Theorem blhalf 15131

Description: A ball of radius R / 2 is contained in a ball of radius R centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blhalf	|- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )

Proof of Theorem blhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
2		simplr 529	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Y e. X )
3		simprr 533	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) )
4		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> R e. RR )
5	4	rehalfcld 9390	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. RR )
6	5	rexrd 8228	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. RR* )
7		elbl 15114	. . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ ( R / 2 ) e. RR* ) -> ( Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) <-> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) ) )
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) <-> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) ) )
9	3, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) )
10	9	simpld 112	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Z e. X )
11		xmetcl 15075	. . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ Z e. X ) -> ( Y M Z ) e. RR* )
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) e. RR* )
13	9	simprd 114	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) < ( R / 2 ) )
14	12, 6, 13	xrltled 10033	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) <_ ( R / 2 ) )
15	5	recnd 8207	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. CC )
16	15, 15	pncand 8490	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) - ( R / 2 ) ) = ( R / 2 ) )
17	4	recnd 8207	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> R e. CC )
18	17	2halvesd 9389	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) = R )
19	18	oveq1d 6032	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) - ( R / 2 ) ) = ( R - ( R / 2 ) ) )
20	16, 19	eqtr3d 2266	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) = ( R - ( R / 2 ) ) )
21	14, 20	breqtrd 4114	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) <_ ( R - ( R / 2 ) ) )
22		blss2 15130	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ Z e. X ) /\ ( ( R / 2 ) e. RR /\ R e. RR /\ ( Y M Z ) <_ ( R - ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )
23	1, 2, 10, 5, 4, 21, 22	syl33anc 1288	1 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   RRcr 8030   + caddc 8034   RR*cxr 8212   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   / cdiv 8851   2c2 9193   *Metcxmet 14549   ballcbl 14551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-2 9201  df-xneg 10006  df-xadd 10007  df-psmet 14556  df-xmet 14557  df-bl 14559

This theorem is referenced by: (None)