Theorem topontop 12765

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 12764	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) <-> ( J e. Top /\ B = U. J ) )
2	1	simplbi 272	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   U.cuni 3794   ` cfv 5196   Topctop 12748  TopOnctopon 12761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-topon 12762

This theorem is referenced by:  topontopi  12767  topontopon  12771  toponmax  12776  topgele  12780  istps  12783  topontopn  12788  resttopon  12924  resttopon2  12931  lmfval  12945  cnfval  12947  cnpfval  12948  cnprcl2k  12959  cnpf2  12960  tgcn  12961  tgcnp  12962  iscnp4  12971  cnntr  12978  cncnp  12983  cnptopresti  12991  txtopon  13015  txcnp  13024  txlm  13032  cnmpt2res  13050  mopntop  13197  metcnpi  13268  metcnpi3  13270  dvfvalap  13403  dvfgg  13410  dvaddxxbr  13418  dvmulxxbr  13419