Theorem txlm 12919

Description: Two sequences converge iff the sequence of their ordered pairs converges. Proposition 14-2.6 of [Gleason] p. 230. (Contributed by NM, 16-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
txlm.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
txlm.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
txlm.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
txlm.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
txlm.f	|- ( ph -> F : Z --> X )
txlm.g	|- ( ph -> G : Z --> Y )
txlm.h	|- H = ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. )

Assertion

Ref	Expression
txlm	|- ( ph -> ( ( F ( ~~> t ` J ) R /\ G ( ~~> t ` K ) S ) <-> H ( ~~> t ` ( J tX K ) ) <. R , S >. ) )

Distinct variable groups:   n, F   ph, n   n, G   n, J   n, K   n, X   n, Y   n, Z

Allowed substitution hints:   R( n)   S( n)   H( n)   M( n)

Proof of Theorem txlm

Dummy variables j k u v w t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.27v 2593	. . . . . . . 8 |- ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. u e. J ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
2		r19.28v 2594	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
3	2	ralimi 2529	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. J ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
4	1, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
5		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> w e. ( J tX K ) )
6		txlm.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
7		topontop 12652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> J e. Top )
9		txlm.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
10		topontop 12652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. Top )
12		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) )
13	12	txval 12895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
14	8, 11, 13	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
16	5, 15	eleqtrd 2245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
17		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> <. R , S >. e. w )
18		tg2 12700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) /\ <. R , S >. e. w ) -> E. t e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> E. t e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) )
20		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- u e. _V
21		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- v e. _V
22	20, 21	xpex 4719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u X. v ) e. _V
23	22	rgen2w 2522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A. u e. J A. v e. K ( u X. v ) e. _V
24		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) = ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) )
25		eleq2 2230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( u X. v ) -> ( <. R , S >. e. t <-> <. R , S >. e. ( u X. v ) ) )
26		sseq1 3165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( u X. v ) -> ( t C_ w <-> ( u X. v ) C_ w ) )
27	25, 26	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( u X. v ) -> ( ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) <-> ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
28	24, 27	rexrnmpo 5957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. u e. J A. v e. K ( u X. v ) e. _V -> ( E. t e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) <-> E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
29	23, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. t e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) <-> E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) )
30	19, 29	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) )
31	30	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) -> E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
32		r19.29 2603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. u e. J ( A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
33		r19.29 2603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. v e. K ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
34		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> <. R , S >. e. ( u X. v ) )
35		opelxp 4634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. R , S >. e. ( u X. v ) <-> ( R e. u /\ S e. v ) )
36	34, 35	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( R e. u /\ S e. v ) )
37		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. u -> ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
38		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( S e. v -> ( ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
39	37, 38	im2anan9 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. u /\ S e. v ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
40	36, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
41		txlm.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- Z = ( ZZ>= ` M )
42	41	rexanuz2 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
43	41	uztrn2 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
44		opelxpi 4636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( u X. v ) )
45		txlm.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- H = ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. )
46		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
47		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
48	46, 47	opeq12d 3766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = k -> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. = <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. )
49		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> k e. Z )
50		txlm.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> F : Z --> X )
51	50	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> F : Z --> X )
52	51, 49	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. X )
53		txlm.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> G : Z --> Y )
54	53	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> G : Z --> Y )
55	54, 49	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. Y )
56		opexg 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( F ` k ) e. X /\ ( G ` k ) e. Y ) -> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. _V )
57	52, 55, 56	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. _V )
58	45, 48, 49, 57	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. )
59	58	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. v ) <-> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( u X. v ) ) )
60	44, 59	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. ( u X. v ) ) )
61		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( u X. v ) C_ w )
62	61	sseld 3141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. v ) -> ( H ` k ) e. w ) )
63	60, 62	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. w ) )
64	43, 63	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. w ) )
65	64	anassrs 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. w ) )
66	65	ralimdva 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
67	66	reximdva 2568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
68	42, 67	syl5bir 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
69	40, 68	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
70	69	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) -> ( ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
71	70	impcomd 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) -> ( ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
72	71	rexlimdva 2583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( E. v e. K ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
73	33, 72	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( ( A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
74	73	rexlimdva 2583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E. u e. J ( A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
75	32, 74	syl5 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
76	75	expcomd 1429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
77	31, 76	syld 45	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
78	77	expdimp 257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> ( <. R , S >. e. w -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
79	78	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
80	79	ralrimdva 2546	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
81	4, 80	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
82	81	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
83	8	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> J e. Top )
84	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> K e. Top )
85		simprr 522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> u e. J )
86		toponmax 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
87	9, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. K )
88	87	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> Y e. K )
89		txopn 12905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( u e. J /\ Y e. K ) ) -> ( u X. Y ) e. ( J tX K ) )
90	83, 84, 85, 88, 89	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( u X. Y ) e. ( J tX K ) )
91		eleq2 2230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( u X. Y ) -> ( <. R , S >. e. w <-> <. R , S >. e. ( u X. Y ) ) )
92		eleq2 2230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( u X. Y ) -> ( ( H ` k ) e. w <-> ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) )
