Theorem topontop 14896

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14895	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) <-> ( J e. Top /\ B = U. J ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   U.cuni 3916   ` cfv 5354   Topctop 14879  TopOnctopon 14892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-topon 14893

This theorem is referenced by:  topontopi  14898  topontopon  14902  toponmax  14907  topgele  14911  istps  14914  topontopn  14919  resttopon  15053  resttopon2  15060  lmfval  15075  cnfval  15076  cnpfval  15077  cnprcl2k  15088  cnpf2  15089  tgcn  15090  tgcnp  15091  iscnp4  15100  cnntr  15107  cncnp  15112  cnptopresti  15120  txtopon  15144  txcnp  15153  txlm  15161  cnmpt2res  15179  mopntop  15326  metcnpi  15397  metcnpi3  15399  dvfvalap  15563  dvfgg  15570  dvaddxxbr  15583  dvmulxxbr  15584