Theorem txlm 12290

Description: Two sequences converge iff the sequence of their ordered pairs converges. Proposition 14-2.6 of [Gleason] p. 230. (Contributed by NM, 16-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
txlm.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
txlm.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
txlm.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
txlm.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
txlm.f	|- ( ph -> F : Z --> X )
txlm.g	|- ( ph -> G : Z --> Y )
txlm.h	|- H = ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. )

Assertion

Ref	Expression
txlm	|- ( ph -> ( ( F ( ~~> t ` J ) R /\ G ( ~~> t ` K ) S ) <-> H ( ~~> t ` ( J tX K ) ) <. R , S >. ) )

Distinct variable groups:   n, F   ph, n   n, G   n, J   n, K   n, X   n, Y   n, Z

Allowed substitution hints:   R( n)   S( n)   H( n)   M( n)

Proof of Theorem txlm

Dummy variables j k u v w t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.27v 2533	. . . . . . . 8 |- ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. u e. J ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
2		r19.28v 2534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
3	2	ralimi 2469	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. J ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
4	1, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
5		simprl 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> w e. ( J tX K ) )
6		txlm.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
7		topontop 12024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> J e. Top )
9		txlm.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
10		topontop 12024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. Top )
12		eqid 2115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) )
13	12	txval 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
14	8, 11, 13	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
15	14	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
16	5, 15	eleqtrd 2193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
17		simprr 504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> <. R , S >. e. w )
18		tg2 12072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) /\ <. R , S >. e. w ) -> E. t e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> E. t e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) )
20		vex 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- u e. _V
21		vex 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- v e. _V
22	20, 21	xpex 4614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u X. v ) e. _V
23	22	rgen2w 2462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A. u e. J A. v e. K ( u X. v ) e. _V
24		eqid 2115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) = ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) )
25		eleq2 2178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( u X. v ) -> ( <. R , S >. e. t <-> <. R , S >. e. ( u X. v ) ) )
26		sseq1 3086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( u X. v ) -> ( t C_ w <-> ( u X. v ) C_ w ) )
27	25, 26	anbi12d 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( u X. v ) -> ( ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) <-> ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
28	24, 27	rexrnmpo 5840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. u e. J A. v e. K ( u X. v ) e. _V -> ( E. t e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) <-> E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
29	23, 28	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. t e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) <-> E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) )
30	19, 29	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) )
31	30	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) -> E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
32		r19.29 2543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. u e. J ( A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
33		r19.29 2543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. v e. K ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
34		simprl 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> <. R , S >. e. ( u X. v ) )
35		opelxp 4529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. R , S >. e. ( u X. v ) <-> ( R e. u /\ S e. v ) )
36	34, 35	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( R e. u /\ S e. v ) )
37		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. u -> ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
38		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( S e. v -> ( ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
39	37, 38	im2anan9 570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. u /\ S e. v ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
40	36, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
41		txlm.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- Z = ( ZZ>= ` M )
42	41	rexanuz2 10655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
43	41	uztrn2 9245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
44		opelxpi 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( u X. v ) )
45		txlm.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- H = ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. )
46		fveq2 5375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
47		fveq2 5375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
48	46, 47	opeq12d 3679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = k -> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. = <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. )
49		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> k e. Z )
50		txlm.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> F : Z --> X )
51	50	ad4antr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> F : Z --> X )
52	51, 49	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. X )
53		txlm.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> G : Z --> Y )
54	53	ad4antr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> G : Z --> Y )
55	54, 49	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. Y )
56		opexg 4110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( F ` k ) e. X /\ ( G ` k ) e. Y ) -> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. _V )
57	52, 55, 56	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. _V )
58	45, 48, 49, 57	fvmptd3 5468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. )
59	58	eleq1d 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. v ) <-> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( u X. v ) ) )
60	44, 59	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. ( u X. v ) ) )
61		simplrr 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( u X. v ) C_ w )
62	61	sseld 3062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. v ) -> ( H ` k ) e. w ) )
63	60, 62	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. w ) )
64	43, 63	sylan2 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. w ) )
65	64	anassrs 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. w ) )
66	65	ralimdva 2473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
67	66	reximdva 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
68	42, 67	syl5bir 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
69	40, 68	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
70	69	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) -> ( ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
71	70	impcomd 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) -> ( ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
72	71	rexlimdva 2523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( E. v e. K ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
73	33, 72	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( ( A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
74	73	rexlimdva 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E. u e. J ( A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
75	32, 74	syl5 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
76	75	expcomd 1400	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
77	31, 76	syld 45	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
78	77	expdimp 257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> ( <. R , S >. e. w -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
79	78	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
80	79	ralrimdva 2486	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
81	4, 80	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
82	81	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
83	8	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> J e. Top )
84	11	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> K e. Top )
85		simprr 504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> u e. J )
86		toponmax 12035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
87	9, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. K )
88	87	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> Y e. K )
89		txopn 12276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( u e. J /\ Y e. K ) ) -> ( u X. Y ) e. ( J tX K ) )
90	83, 84, 85, 88, 89	syl22anc 1200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( u X. Y ) e. ( J tX K ) )
91		eleq2 2178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( u X. Y ) -> ( <. R , S >. e. w <-> <. R , S >. e. ( u X. Y ) ) )
