Theorem tgcnp 12220

Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
tgcn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
tgcn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
tgcnp.5	|- ( ph -> P e. X )

Assertion

Ref	Expression
tgcnp	|- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, F, y   x, J, y   x, K, y   x, P, y   ph, x   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem tgcnp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcn.1	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		tgcn.4	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		tgcnp.5	. . . 4 |- ( ph -> P e. X )
4		iscnp 12210	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1199	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
6		tgcn.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
7		topontop 12024	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
8	2, 7	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
9	6, 8	eqeltrrd 2192	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( topGen ` B ) e. Top )
10		tgclb 12077	. . . . . . . 8 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
11	9, 10	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. TopBases )
12		bastg 12073	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ( topGen ` B ) )
14	13, 6	sseqtr4d 3102	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ K )
15		ssralv 3127	. . . . 5 |- ( B C_ K -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
17	16	anim2d 333	. . 3 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
18	5, 17	sylbid 149	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
19	6	eleq2d 2184	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. K <-> z e. ( topGen ` B ) ) )
20	19	biimpa 292	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. K ) -> z e. ( topGen ` B ) )
21		tg2 12072	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( topGen ` B ) /\ ( F ` P ) e. z ) -> E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) )
22		r19.29 2543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. y e. B ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) )
23		sstr 3071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F " x ) C_ y /\ y C_ z ) -> ( F " x ) C_ z )
24	23	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y C_ z -> ( ( F " x ) C_ y -> ( F " x ) C_ z ) )
25	24	anim2d 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ z -> ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
26	25	reximdv 2507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ z -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
27	26	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( y C_ z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
28	27	imim2i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( F ` P ) e. y -> ( y C_ z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
29	28	imp32 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) )
30	29	rexlimivw 2519	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. B ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) )
31	22, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) /\ E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) )
32	31	expcom 115	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. B ( ( F ` P ) e. y /\ y C_ z ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
33	21, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( topGen ` B ) /\ ( F ` P ) e. z ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) )
34	33	ex 114	. . . . . . 7 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> ( ( F ` P ) e. z -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
35	34	com23 78	. . . . . 6 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
36	20, 35	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. K ) -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
37	36	ralrimdva 2486	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) )
38	37	anim2d 333	. . 3 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) ) )
39		iscnp 12210	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) ) )
40	1, 2, 3, 39	syl3anc 1199	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. K ( ( F ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ z ) ) ) ) )
41	38, 40	sylibrd 168	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) )
42	18, 41	impbid 128	1 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   C_ wss 3037   "cima 4502   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   topGenctg 11978   Topctop 12007  TopOnctopon 12020   TopBasesctb 12052   CnP ccnp 12198

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-topgen 11984  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053  df-cnp 12201

This theorem is referenced by:  txcnp  12282  metcnp3  12500