Theorem xrltled 9951

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 9950. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	|- ( ph -> A e. RR* )
xrltled.b	|- ( ph -> B e. RR* )
xrltled.altb	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
xrltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		xrltled.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
3		xrltled.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
4		xrltle 9950	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2177   class class class wbr 4054   RR*cxr 8136   < clt 8137   <_ cle 8138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-lttrn 8069

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-xp 4694  df-cnv 4696  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143

This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11657  xrbdtri  11672  pcadd2  12749  xblss2ps  14961  xblss2  14962  blhalf  14965  blssps  14984  blss  14985  bdmopn  15061  tgqioo  15112