Theorem blss 12586

Description: Any point P in a ball B can be centered in another ball that is a subset of B. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
blss	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ran ( ball ` D ) /\ P e. B ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B )

Distinct variable groups:   x, B   x, D   x, P   x, X

Proof of Theorem blss

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blrn 12570	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( B e. ran ( ball ` D ) <-> E. y e. X E. r e. RR* B = ( y ( ball ` D ) r ) ) )
2		elbl 12549	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) <-> ( P e. X /\ ( y D P ) < r ) ) )
3		simpl1 984	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
4		simpl2 985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> y e. X )
5		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> P e. X )
6		xmetcl 12510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ P e. X ) -> ( y D P ) e. RR* )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( y D P ) e. RR* )
8		simpl3 986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> r e. RR* )
9		qbtwnxr 10028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y D P ) e. RR* /\ r e. RR* /\ ( y D P ) < r ) -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) )
10	9	3expia 1183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y D P ) e. RR* /\ r e. RR* ) -> ( ( y D P ) < r -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) )
11	7, 8, 10	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( ( y D P ) < r -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) )
12		qre 9410	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. QQ -> z e. RR )
13		simpll1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
14		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> P e. X )
15		simpll2 1021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> y e. X )
16		xmetsym 12526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) -> ( P D y ) = ( y D P ) )
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) = ( y D P ) )
18		simprrl 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( y D P ) < z )
19	17, 18	eqbrtrd 3945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) < z )
20		simprl 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. RR )
21		xmetcl 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) -> ( P D y ) e. RR* )
22	13, 14, 15, 21	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. RR* )
23		rexr 7804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. RR -> z e. RR* )
24	23	ad2antrl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. RR* )
25	22, 24, 19	xrltled 9578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ z )
26		xmetlecl 12525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( P e. X /\ y e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( P D y ) <_ z ) ) -> ( P D y ) e. RR )
27	13, 14, 15, 20, 25, 26	syl122anc 1225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. RR )
28		difrp 9473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P D y ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( P D y ) < z <-> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ ) )
29	27, 20, 28	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( ( P D y ) < z <-> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ ) )
30	19, 29	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ )
31	20, 27	resubcld 8136	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( P D y ) ) e. RR )
32	22	xrleidd 9580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ ( P D y ) )
33	20	recnd 7787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. CC )
34	27	recnd 7787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. CC )
35	33, 34	nncand 8071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( z - ( P D y ) ) ) = ( P D y ) )
36	32, 35	breqtrrd 3951	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ ( z - ( z - ( P D y ) ) ) )
37		blss2 12565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) /\ ( ( z - ( P D y ) ) e. RR /\ z e. RR /\ ( P D y ) <_ ( z - ( z - ( P D y ) ) ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) z ) )
38	13, 14, 15, 31, 20, 36, 37	syl33anc 1231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) z ) )
39		simpll3 1022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> r e. RR* )
40		simprrr 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z < r )
41	24, 39, 40	xrltled 9578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z <_ r )
42		ssbl 12584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( z e. RR* /\ r e. RR* ) /\ z <_ r ) -> ( y ( ball ` D ) z ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
43	13, 15, 24, 39, 41, 42	syl221anc 1227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( y ( ball ` D ) z ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
44	38, 43	sstrd 3102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
45		oveq2 5775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( z - ( P D y ) ) -> ( P ( ball ` D ) x ) = ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) )
46	45	sseq1d 3121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( z - ( P D y ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) <-> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
47	46	rspcev 2784	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z - ( P D y ) ) e. RR+ /\ ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
48	30, 44, 47	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
49	48	expr 372	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ z e. RR ) -> ( ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
50	12, 49	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ z e. QQ ) -> ( ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
51	50	rexlimdva 2547	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
52	11, 51	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( ( y D P ) < r -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
53	52	expimpd 360	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( ( P e. X /\ ( y D P ) < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
54	2, 53	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
55		eleq2 2201	. . . . . . 7 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B <-> P e. ( y ( ball ` D ) r ) ) )
56		sseq2 3116	. . . . . . . 8 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ B <-> ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
57	56	rexbidv 2436	. . . . . . 7 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B <-> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
58	55, 57	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) <-> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) ) )
59	54, 58	syl5ibrcom 156	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
60	59	3expib 1184	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( y e. X /\ r e. RR* ) -> ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) ) )
61	60	rexlimdvv 2554	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR* B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
62	1, 61	sylbid 149	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( B e. ran ( ball ` D ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
63	62	3imp 1175	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ran ( ball ` D ) /\ P e. B ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2415   C_ wss 3066   class class class wbr 3924   ran crn 4535   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RRcr 7612   RR*cxr 7792   < clt 7793   <_ cle 7794   - cmin 7926   QQcq 9404   RR+crp 9434   *Metcxmet 12138   ballcbl 12140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-map 6537  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-xneg 9552  df-xadd 9553  df-psmet 12145  df-xmet 12146  df-bl 12148

This theorem is referenced by:  blssex  12588  blin2  12590  metss  12652  metcnp3  12669