Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgss3 GIF version

Theorem tgss3 12306
 Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgss3 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))

Proof of Theorem tgss3
StepHypRef Expression
1 bastg 12289 . . . 4 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
21adantr 274 . . 3 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
3 sstr2 3110 . . 3 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
42, 3syl 14 . 2 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
5 tgvalex 12278 . . . . . 6 (𝐶𝑊 → (topGen‘𝐶) ∈ V)
6 tgss 12291 . . . . . 6 (((topGen‘𝐶) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)))
75, 6sylan 281 . . . . 5 ((𝐶𝑊𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)))
87ex 114 . . . 4 (𝐶𝑊 → (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶))))
98adantl 275 . . 3 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶))))
10 tgidm 12302 . . . . 5 (𝐶𝑊 → (topGen‘(topGen‘𝐶)) = (topGen‘𝐶))
1110adantl 275 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (topGen‘(topGen‘𝐶)) = (topGen‘𝐶))
1211sseq2d 3133 . . 3 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)) ↔ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶)))
139, 12sylibd 148 . 2 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶)))
144, 13impbid 128 1 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  Vcvv 2690   ⊆ wss 3077  ‘cfv 5132  topGenctg 12194 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2692  df-sbc 2915  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fv 5140  df-topgen 12200 This theorem is referenced by:  tgss2  12307  2basgeng  12310  xmettxlem  12737  xmettx  12738
 Copyright terms: Public domain W3C validator