Theorem tpos0 6505

Description: Transposition of the empty set. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpos0	⊢ tpos ∅ = ∅

Proof of Theorem tpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4877	. . . 4 ⊢ Rel ∅
2		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ ∅ = ∅
3		fn0 5478	. . . . 5 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
4	2, 3	mpbir 146	. . . 4 ⊢ ∅ Fn ∅
5		tposfn2 6497	. . . 4 ⊢ (Rel ∅ → (∅ Fn ∅ → tpos ∅ Fn ◡∅))
6	1, 4, 5	mp2 16	. . 3 ⊢ tpos ∅ Fn ◡∅
7		cnv0 5166	. . . 4 ⊢ ◡∅ = ∅
8	7	fneq2i 5451	. . 3 ⊢ (tpos ∅ Fn ◡∅ ↔ tpos ∅ Fn ∅)
9	6, 8	mpbi 145	. 2 ⊢ tpos ∅ Fn ∅
10		fn0 5478	. 2 ⊢ (tpos ∅ Fn ∅ ↔ tpos ∅ = ∅)
11	9, 10	mpbi 145	1 ⊢ tpos ∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1398  ∅c0 3508  ^◡ccnv 4748  Rel wrel 4754   Fn wfn 5347  tpos ctpos 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-tpos 6476

This theorem is referenced by: (None)