Theorem metcnpi3 13684

Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at P. A variation of metcnpi2 13683 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnpi3	|- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, X, y   x, Y, y   x, A, y   x, C, y   x, D, y   x, P, y

Proof of Theorem metcnpi3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
2		metcn.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
3	1, 2	metcnpi2 13683	. 2 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) )
4		rphalfcl 9668	. . . 4 |- ( z e. RR+ -> ( z / 2 ) e. RR+ )
5	4	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> ( z / 2 ) e. RR+ )
6		simplll 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
7		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> y e. X )
8	1	mopntopon 13610	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
9	6, 8	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
10		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
11	2	mopntopon 13610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
13		topontop 13179	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> K e. Top )
15		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
16		cnprcl2k 13373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
17	9, 14, 15, 16	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> P e. X )
18		xmetcl 13519	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ P e. X ) -> ( y C P ) e. RR* )
19	6, 7, 17, 18	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( y C P ) e. RR* )
20	4	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) e. RR+ )
21	20	rpxrd 9684	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) e. RR* )
22		rpxr 9648	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR+ -> z e. RR* )
23	22	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> z e. RR* )
24		rphalflt 9670	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR+ -> ( z / 2 ) < z )
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) < z )
26		xrlelttr 9793	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) /\ ( z / 2 ) < z ) -> ( y C P ) < z ) )
27	26	expcomd 1441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( z / 2 ) < z -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) /\ ( z / 2 ) < z ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) )
29	19, 21, 23, 25, 28	syl31anc 1241	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) )
30		cnpf2 13374	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
31	9, 12, 15, 30	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> F : X --> Y )
32	31, 7	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( F ` y ) e. Y )
33	31, 17	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( F ` P ) e. Y )
34		xmetcl 13519	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` Y ) /\ ( F ` y ) e. Y /\ ( F ` P ) e. Y ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* )
35	10, 32, 33, 34	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* )
36		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> A e. RR+ )
37	36	rpxrd 9684	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> A e. RR* )
38		xrltle 9785	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
39	35, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
40	29, 39	imim12d 74	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
41	40	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. X ) -> ( ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
42	41	ralimdva 2544	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
43	42	impr 379	. . 3 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
44		breq2 4004	. . . 4 |- ( x = ( z / 2 ) -> ( ( y C P ) <_ x <-> ( y C P ) <_ ( z / 2 ) ) )
45	44	rspceaimv 2849	. . 3 |- ( ( ( z / 2 ) e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
46	5, 43, 45	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
47	3, 46	rexlimddv 2599	1 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4000   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   RR*cxr 7981   < clt 7982   <_ cle 7983   / cdiv 8618   2c2 8959   RR+crp 9640   *Metcxmet 13147   MetOpencmopn 13152   Topctop 13162  TopOnctopon 13175   CnP ccnp 13353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cnp 13356

This theorem is referenced by: (None)