Theorem topontop 13974

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 13973	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) <-> ( J e. Top /\ B = U. J ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   U.cuni 3824   ` cfv 5235   Topctop 13957  TopOnctopon 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-topon 13971

This theorem is referenced by:  topontopi  13976  topontopon  13980  toponmax  13985  topgele  13989  istps  13992  topontopn  13997  resttopon  14131  resttopon2  14138  lmfval  14152  cnfval  14154  cnpfval  14155  cnprcl2k  14166  cnpf2  14167  tgcn  14168  tgcnp  14169  iscnp4  14178  cnntr  14185  cncnp  14190  cnptopresti  14198  txtopon  14222  txcnp  14231  txlm  14239  cnmpt2res  14257  mopntop  14404  metcnpi  14475  metcnpi3  14477  dvfvalap  14610  dvfgg  14617  dvaddxxbr  14625  dvmulxxbr  14626