Theorem blssps 13594

Description: Any point P in a ball B can be centered in another ball that is a subset of B. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blssps	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. ran ( ball ` D ) /\ P e. B ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B )

Distinct variable groups:   x, B   x, D   x, P   x, X

Proof of Theorem blssps

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blrnps 13578	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( B e. ran ( ball ` D ) <-> E. y e. X E. r e. RR* B = ( y ( ball ` D ) r ) ) )
2		elblps 13557	. . . . . . 7 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) <-> ( P e. X /\ ( y D P ) < r ) ) )
3		simpl1 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> D e. (PsMet ` X ) )
4		simpl2 1001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> y e. X )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> P e. X )
6		psmetcl 13493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ P e. X ) -> ( y D P ) e. RR* )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( y D P ) e. RR* )
8		simpl3 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> r e. RR* )
9		qbtwnxr 10244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y D P ) e. RR* /\ r e. RR* /\ ( y D P ) < r ) -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) )
10	9	3expia 1205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y D P ) e. RR* /\ r e. RR* ) -> ( ( y D P ) < r -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) )
11	7, 8, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( ( y D P ) < r -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) )
12		qre 9614	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. QQ -> z e. RR )
13		simpll1 1036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
14		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> P e. X )
15		simpll2 1037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> y e. X )
16		psmetsym 13496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) -> ( P D y ) = ( y D P ) )
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) = ( y D P ) )
18		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( y D P ) < z )
19	17, 18	eqbrtrd 4022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) < z )
20		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. RR )
21		psmetcl 13493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) -> ( P D y ) e. RR* )
22	13, 14, 15, 21	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. RR* )
23		rexr 7993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. RR -> z e. RR* )
24	23	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. RR* )
25	22, 24, 19	xrltled 9786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ z )
26		psmetlecl 13501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( P e. X /\ y e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( P D y ) <_ z ) ) -> ( P D y ) e. RR )
27	13, 14, 15, 20, 25, 26	syl122anc 1247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. RR )
28		difrp 9679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P D y ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( P D y ) < z <-> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ ) )
29	27, 20, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( ( P D y ) < z <-> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ ) )
30	19, 29	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ )
31	20, 27	resubcld 8328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( P D y ) ) e. RR )
32	22	xrleidd 9788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ ( P D y ) )
33	20	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. CC )
34	27	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. CC )
35	33, 34	nncand 8263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( z - ( P D y ) ) ) = ( P D y ) )
36	32, 35	breqtrrd 4028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ ( z - ( z - ( P D y ) ) ) )
37		blss2ps 13573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) /\ ( ( z - ( P D y ) ) e. RR /\ z e. RR /\ ( P D y ) <_ ( z - ( z - ( P D y ) ) ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) z ) )
38	13, 14, 15, 31, 20, 36, 37	syl33anc 1253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) z ) )
39		simpll3 1038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> r e. RR* )
40		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z < r )
41	24, 39, 40	xrltled 9786	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z <_ r )
42		ssblps 13592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X ) /\ ( z e. RR* /\ r e. RR* ) /\ z <_ r ) -> ( y ( ball ` D ) z ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
43	13, 15, 24, 39, 41, 42	syl221anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( y ( ball ` D ) z ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
44	38, 43	sstrd 3165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
45		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( z - ( P D y ) ) -> ( P ( ball ` D ) x ) = ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) )
46	45	sseq1d 3184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( z - ( P D y ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) <-> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
47	46	rspcev 2841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z - ( P D y ) ) e. RR+ /\ ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
48	30, 44, 47	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
49	48	expr 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ z e. RR ) -> ( ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
50	12, 49	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ z e. QQ ) -> ( ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
51	50	rexlimdva 2594	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
52	11, 51	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( ( y D P ) < r -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
53	52	expimpd 363	. . . . . . 7 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( ( P e. X /\ ( y D P ) < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
54	2, 53	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
55		eleq2 2241	. . . . . . 7 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B <-> P e. ( y ( ball ` D ) r ) ) )
56		sseq2 3179	. . . . . . . 8 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ B <-> ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
57	56	rexbidv 2478	. . . . . . 7 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B <-> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
58	55, 57	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) <-> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) ) )
59	54, 58	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
60	59	3expib 1206	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( ( y e. X /\ r e. RR* ) -> ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) ) )
61	60	rexlimdvv 2601	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR* B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
62	1, 61	sylbid 150	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( B e. ran ( ball ` D ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
63	62	3imp 1193	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. ran ( ball ` D ) /\ P e. B ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   ran crn 4624   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   RRcr 7801   RR*cxr 7981   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   QQcq 9608   RR+crp 9640  PsMetcpsmet 13146   ballcbl 13149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-psmet 13154  df-bl 13157

This theorem is referenced by:  blssexps  13596