Theorem blssps 13221

Description: Any point P in a ball B can be centered in another ball that is a subset of B. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blssps	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. ran ( ball ` D ) /\ P e. B ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B )

Distinct variable groups:   x, B   x, D   x, P   x, X

Proof of Theorem blssps

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blrnps 13205	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( B e. ran ( ball ` D ) <-> E. y e. X E. r e. RR* B = ( y ( ball ` D ) r ) ) )
2		elblps 13184	. . . . . . 7 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) <-> ( P e. X /\ ( y D P ) < r ) ) )
3		simpl1 995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> D e. (PsMet ` X ) )
4		simpl2 996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> y e. X )
5		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> P e. X )
6		psmetcl 13120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ P e. X ) -> ( y D P ) e. RR* )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( y D P ) e. RR* )
8		simpl3 997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> r e. RR* )
9		qbtwnxr 10214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y D P ) e. RR* /\ r e. RR* /\ ( y D P ) < r ) -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) )
10	9	3expia 1200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y D P ) e. RR* /\ r e. RR* ) -> ( ( y D P ) < r -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) )
11	7, 8, 10	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( ( y D P ) < r -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) )
12		qre 9584	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. QQ -> z e. RR )
13		simpll1 1031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
14		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> P e. X )
15		simpll2 1032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> y e. X )
16		psmetsym 13123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) -> ( P D y ) = ( y D P ) )
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) = ( y D P ) )
18		simprrl 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( y D P ) < z )
19	17, 18	eqbrtrd 4011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) < z )
20		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. RR )
21		psmetcl 13120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) -> ( P D y ) e. RR* )
22	13, 14, 15, 21	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. RR* )
23		rexr 7965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. RR -> z e. RR* )
24	23	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. RR* )
25	22, 24, 19	xrltled 9756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ z )
26		psmetlecl 13128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( P e. X /\ y e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( P D y ) <_ z ) ) -> ( P D y ) e. RR )
27	13, 14, 15, 20, 25, 26	syl122anc 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. RR )
28		difrp 9649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P D y ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( P D y ) < z <-> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ ) )
29	27, 20, 28	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( ( P D y ) < z <-> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ ) )
30	19, 29	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ )
31	20, 27	resubcld 8300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( P D y ) ) e. RR )
32	22	xrleidd 9758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ ( P D y ) )
33	20	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. CC )
34	27	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. CC )
35	33, 34	nncand 8235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( z - ( P D y ) ) ) = ( P D y ) )
36	32, 35	breqtrrd 4017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ ( z - ( z - ( P D y ) ) ) )
37		blss2ps 13200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) /\ ( ( z - ( P D y ) ) e. RR /\ z e. RR /\ ( P D y ) <_ ( z - ( z - ( P D y ) ) ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) z ) )
38	13, 14, 15, 31, 20, 36, 37	syl33anc 1248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) z ) )
39		simpll3 1033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> r e. RR* )
40		simprrr 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z < r )
41	24, 39, 40	xrltled 9756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z <_ r )
42		ssblps 13219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X ) /\ ( z e. RR* /\ r e. RR* ) /\ z <_ r ) -> ( y ( ball ` D ) z ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
43	13, 15, 24, 39, 41, 42	syl221anc 1244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( y ( ball ` D ) z ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
44	38, 43	sstrd 3157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
45		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( z - ( P D y ) ) -> ( P ( ball ` D ) x ) = ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) )
46	45	sseq1d 3176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( z - ( P D y ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) <-> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
47	46	rspcev 2834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z - ( P D y ) ) e. RR+ /\ ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
48	30, 44, 47	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
49	48	expr 373	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ z e. RR ) -> ( ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
50	12, 49	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ z e. QQ ) -> ( ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
51	50	rexlimdva 2587	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
52	11, 51	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( ( y D P ) < r -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
53	52	expimpd 361	. . . . . . 7 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( ( P e. X /\ ( y D P ) < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
54	2, 53	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
55		eleq2 2234	. . . . . . 7 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B <-> P e. ( y ( ball ` D ) r ) ) )
56		sseq2 3171	. . . . . . . 8 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ B <-> ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
57	56	rexbidv 2471	. . . . . . 7 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B <-> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
58	55, 57	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) <-> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) ) )
59	54, 58	syl5ibrcom 156	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
60	59	3expib 1201	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( ( y e. X /\ r e. RR* ) -> ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) ) )
61	60	rexlimdvv 2594	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR* B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
62	1, 61	sylbid 149	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( B e. ran ( ball ` D ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
63	62	3imp 1188	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. ran ( ball ` D ) /\ P e. B ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   ran crn 4612   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   RR*cxr 7953   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   QQcq 9578   RR+crp 9610  PsMetcpsmet 12773   ballcbl 12776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-psmet 12781  df-bl 12784

This theorem is referenced by:  blssexps  13223