Theorem metcnpi3 14989

Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at P. A variation of metcnpi2 14988 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnpi3	|- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, X, y   x, Y, y   x, A, y   x, C, y   x, D, y   x, P, y

Proof of Theorem metcnpi3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
2		metcn.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
3	1, 2	metcnpi2 14988	. 2 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) )
4		rphalfcl 9803	. . . 4 |- ( z e. RR+ -> ( z / 2 ) e. RR+ )
5	4	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> ( z / 2 ) e. RR+ )
6		simplll 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
7		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> y e. X )
8	1	mopntopon 14915	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
9	6, 8	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
10		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
11	2	mopntopon 14915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
13		topontop 14486	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> K e. Top )
15		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
16		cnprcl2k 14678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
17	9, 14, 15, 16	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> P e. X )
18		xmetcl 14824	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ P e. X ) -> ( y C P ) e. RR* )
19	6, 7, 17, 18	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( y C P ) e. RR* )
20	4	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) e. RR+ )
21	20	rpxrd 9819	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) e. RR* )
22		rpxr 9783	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR+ -> z e. RR* )
23	22	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> z e. RR* )
24		rphalflt 9805	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR+ -> ( z / 2 ) < z )
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) < z )
26		xrlelttr 9928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) /\ ( z / 2 ) < z ) -> ( y C P ) < z ) )
27	26	expcomd 1461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( z / 2 ) < z -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) /\ ( z / 2 ) < z ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) )
29	19, 21, 23, 25, 28	syl31anc 1253	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) )
30		cnpf2 14679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
31	9, 12, 15, 30	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> F : X --> Y )
32	31, 7	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( F ` y ) e. Y )
33	31, 17	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( F ` P ) e. Y )
34		xmetcl 14824	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` Y ) /\ ( F ` y ) e. Y /\ ( F ` P ) e. Y ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* )
35	10, 32, 33, 34	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* )
36		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> A e. RR+ )
37	36	rpxrd 9819	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> A e. RR* )
38		xrltle 9920	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
39	35, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
40	29, 39	imim12d 74	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
41	40	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. X ) -> ( ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
42	41	ralimdva 2573	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
43	42	impr 379	. . 3 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
44		breq2 4048	. . . 4 |- ( x = ( z / 2 ) -> ( ( y C P ) <_ x <-> ( y C P ) <_ ( z / 2 ) ) )
45	44	rspceaimv 2885	. . 3 |- ( ( ( z / 2 ) e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
46	5, 43, 45	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
47	3, 46	rexlimddv 2628	1 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   class class class wbr 4044   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   RR*cxr 8106   < clt 8107   <_ cle 8108   / cdiv 8745   2c2 9087   RR+crp 9775   *Metcxmet 14298   MetOpencmopn 14303   Topctop 14469  TopOnctopon 14482   CnP ccnp 14658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-map 6737  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-xneg 9894  df-xadd 9895  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-topgen 13092  df-psmet 14305  df-xmet 14306  df-bl 14308  df-mopn 14309  df-top 14470  df-topon 14483  df-bases 14515  df-cnp 14661

This theorem is referenced by: (None)