Theorem ioossicc 9933

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	|- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 9866	. 2 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
2		df-icc 9869	. 2 |- [,] = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
3		xrltle 9772	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( A < w -> A <_ w ) )
4		xrltle 9772	. 2 |- ( ( w e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( w < B -> w <_ B ) )
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 9876	1 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )

Syntax hints:   C_ wss 3129  (class class class)co 5868   < clt 7969   <_ cle 7970   (,)cioo 9862   [,]cicc 9865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-lttrn 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-ioo 9866  df-icc 9869

This theorem is referenced by:  ioodisj  9967  dedekindicc  13744  ivthinc  13754  ivthdec  13755  reeff1olem  13825  cos0pilt1  13906  ioocosf1o  13908