Theorem tpos0 6483

Description: Transposition of the empty set. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpos0	⊢ tpos ∅ = ∅

Proof of Theorem tpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4858	. . . 4 ⊢ Rel ∅
2		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ ∅ = ∅
3		fn0 5459	. . . . 5 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
4	2, 3	mpbir 146	. . . 4 ⊢ ∅ Fn ∅
5		tposfn2 6475	. . . 4 ⊢ (Rel ∅ → (∅ Fn ∅ → tpos ∅ Fn ◡∅))
6	1, 4, 5	mp2 16	. . 3 ⊢ tpos ∅ Fn ◡∅
7		cnv0 5147	. . . 4 ⊢ ◡∅ = ∅
8	7	fneq2i 5432	. . 3 ⊢ (tpos ∅ Fn ◡∅ ↔ tpos ∅ Fn ∅)
9	6, 8	mpbi 145	. 2 ⊢ tpos ∅ Fn ∅
10		fn0 5459	. 2 ⊢ (tpos ∅ Fn ∅ ↔ tpos ∅ = ∅)
11	9, 10	mpbi 145	1 ⊢ tpos ∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1398  ∅c0 3496  ^◡ccnv 4730  Rel wrel 4736   Fn wfn 5328  tpos ctpos 6453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-tpos 6454

This theorem is referenced by: (None)