Theorem xrltled 9921

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 9920. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	|- ( ph -> A e. RR* )
xrltled.b	|- ( ph -> B e. RR* )
xrltled.altb	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
xrltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		xrltled.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
3		xrltled.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
4		xrltle 9920	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RR*cxr 8106   < clt 8107   <_ cle 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113

This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11572  xrbdtri  11587  pcadd2  12664  xblss2ps  14876  xblss2  14877  blhalf  14880  blssps  14899  blss  14900  bdmopn  14976  tgqioo  15027