Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metcnpi3 Unicode version

Theorem metcnpi3 12748
 Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at . A variation of metcnpi2 12747 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2
metcn.4
Assertion
Ref Expression
metcnpi3
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem metcnpi3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3
2 metcn.4 . . 3
31, 2metcnpi2 12747 . 2
4 rphalfcl 9521 . . . 4
6 simplll 523 . . . . . . . . 9
7 simprr 522 . . . . . . . . 9
81mopntopon 12674 . . . . . . . . . . 11 TopOn
96, 8syl 14 . . . . . . . . . 10 TopOn
10 simpllr 524 . . . . . . . . . . . 12
112mopntopon 12674 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . 11 TopOn
13 topontop 12243 . . . . . . . . . . 11 TopOn
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10
15 simplrl 525 . . . . . . . . . 10
16 cnprcl2k 12437 . . . . . . . . . 10 TopOn
179, 14, 15, 16syl3anc 1217 . . . . . . . . 9
18 xmetcl 12583 . . . . . . . . 9
196, 7, 17, 18syl3anc 1217 . . . . . . . 8
204ad2antrl 482 . . . . . . . . 9
2120rpxrd 9537 . . . . . . . 8
22 rpxr 9501 . . . . . . . . 9
2322ad2antrl 482 . . . . . . . 8
24 rphalflt 9523 . . . . . . . . 9
2524ad2antrl 482 . . . . . . . 8
26 xrlelttr 9642 . . . . . . . . . 10
2726expcomd 1418 . . . . . . . . 9
2827imp 123 . . . . . . . 8
2919, 21, 23, 25, 28syl31anc 1220 . . . . . . 7
30 cnpf2 12438 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
319, 12, 15, 30syl3anc 1217 . . . . . . . . . 10
3231, 7ffvelrnd 5566 . . . . . . . . 9
3331, 17ffvelrnd 5566 . . . . . . . . 9
34 xmetcl 12583 . . . . . . . . 9
3510, 32, 33, 34syl3anc 1217 . . . . . . . 8
36 simplrr 526 . . . . . . . . 9
3736rpxrd 9537 . . . . . . . 8
38 xrltle 9637 . . . . . . . 8
3935, 37, 38syl2anc 409 . . . . . . 7
4029, 39imim12d 74 . . . . . 6
4140anassrs 398 . . . . 5
4241ralimdva 2503 . . . 4
4342impr 377 . . 3
44 breq2 3942 . . . 4
4544rspceaimv 2802 . . 3
465, 43, 45syl2anc 409 . 2
473, 46rexlimddv 2558 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  wrex 2418   class class class wbr 3938  wf 5129  cfv 5133  (class class class)co 5784  cxr 7846   clt 7847   cle 7848   cdiv 8479  c2 8818  crp 9493  cxmet 12211  cmopn 12216  ctop 12226  TopOnctopon 12239   ccnp 12417 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7758  ax-resscn 7759  ax-1cn 7760  ax-1re 7761  ax-icn 7762  ax-addcl 7763  ax-addrcl 7764  ax-mulcl 7765  ax-mulrcl 7766  ax-addcom 7767  ax-mulcom 7768  ax-addass 7769  ax-mulass 7770  ax-distr 7771  ax-i2m1 7772  ax-0lt1 7773  ax-1rid 7774  ax-0id 7775  ax-rnegex 7776  ax-precex 7777  ax-cnre 7778  ax-pre-ltirr 7779  ax-pre-ltwlin 7780  ax-pre-lttrn 7781  ax-pre-apti 7782  ax-pre-ltadd 7783  ax-pre-mulgt0 7784  ax-pre-mulext 7785  ax-arch 7786  ax-caucvg 7787 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4555  df-rel 4556  df-cnv 4557  df-co 4558  df-dm 4559  df-rn 4560  df-res 4561  df-ima 4562  df-iota 5098  df-fun 5135  df-fn 5136  df-f 5137  df-f1 5138  df-fo 5139  df-f1o 5140  df-fv 5141  df-isom 5142  df-riota 5740  df-ov 5787  df-oprab 5788  df-mpo 5789  df-1st 6048  df-2nd 6049  df-recs 6212  df-frec 6298  df-map 6554  df-sup 6884  df-inf 6885  df-pnf 7849  df-mnf 7850  df-xr 7851  df-ltxr 7852  df-le 7853  df-sub 7982  df-neg 7983  df-reap 8384  df-ap 8391  df-div 8480  df-inn 8768  df-2 8826  df-3 8827  df-4 8828  df-n0 9025  df-z 9102  df-uz 9374  df-q 9462  df-rp 9494  df-xneg 9612  df-xadd 9613  df-seqfrec 10273  df-exp 10347  df-cj 10669  df-re 10670  df-im 10671  df-rsqrt 10825  df-abs 10826  df-topgen 12203  df-psmet 12218  df-xmet 12219  df-bl 12221  df-mopn 12222  df-top 12227  df-topon 12240  df-bases 12272  df-cnp 12420 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator