Theorem topontop 13294

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 13293	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) <-> ( J e. Top /\ B = U. J ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   U.cuni 3808   ` cfv 5213   Topctop 13277  TopOnctopon 13290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fv 5221  df-topon 13291

This theorem is referenced by:  topontopi  13296  topontopon  13300  toponmax  13305  topgele  13309  istps  13312  topontopn  13317  resttopon  13453  resttopon2  13460  lmfval  13474  cnfval  13476  cnpfval  13477  cnprcl2k  13488  cnpf2  13489  tgcn  13490  tgcnp  13491  iscnp4  13500  cnntr  13507  cncnp  13512  cnptopresti  13520  txtopon  13544  txcnp  13553  txlm  13561  cnmpt2res  13579  mopntop  13726  metcnpi  13797  metcnpi3  13799  dvfvalap  13932  dvfgg  13939  dvaddxxbr  13947  dvmulxxbr  13948