Theorem ioossicc 10378

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	|- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 10311	. 2 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
2		df-icc 10314	. 2 |- [,] = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
3		xrltle 10217	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( A < w -> A <_ w ) )
4		xrltle 10217	. 2 |- ( ( w e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( w < B -> w <_ B ) )
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 10321	1 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )

This proof depends on syntax axioms:   C_ wss 3220  (class class class)co 6088   < clt 8366   <_ cle 8367   (,)cioo 10307   [,]cicc 10310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-ioo 10311  df-icc 10314

This theorem is used by:  ioodisj  10412  dedekindicc  15859  ivthinc  15869  ivthdec  15870  reeff1olem  15997  cos0pilt1  16080  ioocosf1o  16082