Theorem blssps 15528

Description: Any point P in a ball B can be centered in another ball that is a subset of B. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blssps	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. ran ( ball ` D ) /\ P e. B ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B )

Distinct variable groups:   x, B   x, D   x, P   x, X

Proof of Theorem blssps

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blrnps 15512	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( B e. ran ( ball ` D ) <-> E. y e. X E. r e. RR* B = ( y ( ball ` D ) r ) ) )
2		elblps 15491	. . . . . . 7 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) <-> ( P e. X /\ ( y D P ) < r ) ) )
3		simpl1 1031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> D e. (PsMet ` X ) )
4		simpl2 1032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> y e. X )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> P e. X )
6		psmetcl 15427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ P e. X ) -> ( y D P ) e. RR* )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( y D P ) e. RR* )
8		simpl3 1033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> r e. RR* )
9		qbtwnxr 10692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y D P ) e. RR* /\ r e. RR* /\ ( y D P ) < r ) -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) )
10	9	3expia 1236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y D P ) e. RR* /\ r e. RR* ) -> ( ( y D P ) < r -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) )
11	7, 8, 10	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( ( y D P ) < r -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) )
12		qre 10025	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. QQ -> z e. RR )
13		simpll1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
14		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> P e. X )
15		simpll2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> y e. X )
16		psmetsym 15430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) -> ( P D y ) = ( y D P ) )
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) = ( y D P ) )
18		simprrl 545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( y D P ) < z )
19	17, 18	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) < z )
20		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. RR )
21		psmetcl 15427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) -> ( P D y ) e. RR* )
22	13, 14, 15, 21	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. RR* )
23		rexr 8371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. RR -> z e. RR* )
24	23	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. RR* )
25	22, 24, 19	xrltled 10201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ z )
26		psmetlecl 15435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( P e. X /\ y e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( P D y ) <_ z ) ) -> ( P D y ) e. RR )
27	13, 14, 15, 20, 25, 26	syl122anc 1287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. RR )
28		difrp 10093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P D y ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( P D y ) < z <-> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ ) )
29	27, 20, 28	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( ( P D y ) < z <-> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ ) )
30	19, 29	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ )
31	20, 27	resubcld 8708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( P D y ) ) e. RR )
32	22	xrleidd 10203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ ( P D y ) )
33	20	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. CC )
34	27	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. CC )
35	33, 34	nncand 8642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( z - ( P D y ) ) ) = ( P D y ) )
36	32, 35	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ ( z - ( z - ( P D y ) ) ) )
37		blss2ps 15507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) /\ ( ( z - ( P D y ) ) e. RR /\ z e. RR /\ ( P D y ) <_ ( z - ( z - ( P D y ) ) ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) z ) )
38	13, 14, 15, 31, 20, 36, 37	syl33anc 1293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) z ) )
39		simpll3 1069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> r e. RR* )
40		simprrr 546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z < r )
41	24, 39, 40	xrltled 10201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z <_ r )
42		ssblps 15526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X ) /\ ( z e. RR* /\ r e. RR* ) /\ z <_ r ) -> ( y ( ball ` D ) z ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
43	13, 15, 24, 39, 41, 42	syl221anc 1289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( y ( ball ` D ) z ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
44	38, 43	sstrd 3258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
45		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( z - ( P D y ) ) -> ( P ( ball ` D ) x ) = ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) )
46	45	sseq1d 3277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( z - ( P D y ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) <-> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
47	46	rspcev 2929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z - ( P D y ) ) e. RR+ /\ ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
48	30, 44, 47	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
49	48	expr 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ z e. RR ) -> ( ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
50	12, 49	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ z e. QQ ) -> ( ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
51	50	rexlimdva 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
52	11, 51	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( ( y D P ) < r -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
53	52	expimpd 363	. . . . . . 7 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( ( P e. X /\ ( y D P ) < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
54	2, 53	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
55		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B <-> P e. ( y ( ball ` D ) r ) ) )
56		sseq2 3272	. . . . . . . 8 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ B <-> ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
57	56	rexbidv 2551	. . . . . . 7 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B <-> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
58	55, 57	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) <-> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) ) )
59	54, 58	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
60	59	3expib 1237	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( ( y e. X /\ r e. RR* ) -> ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) ) )
61	60	rexlimdvv 2675	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR* B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
62	1, 61	sylbid 150	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( B e. ran ( ball ` D ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
63	62	3imp 1224	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. ran ( ball ` D ) /\ P e. B ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   ran crn 4775   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   RR*cxr 8359   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   QQcq 10019   RR+crp 10054  PsMetcpsmet 14872   ballcbl 14875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-psmet 14880  df-bl 14883

This theorem is used by:  blssexps  15530