Theorem metcnpi3 12686

Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at P. A variation of metcnpi2 12685 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnpi3	|- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, X, y   x, Y, y   x, A, y   x, C, y   x, D, y   x, P, y

Proof of Theorem metcnpi3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
2		metcn.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
3	1, 2	metcnpi2 12685	. 2 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) )
4		rphalfcl 9469	. . . 4 |- ( z e. RR+ -> ( z / 2 ) e. RR+ )
5	4	ad2antrl 481	. . 3 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> ( z / 2 ) e. RR+ )
6		simplll 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
7		simprr 521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> y e. X )
8	1	mopntopon 12612	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
9	6, 8	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
10		simpllr 523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
11	2	mopntopon 12612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
13		topontop 12181	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> K e. Top )
15		simplrl 524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
16		cnprcl2k 12375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
17	9, 14, 15, 16	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> P e. X )
18		xmetcl 12521	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ P e. X ) -> ( y C P ) e. RR* )
19	6, 7, 17, 18	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( y C P ) e. RR* )
20	4	ad2antrl 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) e. RR+ )
21	20	rpxrd 9484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) e. RR* )
22		rpxr 9449	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR+ -> z e. RR* )
23	22	ad2antrl 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> z e. RR* )
24		rphalflt 9471	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR+ -> ( z / 2 ) < z )
25	24	ad2antrl 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) < z )
26		xrlelttr 9589	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) /\ ( z / 2 ) < z ) -> ( y C P ) < z ) )
27	26	expcomd 1417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( z / 2 ) < z -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) ) )
28	27	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) /\ ( z / 2 ) < z ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) )
29	19, 21, 23, 25, 28	syl31anc 1219	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) )
30		cnpf2 12376	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
31	9, 12, 15, 30	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> F : X --> Y )
32	31, 7	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( F ` y ) e. Y )
33	31, 17	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( F ` P ) e. Y )
34		xmetcl 12521	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` Y ) /\ ( F ` y ) e. Y /\ ( F ` P ) e. Y ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* )
35	10, 32, 33, 34	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* )
36		simplrr 525	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> A e. RR+ )
37	36	rpxrd 9484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> A e. RR* )
38		xrltle 9584	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
39	35, 37, 38	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
40	29, 39	imim12d 74	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
41	40	anassrs 397	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. X ) -> ( ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
42	41	ralimdva 2499	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
43	42	impr 376	. . 3 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
44		breq2 3933	. . . 4 |- ( x = ( z / 2 ) -> ( ( y C P ) <_ x <-> ( y C P ) <_ ( z / 2 ) ) )
45	44	rspceaimv 2797	. . 3 |- ( ( ( z / 2 ) e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
46	5, 43, 45	syl2anc 408	. 2 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
47	3, 46	rexlimddv 2554	1 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801   / cdiv 8432   2c2 8771   RR+crp 9441   *Metcxmet 12149   MetOpencmopn 12154   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   CnP ccnp 12355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-cnp 12358

This theorem is referenced by: (None)