93	92	rexralbidv 2492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( u X. Y ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) )
94	91, 93	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( u X. Y ) -> ( ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) <-> ( <. R , S >. e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) ) )
95	94	rspcv 2826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u X. Y ) e. ( J tX K ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( <. R , S >. e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) ) )
96	90, 95	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( <. R , S >. e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) ) )
97		simprl 521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> S e. Y )
98		opelxpi 4636	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. u /\ S e. Y ) -> <. R , S >. e. ( u X. Y ) )
99	97, 98	sylan2 284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. u /\ ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) ) -> <. R , S >. e. ( u X. Y ) )
100	99	expcom 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( R e. u -> <. R , S >. e. ( u X. Y ) ) )
101		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
102	50	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. X )
103	53	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. Y )
104	102, 103, 56	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. _V )
105	45, 48, 101, 104	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. )
106	105	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. Y ) <-> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( u X. Y ) ) )
107		opelxp1 4638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( u X. Y ) -> ( F ` k ) e. u )
108	106, 107	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> ( F ` k ) e. u ) )
109	43, 108	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> ( F ` k ) e. u ) )
110	109	anassrs 398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> ( F ` k ) e. u ) )
111	110	ralimdva 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
112	111	reximdva 2568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
113	112	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
114	100, 113	imim12d 74	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( ( <. R , S >. e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) -> ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
115	96, 114	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
116	115	anassrs 398	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. Y ) /\ u e. J ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
117	116	ralrimdva 2546	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S e. Y ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
118	117	adantrl 470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
119	8	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> J e. Top )
120	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> K e. Top )
121		toponmax 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
122	6, 121	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. J )
123	122	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> X e. J )
124		simprr 522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> v e. K )
125		txopn 12905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( X e. J /\ v e. K ) ) -> ( X X. v ) e. ( J tX K ) )
126	119, 120, 123, 124, 125	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( X X. v ) e. ( J tX K ) )
127		eleq2 2230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( X X. v ) -> ( <. R , S >. e. w <-> <. R , S >. e. ( X X. v ) ) )
128		eleq2 2230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( X X. v ) -> ( ( H ` k ) e. w <-> ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) )
129	128	rexralbidv 2492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( X X. v ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) )
130	127, 129	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( X X. v ) -> ( ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) <-> ( <. R , S >. e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) ) )
131	130	rspcv 2826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X X. v ) e. ( J tX K ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( <. R , S >. e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) ) )
132	126, 131	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( <. R , S >. e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) ) )
133		opelxpi 4636	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. X /\ S e. v ) -> <. R , S >. e. ( X X. v ) )
134	133	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. X -> ( S e. v -> <. R , S >. e. ( X X. v ) ) )
135	134	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( S e. v -> <. R , S >. e. ( X X. v ) ) )
136	105	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( X X. v ) <-> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( X X. v ) ) )
137		opelxp2 4639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( X X. v ) -> ( G ` k ) e. v )
138	136, 137	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> ( G ` k ) e. v ) )
139	43, 138	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> ( G ` k ) e. v ) )
140	139	anassrs 398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> ( G ` k ) e. v ) )
141	140	ralimdva 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
142	141	reximdva 2568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
143	142	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
144	135, 143	imim12d 74	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( ( <. R , S >. e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) -> ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
145	132, 144	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
146	145	anassrs 398	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ R e. X ) /\ v e. K ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
147	146	ralrimdva 2546	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R e. X ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
148	147	adantrr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
149	118, 148	jcad 305	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) )
150	82, 149	impbid 128	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) <-> A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
151	150	pm5.32da 448	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) ) )
152		opelxp 4634	. . . 4 |- ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) <-> ( R e. X /\ S e. Y ) )
153	152	anbi1i 454	. . 3 |- ( ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
154	151, 153	bitr4di 197	. 2 |- ( ph -> ( ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) <-> ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) ) )
155		txlm.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
156		eqidd 2166	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
157	6, 41, 155, 50, 156	lmbrf 12855	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) R <-> ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) ) )
158		eqidd 2166	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
159	9, 41, 155, 53, 158	lmbrf 12855	. . . 4 |- ( ph -> ( G ( ~~> t ` K ) S <-> ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) )
160	157, 159	anbi12d 465	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ( ~~> t ` J ) R /\ G ( ~~> t ` K ) S ) <-> ( ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) /\ ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) ) )
161		an4 576	. . 3 |- ( ( ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) /\ ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) )
162	160, 161	bitrdi 195	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( ~~> t ` J ) R /\ G ( ~~> t ` K ) S ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) ) )
163		txtopon 12902	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
164	6, 9, 163	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
165	50	ffvelrnda 5620	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. X )
166	53	ffvelrnda 5620	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( G ` n ) e. Y )
167	165, 166	opelxpd 4637	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( X X. Y ) )
168	167, 45	fmptd 5639	. . 3 |- ( ph -> H : Z --> ( X X. Y ) )
169		eqidd 2166	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( H ` k ) )
170	164, 41, 155, 168, 169	lmbrf 12855	. 2 |- ( ph -> ( H ( ~~> t ` ( J tX K ) ) <. R , S >. <-> ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) ) )
171	154, 162, 170	3bitr4d 219	1 |- ( ph -> ( ( F ( ~~> t ` J ) R /\ G ( ~~> t ` K ) S ) <-> H ( ~~> t ` ( J tX K ) ) <. R , S >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   <.cop 3579   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   X. cxp 4602   ran crn 4605   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   topGenctg 12571   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   ~~> tclm 12827   tX ctx 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pm 6617  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-topgen 12577  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-lm 12830  df-tx 12893

This theorem is referenced by:  lmcn2  12920