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Theorem blssps 13142
Description: Any point  P in a ball  B can be centered in another ball that is a subset of  B. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blssps  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  P  e.  B )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, P    x, X

Proof of Theorem blssps
Dummy variables  r  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blrnps 13126 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D
)  <->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y (
ball `  D )
r ) ) )
2 elblps 13105 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y
( ball `  D )
r )  <->  ( P  e.  X  /\  (
y D P )  <  r ) ) )
3 simpl1 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
4 simpl2 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  y  e.  X )
5 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
6 psmetcl 13041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
y D P )  e.  RR* )
73, 4, 5, 6syl3anc 1233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
y D P )  e.  RR* )
8 simpl3 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  r  e.  RR* )
9 qbtwnxr 10201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR*  /\  ( y D P )  < 
r )  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  < 
z  /\  z  <  r ) )
1093expia 1200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )
117, 8, 10syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )
12 qre 9571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  QQ  ->  z  e.  RR )
13 simpll1 1031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
14 simplr 525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  P  e.  X
)
15 simpll2 1032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  y  e.  X
)
16 psmetsym 13044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
18 simprrl 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( y D P )  <  z
)
1917, 18eqbrtrd 4009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <  z
)
20 simprl 526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR )
21 psmetcl 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
2213, 14, 15, 21syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR* )
23 rexr 7952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
2423ad2antrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR* )
2522, 24, 19xrltled 9743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  z
)
26 psmetlecl 13049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_  z )
)  ->  ( P D y )  e.  RR )
2713, 14, 15, 20, 25, 26syl122anc 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR )
28 difrp 9636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( P D y )  <  z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ ) )
2927, 20, 28syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( ( P D y )  < 
z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
)
3019, 29mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
3120, 27resubcld 8287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR )
3222xrleidd 9745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  ( P D y ) )
3320recnd 7935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  CC )
3427recnd 7935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  CC )
3533, 34nncand 8222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( z  -  ( P D y ) ) )  =  ( P D y ) )
3632, 35breqtrrd 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  (
z  -  ( z  -  ( P D y ) ) ) )
37 blss2ps 13121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  (
( z  -  ( P D y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_ 
( z  -  (
z  -  ( P D y ) ) ) ) )  -> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
z ) )
3813, 14, 15, 31, 20, 36, 37syl33anc 1248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P (
ball `  D )
( z  -  ( P D y ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
z ) )
39 simpll3 1033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  r  e.  RR* )
40 simprrr 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <  r
)
4124, 39, 40xrltled 9743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <_  r
)
42 ssblps 13140 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X )  /\  (
z  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  z  <_  r )  ->  (
y ( ball `  D
) z )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4313, 15, 24, 39, 41, 42syl221anc 1244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
z )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )
4438, 43sstrd 3157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P (
ball `  D )
( z  -  ( P D y ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
r ) )
45 oveq2 5858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( P
( ball `  D )
x )  =  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) ) )
4645sseq1d 3176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r )  <-> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
r ) ) )
4746rspcev 2834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+  /\  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4830, 44, 47syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4948expr 373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5012, 49sylan2 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  z  e.  QQ )  ->  ( ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5150rexlimdva 2587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  ( E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5211, 51syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5352expimpd 361 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  (
( P  e.  X  /\  ( y D P )  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
542, 53sylbid 149 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y
( ball `  D )
r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
55 eleq2 2234 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  <->  P  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
56 sseq2 3171 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P ( ball `  D ) x ) 
C_  B  <->  ( P
( ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
5756rexbidv 2471 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B 
<->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5855, 57imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B )  <->  ( P  e.  ( y ( ball `  D ) r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
5954, 58syl5ibrcom 156 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( B  =  ( y
( ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) )
60593expib 1201 . . . 4  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( (
y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  -> 
( B  =  ( y ( ball `  D
) r )  -> 
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) ) )
6160rexlimdvv 2594 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y ( ball `  D ) r )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
) ) )
621, 61sylbid 149 . 2  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D
)  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
) ) )
63623imp 1188 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  P  e.  B )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   E.wrex 2449    C_ wss 3121   class class class wbr 3987   ran crn 4610   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   RRcr 7760   RR*cxr 7940    < clt 7941    <_ cle 7942    - cmin 8077   QQcq 9565   RR+crp 9597  PsMetcpsmet 12694   ballcbl 12697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-map 6624  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-xneg 9716  df-xadd 9717  df-psmet 12702  df-bl 12705
This theorem is referenced by:  blssexps  13144
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