Theorem tgcnp 14445

Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
tgcn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
tgcn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
tgcnp.5	|- ( ph -> P e. X )

Assertion

Ref	Expression
tgcnp	|- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, F, y   x, J, y   x, K, y   x, P, y   ph, x   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem tgcnp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcn.1	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		tgcn.4	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		tgcnp.5	. . . 4 |- ( ph -> P e. X )
4		iscnp 14435	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
6		tgcn.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
7		topontop 14250	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
8	2, 7	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
9	6, 8	eqeltrrd 2274	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( topGen ` B ) e. Top )
10		tgclb 14301	. . . . . . . 8 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
11	9, 10	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. TopBases )
12		bastg 14297	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ( topGen ` B ) )
14	13, 6	sseqtrrd 3222	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ K )
15		ssralv 3247	. . . . 5 |- ( B C_ K -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
17	16	anim2d 337	. . 3 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
18	5, 17	sylbid 150	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
19	6	eleq2d 2266	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. K <-> z e. ( topGen ` B ) ) )
20	19	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. K ) -> z e. ( topGen ` B ) )
21		tg2 14296	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( topGen ` B ) /\ ( F ` P ) e. z ) -> E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) )
22		r19.29 2634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. y e. B ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) )
23		sstr 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F " x ) C_ y /\ y C_ z ) -> ( F " x ) C_ z )
24	23	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y C_ z -> ( ( F " x ) C_ y -> ( F " x ) C_ z ) )
25	24	anim2d 337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ z -> ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
26	25	reximdv 2598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ z -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
27	26	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( y C_ z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
28	27	imim2i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( F ` P ) e. y -> ( y C_ z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
29	28	imp32 257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) )
30	29	rexlimivw 2610	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. B ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) )
31	22, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) )
32	31	expcom 116	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
33	21, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( topGen ` B ) /\ ( F ` P ) e. z ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
34	33	ex 115	. . . . . . 7 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> ( ( F ` P ) e. z -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
35	34	com23 78	. . . . . 6 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
36	20, 35	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. K ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
37	36	ralrimdva 2577	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
38	37	anim2d 337	. . 3 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) ) )
39		iscnp 14435	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) ) )
40	1, 2, 3, 39	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) ) )
41	38, 40	sylibrd 169	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) )
42	18, 41	impbid 129	1 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   "cima 4666   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   topGenctg 12925   Topctop 14233  TopOnctopon 14246   TopBasesctb 14278   CnP ccnp 14422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-topgen 12931  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-cnp 14425

This theorem is referenced by:  txcnp  14507  metcnp3  14747