Theorem topontop 14519

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14518	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) <-> ( J e. Top /\ B = U. J ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   U.cuni 3850   ` cfv 5272   Topctop 14502  TopOnctopon 14515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-topon 14516

This theorem is referenced by:  topontopi  14521  topontopon  14525  toponmax  14530  topgele  14534  istps  14537  topontopn  14542  resttopon  14676  resttopon2  14683  lmfval  14697  cnfval  14699  cnpfval  14700  cnprcl2k  14711  cnpf2  14712  tgcn  14713  tgcnp  14714  iscnp4  14723  cnntr  14730  cncnp  14735  cnptopresti  14743  txtopon  14767  txcnp  14776  txlm  14784  cnmpt2res  14802  mopntop  14949  metcnpi  15020  metcnpi3  15022  dvfvalap  15186  dvfgg  15193  dvaddxxbr  15206  dvmulxxbr  15207