Theorem tgcnp 13003

Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
tgcn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
tgcn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
tgcnp.5	|- ( ph -> P e. X )

Assertion

Ref	Expression
tgcnp	|- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, F, y   x, J, y   x, K, y   x, P, y   ph, x   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem tgcnp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcn.1	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		tgcn.4	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		tgcnp.5	. . . 4 |- ( ph -> P e. X )
4		iscnp 12993	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
6		tgcn.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
7		topontop 12806	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
8	2, 7	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
9	6, 8	eqeltrrd 2248	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( topGen ` B ) e. Top )
10		tgclb 12859	. . . . . . . 8 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
11	9, 10	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. TopBases )
12		bastg 12855	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ( topGen ` B ) )
14	13, 6	sseqtrrd 3186	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ K )
15		ssralv 3211	. . . . 5 |- ( B C_ K -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
17	16	anim2d 335	. . 3 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
18	5, 17	sylbid 149	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
19	6	eleq2d 2240	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. K <-> z e. ( topGen ` B ) ) )
20	19	biimpa 294	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. K ) -> z e. ( topGen ` B ) )
21		tg2 12854	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( topGen ` B ) /\ ( F ` P ) e. z ) -> E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) )
22		r19.29 2607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. y e. B ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) )
23		sstr 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F " x ) C_ y /\ y C_ z ) -> ( F " x ) C_ z )
24	23	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y C_ z -> ( ( F " x ) C_ y -> ( F " x ) C_ z ) )
25	24	anim2d 335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ z -> ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
26	25	reximdv 2571	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ z -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
27	26	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( y C_ z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
28	27	imim2i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( F ` P ) e. y -> ( y C_ z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
29	28	imp32 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) )
30	29	rexlimivw 2583	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. B ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) )
31	22, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) )
32	31	expcom 115	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
33	21, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( topGen ` B ) /\ ( F ` P ) e. z ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
34	33	ex 114	. . . . . . 7 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> ( ( F ` P ) e. z -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
35	34	com23 78	. . . . . 6 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
36	20, 35	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. K ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
37	36	ralrimdva 2550	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
38	37	anim2d 335	. . 3 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) ) )
39		iscnp 12993	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) ) )
40	1, 2, 3, 39	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) ) )
41	38, 40	sylibrd 168	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) )
42	18, 41	impbid 128	1 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   "cima 4614   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   topGenctg 12594   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   TopBasesctb 12834   CnP ccnp 12980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-topgen 12600  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cnp 12983

This theorem is referenced by:  txcnp  13065  metcnp3  13305