92		eleq2 2178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( u X. Y ) -> ( ( H ` k ) e. w <-> ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) )
93	92	rexralbidv 2435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( u X. Y ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) )
94	91, 93	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( u X. Y ) -> ( ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) <-> ( <. R , S >. e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) ) )
95	94	rspcv 2756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u X. Y ) e. ( J tX K ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( <. R , S >. e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) ) )
96	90, 95	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( <. R , S >. e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) ) )
97		simprl 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> S e. Y )
98		opelxpi 4531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. u /\ S e. Y ) -> <. R , S >. e. ( u X. Y ) )
99	97, 98	sylan2 282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. u /\ ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) ) -> <. R , S >. e. ( u X. Y ) )
100	99	expcom 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( R e. u -> <. R , S >. e. ( u X. Y ) ) )
101		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
102	50	ffvelrnda 5509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. X )
103	53	ffvelrnda 5509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. Y )
104	102, 103, 56	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. _V )
105	45, 48, 101, 104	fvmptd3 5468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. )
106	105	eleq1d 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. Y ) <-> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( u X. Y ) ) )
107		opelxp1 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( u X. Y ) -> ( F ` k ) e. u )
108	106, 107	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> ( F ` k ) e. u ) )
109	43, 108	sylan2 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> ( F ` k ) e. u ) )
110	109	anassrs 395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> ( F ` k ) e. u ) )
111	110	ralimdva 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
112	111	reximdva 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
113	112	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
114	100, 113	imim12d 74	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( ( <. R , S >. e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) -> ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
115	96, 114	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
116	115	anassrs 395	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. Y ) /\ u e. J ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
117	116	ralrimdva 2486	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S e. Y ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
118	117	adantrl 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
119	8	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> J e. Top )
120	11	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> K e. Top )
121		toponmax 12035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
122	6, 121	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. J )
123	122	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> X e. J )
124		simprr 504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> v e. K )
125		txopn 12276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( X e. J /\ v e. K ) ) -> ( X X. v ) e. ( J tX K ) )
126	119, 120, 123, 124, 125	syl22anc 1200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( X X. v ) e. ( J tX K ) )
127		eleq2 2178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( X X. v ) -> ( <. R , S >. e. w <-> <. R , S >. e. ( X X. v ) ) )
128		eleq2 2178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( X X. v ) -> ( ( H ` k ) e. w <-> ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) )
129	128	rexralbidv 2435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( X X. v ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) )
130	127, 129	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( X X. v ) -> ( ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) <-> ( <. R , S >. e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) ) )
131	130	rspcv 2756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X X. v ) e. ( J tX K ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( <. R , S >. e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) ) )
132	126, 131	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( <. R , S >. e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) ) )
133		opelxpi 4531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. X /\ S e. v ) -> <. R , S >. e. ( X X. v ) )
134	133	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. X -> ( S e. v -> <. R , S >. e. ( X X. v ) ) )
135	134	ad2antrl 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( S e. v -> <. R , S >. e. ( X X. v ) ) )
136	105	eleq1d 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( X X. v ) <-> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( X X. v ) ) )
137		opelxp2 4534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( X X. v ) -> ( G ` k ) e. v )
138	136, 137	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> ( G ` k ) e. v ) )
139	43, 138	sylan2 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> ( G ` k ) e. v ) )
140	139	anassrs 395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> ( G ` k ) e. v ) )
141	140	ralimdva 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
142	141	reximdva 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
143	142	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
144	135, 143	imim12d 74	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( ( <. R , S >. e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) -> ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
145	132, 144	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
146	145	anassrs 395	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ R e. X ) /\ v e. K ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
147	146	ralrimdva 2486	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R e. X ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
148	147	adantrr 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
149	118, 148	jcad 303	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) )
150	82, 149	impbid 128	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) <-> A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
151	150	pm5.32da 445	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) ) )
152		opelxp 4529	. . . 4 |- ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) <-> ( R e. X /\ S e. Y ) )
153	152	anbi1i 451	. . 3 |- ( ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
154	151, 153	syl6bbr 197	. 2 |- ( ph -> ( ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) <-> ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) ) )
155		txlm.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
156		eqidd 2116	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
157	6, 41, 155, 50, 156	lmbrf 12226	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) R <-> ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) ) )
158		eqidd 2116	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
159	9, 41, 155, 53, 158	lmbrf 12226	. . . 4 |- ( ph -> ( G ( ~~> t ` K ) S <-> ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) )
160	157, 159	anbi12d 462	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ( ~~> t ` J ) R /\ G ( ~~> t ` K ) S ) <-> ( ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) /\ ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) ) )
161		an4 558	. . 3 |- ( ( ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) /\ ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) )
162	160, 161	syl6bb 195	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( ~~> t ` J ) R /\ G ( ~~> t ` K ) S ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) ) )
163		txtopon 12273	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
164	6, 9, 163	syl2anc 406	. . 3 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
165	50	ffvelrnda 5509	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. X )
166	53	ffvelrnda 5509	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( G ` n ) e. Y )
167	165, 166	opelxpd 4532	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( X X. Y ) )
168	167, 45	fmptd 5528	. . 3 |- ( ph -> H : Z --> ( X X. Y ) )
169		eqidd 2116	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( H ` k ) )
170	164, 41, 155, 168, 169	lmbrf 12226	. 2 |- ( ph -> ( H ( ~~> t ` ( J tX K ) ) <. R , S >. <-> ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) ) )
171	154, 162, 170	3bitr4d 219	1 |- ( ph -> ( ( F ( ~~> t ` J ) R /\ G ( ~~> t ` K ) S ) <-> H ( ~~> t ` ( J tX K ) ) <. R , S >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   _Vcvv 2657   C_ wss 3037   <.cop 3496   class class class wbr 3895   |-> cmpt 3949   X. cxp 4497   ran crn 4500   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   e. cmpo 5730   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228   topGenctg 11978   Topctop 12007  TopOnctopon 12020   ~~> tclm 12199   tX ctx 12263

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pm 6499  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-topgen 11984  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053  df-lm 12202  df-tx 12264

This theorem is referenced by:  lmcn2  12291