Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blssps Unicode version

Theorem blssps 12606
 Description: Any point in a ball can be centered in another ball that is a subset of . (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blssps PsMet
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem blssps
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blrnps 12590 . . 3 PsMet
2 elblps 12569 . . . . . . 7 PsMet
3 simpl1 984 . . . . . . . . . . 11 PsMet PsMet
4 simpl2 985 . . . . . . . . . . 11 PsMet
5 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 PsMet
6 psmetcl 12505 . . . . . . . . . . 11 PsMet
73, 4, 5, 6syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10 PsMet
8 simpl3 986 . . . . . . . . . 10 PsMet
9 qbtwnxr 10042 . . . . . . . . . . 11
1093expia 1183 . . . . . . . . . 10
117, 8, 10syl2anc 408 . . . . . . . . 9 PsMet
12 qre 9424 . . . . . . . . . . 11
13 simpll1 1020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet PsMet
14 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
15 simpll2 1021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
16 psmetsym 12508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
1713, 14, 15, 16syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
18 simprrl 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
1917, 18eqbrtrd 3950 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
20 simprl 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
21 psmetcl 12505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 PsMet
2213, 14, 15, 21syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
23 rexr 7818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2423ad2antrl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
2522, 24, 19xrltled 9592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
26 psmetlecl 12513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
2713, 14, 15, 20, 25, 26syl122anc 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
28 difrp 9487 . . . . . . . . . . . . . . 15
2927, 20, 28syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
3019, 29mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
3120, 27resubcld 8150 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
3222xrleidd 9594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
3320recnd 7801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
3427recnd 7801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
3533, 34nncand 8085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
3632, 35breqtrrd 3956 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
37 blss2ps 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
3813, 14, 15, 31, 20, 36, 37syl33anc 1231 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
39 simpll3 1022 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
40 simprrr 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
4124, 39, 40xrltled 9592 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
42 ssblps 12604 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
4313, 15, 24, 39, 41, 42syl221anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
4438, 43sstrd 3107 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
45 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645sseq1d 3126 . . . . . . . . . . . . . 14
4746rspcev 2789 . . . . . . . . . . . . 13
4830, 44, 47syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
4948expr 372 . . . . . . . . . . 11 PsMet
5012, 49sylan2 284 . . . . . . . . . 10 PsMet
5150rexlimdva 2549 . . . . . . . . 9 PsMet
5211, 51syld 45 . . . . . . . 8 PsMet
5352expimpd 360 . . . . . . 7 PsMet
542, 53sylbid 149 . . . . . 6 PsMet
55 eleq2 2203 . . . . . . 7
56 sseq2 3121 . . . . . . . 8
5756rexbidv 2438 . . . . . . 7
5855, 57imbi12d 233 . . . . . 6
5954, 58syl5ibrcom 156 . . . . 5 PsMet
60593expib 1184 . . . 4 PsMet
6160rexlimdvv 2556 . . 3 PsMet
621, 61sylbid 149 . 2 PsMet
63623imp 1175 1 PsMet
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480  wrex 2417   wss 3071   class class class wbr 3929   crn 4540  cfv 5123  (class class class)co 5774  cr 7626  cxr 7806   clt 7807   cle 7808   cmin 7940  cq 9418  crp 9448  PsMetcpsmet 12158  cbl 12161 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-psmet 12166  df-bl 12169 This theorem is referenced by:  blssexps  12608
 Copyright terms: Public domain W3C validator