Theorem blhalf 15202

Description: A ball of radius R / 2 is contained in a ball of radius R centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blhalf	|- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )

Proof of Theorem blhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
2		simplr 529	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Y e. X )
3		simprr 533	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) )
4		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> R e. RR )
5	4	rehalfcld 9433	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. RR )
6	5	rexrd 8271	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. RR* )
7		elbl 15185	. . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ ( R / 2 ) e. RR* ) -> ( Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) <-> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) ) )
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) <-> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) ) )
9	3, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) )
10	9	simpld 112	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Z e. X )
11		xmetcl 15146	. . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ Z e. X ) -> ( Y M Z ) e. RR* )
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) e. RR* )
13	9	simprd 114	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) < ( R / 2 ) )
14	12, 6, 13	xrltled 10078	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) <_ ( R / 2 ) )
15	5	recnd 8250	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. CC )
16	15, 15	pncand 8533	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) - ( R / 2 ) ) = ( R / 2 ) )
17	4	recnd 8250	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> R e. CC )
18	17	2halvesd 9432	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) = R )
19	18	oveq1d 6043	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) - ( R / 2 ) ) = ( R - ( R / 2 ) ) )
20	16, 19	eqtr3d 2266	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) = ( R - ( R / 2 ) ) )
21	14, 20	breqtrd 4119	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) <_ ( R - ( R / 2 ) ) )
22		blss2 15201	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ Z e. X ) /\ ( ( R / 2 ) e. RR /\ R e. RR /\ ( Y M Z ) <_ ( R - ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )
23	1, 2, 10, 5, 4, 21, 22	syl33anc 1289	1 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RRcr 8074   + caddc 8078   RR*cxr 8255   < clt 8256   <_ cle 8257   - cmin 8392   / cdiv 8894   2c2 9236   *Metcxmet 14615   ballcbl 14617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-2 9244  df-xneg 10051  df-xadd 10052  df-psmet 14622  df-xmet 14623  df-bl 14625

This theorem is referenced by: (None)