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Theorem blssps 12606
Description: Any point  P in a ball  B can be centered in another ball that is a subset of  B. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blssps  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  P  e.  B )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, P    x, X

Proof of Theorem blssps
Dummy variables  r  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blrnps 12590 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D
)  <->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y (
ball `  D )
r ) ) )
2 elblps 12569 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y
( ball `  D )
r )  <->  ( P  e.  X  /\  (
y D P )  <  r ) ) )
3 simpl1 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
4 simpl2 985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  y  e.  X )
5 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
6 psmetcl 12505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
y D P )  e.  RR* )
73, 4, 5, 6syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
y D P )  e.  RR* )
8 simpl3 986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  r  e.  RR* )
9 qbtwnxr 10042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR*  /\  ( y D P )  < 
r )  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  < 
z  /\  z  <  r ) )
1093expia 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )
117, 8, 10syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )
12 qre 9424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  QQ  ->  z  e.  RR )
13 simpll1 1020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
14 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  P  e.  X
)
15 simpll2 1021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  y  e.  X
)
16 psmetsym 12508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
18 simprrl 528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( y D P )  <  z
)
1917, 18eqbrtrd 3950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <  z
)
20 simprl 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR )
21 psmetcl 12505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
2213, 14, 15, 21syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR* )
23 rexr 7818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
2423ad2antrl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR* )
2522, 24, 19xrltled 9592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  z
)
26 psmetlecl 12513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_  z )
)  ->  ( P D y )  e.  RR )
2713, 14, 15, 20, 25, 26syl122anc 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR )
28 difrp 9487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( P D y )  <  z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ ) )
2927, 20, 28syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( ( P D y )  < 
z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
)
3019, 29mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
3120, 27resubcld 8150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR )
3222xrleidd 9594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  ( P D y ) )
3320recnd 7801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  CC )
3427recnd 7801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  CC )
3533, 34nncand 8085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( z  -  ( P D y ) ) )  =  ( P D y ) )
3632, 35breqtrrd 3956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  (
z  -  ( z  -  ( P D y ) ) ) )
37 blss2ps 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  (
( z  -  ( P D y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_ 
( z  -  (
z  -  ( P D y ) ) ) ) )  -> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
z ) )
3813, 14, 15, 31, 20, 36, 37syl33anc 1231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P (
ball `  D )
( z  -  ( P D y ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
z ) )
39 simpll3 1022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  r  e.  RR* )
40 simprrr 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <  r
)
4124, 39, 40xrltled 9592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <_  r
)
42 ssblps 12604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X )  /\  (
z  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  z  <_  r )  ->  (
y ( ball `  D
) z )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4313, 15, 24, 39, 41, 42syl221anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
z )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )
4438, 43sstrd 3107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P (
ball `  D )
( z  -  ( P D y ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
r ) )
45 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( P
( ball `  D )
x )  =  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) ) )
4645sseq1d 3126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r )  <-> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
r ) ) )
4746rspcev 2789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+  /\  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4830, 44, 47syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4948expr 372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5012, 49sylan2 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  z  e.  QQ )  ->  ( ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5150rexlimdva 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  ( E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5211, 51syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5352expimpd 360 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  (
( P  e.  X  /\  ( y D P )  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
542, 53sylbid 149 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y
( ball `  D )
r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
55 eleq2 2203 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  <->  P  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
56 sseq2 3121 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P ( ball `  D ) x ) 
C_  B  <->  ( P
( ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
5756rexbidv 2438 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B 
<->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5855, 57imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B )  <->  ( P  e.  ( y ( ball `  D ) r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
5954, 58syl5ibrcom 156 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( B  =  ( y
( ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) )
60593expib 1184 . . . 4  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( (
y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  -> 
( B  =  ( y ( ball `  D
) r )  -> 
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) ) )
6160rexlimdvv 2556 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y ( ball `  D ) r )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
) ) )
621, 61sylbid 149 . 2  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D
)  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
) ) )
63623imp 1175 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  P  e.  B )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   E.wrex 2417    C_ wss 3071   class class class wbr 3929   ran crn 4540   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7626   RR*cxr 7806    < clt 7807    <_ cle 7808    - cmin 7940   QQcq 9418   RR+crp 9448  PsMetcpsmet 12158   ballcbl 12161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-psmet 12166  df-bl 12169
This theorem is referenced by:  blssexps  12608
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