Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgcnp Unicode version

Theorem tgcnp 12580
 Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 TopOn
tgcn.3
tgcn.4 TopOn
tgcnp.5
Assertion
Ref Expression
tgcnp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem tgcnp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . . 4 TopOn
2 tgcn.4 . . . 4 TopOn
3 tgcnp.5 . . . 4
4 iscnp 12570 . . . 4 TopOn TopOn
51, 2, 3, 4syl3anc 1220 . . 3
6 tgcn.3 . . . . . . . . 9
7 topontop 12383 . . . . . . . . . 10 TopOn
82, 7syl 14 . . . . . . . . 9
96, 8eqeltrrd 2235 . . . . . . . 8
10 tgclb 12436 . . . . . . . 8
119, 10sylibr 133 . . . . . . 7
12 bastg 12432 . . . . . . 7
1311, 12syl 14 . . . . . 6
1413, 6sseqtrrd 3167 . . . . 5
15 ssralv 3192 . . . . 5
1614, 15syl 14 . . . 4
1716anim2d 335 . . 3
185, 17sylbid 149 . 2
196eleq2d 2227 . . . . . . 7
2019biimpa 294 . . . . . 6
21 tg2 12431 . . . . . . . . 9
22 r19.29 2594 . . . . . . . . . . 11
23 sstr 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2423expcom 115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2524anim2d 335 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625reximdv 2558 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14
2827imim2i 12 . . . . . . . . . . . . 13
2928imp32 255 . . . . . . . . . . . 12
3029rexlimivw 2570 . . . . . . . . . . 11
3122, 30syl 14 . . . . . . . . . 10
3231expcom 115 . . . . . . . . 9
3321, 32syl 14 . . . . . . . 8
3433ex 114 . . . . . . 7
3534com23 78 . . . . . 6
3620, 35syl 14 . . . . 5
3736ralrimdva 2537 . . . 4
3837anim2d 335 . . 3
39 iscnp 12570 . . . 4 TopOn TopOn
401, 2, 3, 39syl3anc 1220 . . 3
4138, 40sylibrd 168 . 2
4218, 41impbid 128 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435  wrex 2436   wss 3102  cima 4588  wf 5165  cfv 5169  (class class class)co 5821  ctg 12337  ctop 12366  TopOnctopon 12379  ctb 12411   ccnp 12557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-map 6592  df-topgen 12343  df-top 12367  df-topon 12380  df-bases 12412  df-cnp 12560 This theorem is referenced by:  txcnp  12642  metcnp3  12882
 Copyright terms: Public domain W3C validator