ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrltled GIF version

Theorem xrltled 9773
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 9772. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrltled.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
xrltled (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem xrltled
StepHypRef Expression
1 xrltled.altb . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 xrltled.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 xrltled.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
4 xrltle 9772 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
52, 3, 4syl2anc 411 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
61, 5mpd 13 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2148   class class class wbr 4000  *cxr 7968   < clt 7969  cle 7970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-lttrn 7903
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4628  df-cnv 4630  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975
This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11240  xrbdtri  11255  xblss2ps  13537  xblss2  13538  blhalf  13541  blssps  13560  blss  13561  bdmopn  13637  tgqioo  13680
  Copyright terms: Public domain W3C validator