ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrltled GIF version

Theorem xrltled 9478
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 9477. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrltled.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
xrltled (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem xrltled
StepHypRef Expression
1 xrltled.altb . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 xrltled.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 xrltled.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
4 xrltle 9477 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
52, 3, 4syl2anc 406 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
61, 5mpd 13 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1463   class class class wbr 3895  *cxr 7723   < clt 7724  cle 7725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-lttrn 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-cnv 4507  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730
This theorem is referenced by:  xrmaxadd  10922  xrbdtri  10937  xblss2ps  12393  xblss2  12394  blhalf  12397  blssps  12416  blss  12417  bdmopn  12493  tgqioo  12533
  Copyright terms: Public domain W3C validator