ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topgele GIF version

Theorem topgele 13669
Description: The topologies over the same set have the greatest element (the discrete topology) and the least element (the indiscrete topology). (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
topgele (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ({βˆ…, 𝑋} βŠ† 𝐽 ∧ 𝐽 βŠ† 𝒫 𝑋))

Proof of Theorem topgele
StepHypRef Expression
1 topontop 13654 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 0opn 13646 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
31, 2syl 14 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
4 toponmax 13665 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
5 0ex 4132 . . . 4 βˆ… ∈ V
6 prssg 3751 . . . 4 ((βˆ… ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) β†’ ((βˆ… ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) ↔ {βˆ…, 𝑋} βŠ† 𝐽))
75, 4, 6sylancr 414 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((βˆ… ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) ↔ {βˆ…, 𝑋} βŠ† 𝐽))
83, 4, 7mpbi2and 943 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ {βˆ…, 𝑋} βŠ† 𝐽)
9 toponuni 13655 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
10 eqimss2 3212 . . . 4 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ βˆͺ 𝐽 βŠ† 𝑋)
119, 10syl 14 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ 𝐽 βŠ† 𝑋)
12 sspwuni 3973 . . 3 (𝐽 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ 𝐽 βŠ† 𝑋)
1311, 12sylibr 134 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 βŠ† 𝒫 𝑋)
148, 13jca 306 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ({βˆ…, 𝑋} βŠ† 𝐽 ∧ 𝐽 βŠ† 𝒫 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131  βˆ…c0 3424  π’« cpw 3577  {cpr 3595  βˆͺ cuni 3811  β€˜cfv 5218  Topctop 13637  TopOnctopon 13650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-top 13638  df-topon 13651
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator