Theorem tgcnp 15200

Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
tgcn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
tgcn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
tgcnp.5	|- ( ph -> P e. X )

Assertion

Ref	Expression
tgcnp	|- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, F, y   x, J, y   x, K, y   x, P, y   ph, x   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem tgcnp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcn.1	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		tgcn.4	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		tgcnp.5	. . . 4 |- ( ph -> P e. X )
4		iscnp 15190	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
6		tgcn.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
7		topontop 15005	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
8	2, 7	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
9	6, 8	eqeltrrd 2312	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( topGen ` B ) e. Top )
10		tgclb 15056	. . . . . . . 8 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
11	9, 10	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. TopBases )
12		bastg 15052	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ( topGen ` B ) )
14	13, 6	sseqtrrd 3281	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ K )
15		ssralv 3306	. . . . 5 |- ( B C_ K -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
17	16	anim2d 337	. . 3 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
18	5, 17	sylbid 150	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
19	6	eleq2d 2304	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. K <-> z e. ( topGen ` B ) ) )
20	19	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. K ) -> z e. ( topGen ` B ) )
21		tg2 15051	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( topGen ` B ) /\ ( F ` P ) e. z ) -> E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) )
22		r19.29 2682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. y e. B ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) )
23		sstr 3250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F " x ) C_ y /\ y C_ z ) -> ( F " x ) C_ z )
24	23	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y C_ z -> ( ( F " x ) C_ y -> ( F " x ) C_ z ) )
25	24	anim2d 337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ z -> ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
26	25	reximdv 2645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ z -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
27	26	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( y C_ z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
28	27	imim2i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( F ` P ) e. y -> ( y C_ z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
29	28	imp32 257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) )
30	29	rexlimivw 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. B ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) )
31	22, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) )
32	31	expcom 116	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
33	21, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( topGen ` B ) /\ ( F ` P ) e. z ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
34	33	ex 115	. . . . . . 7 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> ( ( F ` P ) e. z -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
35	34	com23 78	. . . . . 6 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
36	20, 35	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. K ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
37	36	ralrimdva 2624	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
38	37	anim2d 337	. . 3 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) ) )
39		iscnp 15190	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) ) )
40	1, 2, 3, 39	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) ) )
41	38, 40	sylibrd 169	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) )
42	18, 41	impbid 129	1 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   "cima 4757   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   topGenctg 13551   Topctop 14988  TopOnctopon 15001   TopBasesctb 15033   CnP ccnp 15177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-topgen 13557  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-cnp 15180

This theorem is referenced by:  txcnp  15262  metcnp3  15502