Theorem blss 15117

Description: Any point P in a ball B can be centered in another ball that is a subset of B. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
blss	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ran ( ball ` D ) /\ P e. B ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B )

Distinct variable groups:   x, B   x, D   x, P   x, X

Proof of Theorem blss

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blrn 15101	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( B e. ran ( ball ` D ) <-> E. y e. X E. r e. RR* B = ( y ( ball ` D ) r ) ) )
2		elbl 15080	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) <-> ( P e. X /\ ( y D P ) < r ) ) )
3		simpl1 1024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
4		simpl2 1025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> y e. X )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> P e. X )
6		xmetcl 15041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ P e. X ) -> ( y D P ) e. RR* )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( y D P ) e. RR* )
8		simpl3 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> r e. RR* )
9		qbtwnxr 10489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y D P ) e. RR* /\ r e. RR* /\ ( y D P ) < r ) -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) )
10	9	3expia 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y D P ) e. RR* /\ r e. RR* ) -> ( ( y D P ) < r -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) )
11	7, 8, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( ( y D P ) < r -> E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) )
12		qre 9832	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. QQ -> z e. RR )
13		simpll1 1060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
14		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> P e. X )
15		simpll2 1061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> y e. X )
16		xmetsym 15057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) -> ( P D y ) = ( y D P ) )
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) = ( y D P ) )
18		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( y D P ) < z )
19	17, 18	eqbrtrd 4105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) < z )
20		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. RR )
21		xmetcl 15041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) -> ( P D y ) e. RR* )
22	13, 14, 15, 21	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. RR* )
23		rexr 8203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. RR -> z e. RR* )
24	23	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. RR* )
25	22, 24, 19	xrltled 10007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ z )
26		xmetlecl 15056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( P e. X /\ y e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( P D y ) <_ z ) ) -> ( P D y ) e. RR )
27	13, 14, 15, 20, 25, 26	syl122anc 1280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. RR )
28		difrp 9900	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P D y ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( P D y ) < z <-> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ ) )
29	27, 20, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( ( P D y ) < z <-> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ ) )
30	19, 29	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( P D y ) ) e. RR+ )
31	20, 27	resubcld 8538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( P D y ) ) e. RR )
32	22	xrleidd 10009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ ( P D y ) )
33	20	recnd 8186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z e. CC )
34	27	recnd 8186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) e. CC )
35	33, 34	nncand 8473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( z - ( z - ( P D y ) ) ) = ( P D y ) )
36	32, 35	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P D y ) <_ ( z - ( z - ( P D y ) ) ) )
37		blss2 15096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ y e. X ) /\ ( ( z - ( P D y ) ) e. RR /\ z e. RR /\ ( P D y ) <_ ( z - ( z - ( P D y ) ) ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) z ) )
38	13, 14, 15, 31, 20, 36, 37	syl33anc 1286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) z ) )
39		simpll3 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> r e. RR* )
40		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z < r )
41	24, 39, 40	xrltled 10007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> z <_ r )
42		ssbl 15115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( z e. RR* /\ r e. RR* ) /\ z <_ r ) -> ( y ( ball ` D ) z ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
43	13, 15, 24, 39, 41, 42	syl221anc 1282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( y ( ball ` D ) z ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
44	38, 43	sstrd 3234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
45		oveq2 6015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( z - ( P D y ) ) -> ( P ( ball ` D ) x ) = ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) )
46	45	sseq1d 3253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( z - ( P D y ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) <-> ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
47	46	rspcev 2907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z - ( P D y ) ) e. RR+ /\ ( P ( ball ` D ) ( z - ( P D y ) ) ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
48	30, 44, 47	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ ( z e. RR /\ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) ) ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) )
49	48	expr 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ z e. RR ) -> ( ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
50	12, 49	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) /\ z e. QQ ) -> ( ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
51	50	rexlimdva 2648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( E. z e. QQ ( ( y D P ) < z /\ z < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
52	11, 51	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( ( y D P ) < r -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
53	52	expimpd 363	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( ( P e. X /\ ( y D P ) < r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
54	2, 53	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
55		eleq2 2293	. . . . . . 7 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B <-> P e. ( y ( ball ` D ) r ) ) )
56		sseq2 3248	. . . . . . . 8 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ B <-> ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
57	56	rexbidv 2531	. . . . . . 7 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B <-> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) )
58	55, 57	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) <-> ( P e. ( y ( ball ` D ) r ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( y ( ball ` D ) r ) ) ) )
59	54, 58	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
60	59	3expib 1230	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( y e. X /\ r e. RR* ) -> ( B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) ) )
61	60	rexlimdvv 2655	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR* B = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
62	1, 61	sylbid 150	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( B e. ran ( ball ` D ) -> ( P e. B -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B ) ) )
63	62	3imp 1217	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ran ( ball ` D ) /\ P e. B ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   ran crn 4720   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8009   RR*cxr 8191   < clt 8192   <_ cle 8193   - cmin 8328   QQcq 9826   RR+crp 9861   *Metcxmet 14515   ballcbl 14517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-xneg 9980  df-xadd 9981  df-psmet 14522  df-xmet 14523  df-bl 14525

This theorem is referenced by:  blssex  15119  blin2  15121  metss  15183  metcnp3  15200