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Theorem blss 12636
Description: Any point  P in a ball  B can be centered in another ball that is a subset of  B. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blss  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D )  /\  P  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, P    x, X

Proof of Theorem blss
Dummy variables  r  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blrn 12620 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D )  <->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
2 elbl 12599 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y ( ball `  D
) r )  <->  ( P  e.  X  /\  (
y D P )  <  r ) ) )
3 simpl1 985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
4 simpl2 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  y  e.  X )
5 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  P  e.  X )
6 xmetcl 12560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X
)  ->  ( y D P )  e.  RR* )
73, 4, 5, 6syl3anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  ( y D P )  e.  RR* )
8 simpl3 987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  r  e.  RR* )
9 qbtwnxr 10066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR*  /\  ( y D P )  < 
r )  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  < 
z  /\  z  <  r ) )
1093expia 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )
117, 8, 10syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  ( (
y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  < 
z  /\  z  <  r ) ) )
12 qre 9444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  QQ  ->  z  e.  RR )
13 simpll1 1021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
14 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  P  e.  X )
15 simpll2 1022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  y  e.  X )
16 xmetsym 12576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
18 simprrl 529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  (
y D P )  <  z )
1917, 18eqbrtrd 3958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  < 
z )
20 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR )
21 xmetcl 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
2213, 14, 15, 21syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
23 rexr 7835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
2423ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR* )
2522, 24, 19xrltled 9615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_ 
z )
26 xmetlecl 12575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_  z ) )  ->  ( P D y )  e.  RR )
2713, 14, 15, 20, 25, 26syl122anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR )
28 difrp 9509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( P D y )  <  z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ ) )
2927, 20, 28syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  (
( P D y )  <  z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ ) )
3019, 29mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  (
z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
3120, 27resubcld 8167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  (
z  -  ( P D y ) )  e.  RR )
3222xrleidd 9617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
3320recnd 7818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  CC )
3427recnd 7818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  CC )
3533, 34nncand 8102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  (
z  -  ( z  -  ( P D y ) ) )  =  ( P D y ) )
3632, 35breqtrrd 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_ 
( z  -  (
z  -  ( P D y ) ) ) )
37 blss2 12615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( (
z  -  ( P D y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_ 
( z  -  (
z  -  ( P D y ) ) ) ) )  -> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
z ) )
3813, 14, 15, 31, 20, 36, 37syl33anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) )  C_  (
y ( ball `  D
) z ) )
39 simpll3 1023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  r  e.  RR* )
40 simprrr 530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <  r )
4124, 39, 40xrltled 9615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <_  r )
42 ssbl 12634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
z  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  z  <_  r )  ->  (
y ( ball `  D
) z )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4313, 15, 24, 39, 41, 42syl221anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  (
y ( ball `  D
) z )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4438, 43sstrd 3112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )
45 oveq2 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( P
( ball `  D )
x )  =  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) ) )
4645sseq1d 3131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r )  <-> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
r ) ) )
4746rspcev 2793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+  /\  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4830, 44, 47syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )
4948expr 373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  z  e.  RR )  ->  (
( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5012, 49sylan2 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  /\  z  e.  QQ )  ->  (
( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5150rexlimdva 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  ( E. z  e.  QQ  (
( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5211, 51syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  ( (
y D P )  <  r  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
5352expimpd 361 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( P  e.  X  /\  ( y D P )  < 
r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
542, 53sylbid 149 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y ( ball `  D
) r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
55 eleq2 2204 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  <->  P  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
56 sseq2 3126 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P ( ball `  D ) x ) 
C_  B  <->  ( P
( ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
5756rexbidv 2439 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B 
<->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5855, 57imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B )  <->  ( P  e.  ( y ( ball `  D ) r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
5954, 58syl5ibrcom 156 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( B  =  ( y ( ball `  D
) r )  -> 
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) )
60593expib 1185 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( B  =  ( y ( ball `  D
) r )  -> 
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) ) )
6160rexlimdvv 2559 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) )
621, 61sylbid 149 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) )
63623imp 1176 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D )  /\  P  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   E.wrex 2418    C_ wss 3076   class class class wbr 3937   ran crn 4548   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   RR*cxr 7823    < clt 7824    <_ cle 7825    - cmin 7957   QQcq 9438   RR+crp 9470   *Metcxmet 12188   ballcbl 12190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-map 6552  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-bl 12198
This theorem is referenced by:  blssex  12638  blin2  12640  metss  12702  metcnp3  12719
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