Theorem xrltled 10151

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 10150. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	|- ( ph -> A e. RR* )
xrltled.b	|- ( ph -> B e. RR* )
xrltled.altb	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
xrltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		xrltled.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
3		xrltled.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
4		xrltle 10150	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   RR*cxr 8323   < clt 8324   <_ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330

This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11971  xrbdtri  11986  pcadd2  13064  xblss2ps  15395  xblss2  15396  blhalf  15399  blssps  15418  blss  15419  bdmopn  15495  tgqioo  15546