.  W
)  ->  ( rec ( F ,  A ) `
 B )  e. 
_V )
543impa 1139 1  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 925    e. wcel 1439   _Vcvv 2622    u. cun 3000   U_ciun 3738    |-> cmpt 3907   dom cdm 4454   Fun wfun 5024    Fn wfn 5025   ` cfv 5030   reccrdg 6150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-recs 6086  df-irdg 6151
This theorem is referenced by:  rdgexgg  6159  rdgisucinc  6166  omv  6232  oeiv  6233
  Copyright terms: Public domain W3C validator