ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrltled Unicode version

Theorem xrltled 9614
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 9613. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrltled.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
xrltled.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
xrltled.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
xrltled  |-  ( ph  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem xrltled
StepHypRef Expression
1 xrltled.altb . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 xrltled.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3 xrltled.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
4 xrltle 9613 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )
52, 3, 4syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
61, 5mpd 13 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1481   class class class wbr 3936   RR*cxr 7822    < clt 7823    <_ cle 7824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-lttrn 7757
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-cnv 4554  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829
This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11061  xrbdtri  11076  xblss2ps  12610  xblss2  12611  blhalf  12614  blssps  12633  blss  12634  bdmopn  12710  tgqioo  12753
  Copyright terms: Public domain W3C validator