Theorem topontop 14336

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14335	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) <-> ( J e. Top /\ B = U. J ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   U.cuni 3840   ` cfv 5259   Topctop 14319  TopOnctopon 14332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-topon 14333

This theorem is referenced by:  topontopi  14338  topontopon  14342  toponmax  14347  topgele  14351  istps  14354  topontopn  14359  resttopon  14493  resttopon2  14500  lmfval  14514  cnfval  14516  cnpfval  14517  cnprcl2k  14528  cnpf2  14529  tgcn  14530  tgcnp  14531  iscnp4  14540  cnntr  14547  cncnp  14552  cnptopresti  14560  txtopon  14584  txcnp  14593  txlm  14601  cnmpt2res  14619  mopntop  14766  metcnpi  14837  metcnpi3  14839  dvfvalap  15003  dvfgg  15010  dvaddxxbr  15023  dvmulxxbr  15024