Theorem topontop 12170

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 12169	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) <-> ( J e. Top /\ B = U. J ) )
2	1	simplbi 272	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   U.cuni 3731   ` cfv 5118   Topctop 12153  TopOnctopon 12166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-topon 12167

This theorem is referenced by:  topontopi  12172  topontopon  12176  toponmax  12181  topgele  12185  istps  12188  topontopn  12193  resttopon  12329  resttopon2  12336  lmfval  12350  cnfval  12352  cnpfval  12353  cnprcl2k  12364  cnpf2  12365  tgcn  12366  tgcnp  12367  iscnp4  12376  cnntr  12383  cncnp  12388  cnptopresti  12396  txtopon  12420  txcnp  12429  txlm  12437  cnmpt2res  12455  mopntop  12602  metcnpi  12673  metcnpi3  12675  dvfvalap  12808  dvfgg  12815  dvaddxxbr  12823  dvmulxxbr  12824