Theorem ioossicc 10111

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	|- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 10044	. 2 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
2		df-icc 10047	. 2 |- [,] = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
3		xrltle 9950	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( A < w -> A <_ w ) )
4		xrltle 9950	. 2 |- ( ( w e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( w < B -> w <_ B ) )
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 10054	1 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )

Syntax hints:   C_ wss 3170  (class class class)co 5962   < clt 8137   <_ cle 8138   (,)cioo 10040   [,]cicc 10043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-lttrn 8069

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-ioo 10044  df-icc 10047

This theorem is referenced by:  ioodisj  10145  dedekindicc  15190  ivthinc  15200  ivthdec  15201  reeff1olem  15328  cos0pilt1  15409  ioocosf1o  15411