Theorem topontop 15257

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 15256	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) <-> ( J e. Top /\ B = U. J ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   U.cuni 3935   ` cfv 5380   Topctop 15240  TopOnctopon 15253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-topon 15254

This theorem is used by:  topontopi  15259  topontopon  15263  toponmax  15268  topgele  15272  istps  15275  topontopn  15280  resttopon  15414  resttopon2  15421  lmfval  15436  cnfval  15437  cnpfval  15438  cnprcl2k  15449  cnpf2  15450  tgcn  15451  tgcnp  15452  iscnp4  15461  cnntr  15468  cncnp  15473  cnptopresti  15481  txtopon  15505  txcnp  15514  txlm  15522  cnmpt2res  15540  mopntop  15687  metcnpi  15758  metcnpi3  15760  dvfvalap  15924  dvfgg  15931  dvaddxxbr  15944  dvmulxxbr  15945