Theorem tgss3 14943

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgss3	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))

Proof of Theorem tgss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bastg 14926	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
3		sstr2 3245	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
5		tgvalex 13476	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (topGen‘𝐶) ∈ V)
6		tgss 14928	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝐶) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)))
7	5, 6	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)))
8	7	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶))))
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶))))
10		tgidm 14939	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (topGen‘(topGen‘𝐶)) = (topGen‘𝐶))
11	10	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (topGen‘(topGen‘𝐶)) = (topGen‘𝐶))
12	11	sseq2d 3268	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)) ↔ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶)))
13	9, 12	sylibd 149	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶)))
14	4, 13	impbid 129	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211  ‘cfv 5352  topGenctg 13467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-topgen 13473

This theorem is referenced by:  tgss2  14944  2basgeng  14947  xmettxlem  15374  xmettx  15375