Theorem metcnpi3 15382

Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at P. A variation of metcnpi2 15381 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnpi3	|- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, X, y   x, Y, y   x, A, y   x, C, y   x, D, y   x, P, y

Proof of Theorem metcnpi3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
2		metcn.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
3	1, 2	metcnpi2 15381	. 2 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) )
4		rphalfcl 10014	. . . 4 |- ( z e. RR+ -> ( z / 2 ) e. RR+ )
5	4	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> ( z / 2 ) e. RR+ )
6		simplll 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
7		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> y e. X )
8	1	mopntopon 15308	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
9	6, 8	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
10		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
11	2	mopntopon 15308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
13		topontop 14879	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> K e. Top )
15		simplrl 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
16		cnprcl2k 15071	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
17	9, 14, 15, 16	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> P e. X )
18		xmetcl 15217	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ P e. X ) -> ( y C P ) e. RR* )
19	6, 7, 17, 18	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( y C P ) e. RR* )
20	4	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) e. RR+ )
21	20	rpxrd 10030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) e. RR* )
22		rpxr 9994	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR+ -> z e. RR* )
23	22	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> z e. RR* )
24		rphalflt 10016	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR+ -> ( z / 2 ) < z )
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) < z )
26		xrlelttr 10139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) /\ ( z / 2 ) < z ) -> ( y C P ) < z ) )
27	26	expcomd 1487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( z / 2 ) < z -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) /\ ( z / 2 ) < z ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) )
29	19, 21, 23, 25, 28	syl31anc 1277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) )
30		cnpf2 15072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
31	9, 12, 15, 30	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> F : X --> Y )
32	31, 7	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( F ` y ) e. Y )
33	31, 17	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( F ` P ) e. Y )
34		xmetcl 15217	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` Y ) /\ ( F ` y ) e. Y /\ ( F ` P ) e. Y ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* )
35	10, 32, 33, 34	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* )
36		simplrr 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> A e. RR+ )
37	36	rpxrd 10030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> A e. RR* )
38		xrltle 10131	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
39	35, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
40	29, 39	imim12d 74	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
41	40	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. X ) -> ( ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
42	41	ralimdva 2609	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
43	42	impr 379	. . 3 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
44		breq2 4113	. . . 4 |- ( x = ( z / 2 ) -> ( ( y C P ) <_ x <-> ( y C P ) <_ ( z / 2 ) ) )
45	44	rspceaimv 2929	. . 3 |- ( ( ( z / 2 ) e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
46	5, 43, 45	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
47	3, 46	rexlimddv 2665	1 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   class class class wbr 4109   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   RR*cxr 8307   < clt 8308   <_ cle 8309   / cdiv 8946   2c2 9288   RR+crp 9986   *Metcxmet 14684   MetOpencmopn 14689   Topctop 14862  TopOnctopon 14875   CnP ccnp 15051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-map 6884  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-cnp 15054

This theorem is referenced by: (None)