Theorem xrltled 9756

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 9755. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	|- ( ph -> A e. RR* )
xrltled.b	|- ( ph -> B e. RR* )
xrltled.altb	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
xrltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		xrltled.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
3		xrltled.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
4		xrltle 9755	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   RR*cxr 7953   < clt 7954   <_ cle 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960

This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11224  xrbdtri  11239  xblss2ps  13198  xblss2  13199  blhalf  13202  blssps  13221  blss  13222  bdmopn  13298  tgqioo  13341