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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xrmaxadd | Unicode version |
Description: Distributing addition over maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.) |
Ref | Expression |
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xrmaxadd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr 109 |
. . 3
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2 | simpl2 986 |
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3 | simpl3 987 |
. . 3
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4 | xrmaxaddlem 11134 |
. . 3
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5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1217 |
. 2
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6 | simpllr 524 |
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7 | simpr 109 |
. . . . . 6
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8 | 6, 7 | oveq12d 5832 |
. . . . 5
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9 | simp1 982 |
. . . . . . . . 9
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10 | 9 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . 8
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11 | simp2 983 |
. . . . . . . . 9
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12 | 11 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . 8
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13 | 10, 12 | xaddcld 9766 |
. . . . . . 7
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14 | simp3 984 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . 8
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16 | 10, 15 | xaddcld 9766 |
. . . . . . 7
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17 | 13, 16 | jca 304 |
. . . . . 6
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18 | simplr 520 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 18, 19 | oveq12d 5832 |
. . . . . . . . . 10
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21 | pnfaddmnf 9732 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 20, 21 | eqtrdi 2203 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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24 | 8, 21 | eqtrdi 2203 |
. . . . . . . 8
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25 | 23, 24 | eqtr4d 2190 |
. . . . . . 7
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26 | 16 | xrleidd 9686 |
. . . . . . 7
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27 | 25, 26 | eqbrtrd 3982 |
. . . . . 6
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28 | xrmaxleim 11118 |
. . . . . 6
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29 | 17, 27, 28 | sylc 62 |
. . . . 5
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30 | 12, 15 | jca 304 |
. . . . . . . 8
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31 | simplr 520 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 31, 7 | eqtr4d 2190 |
. . . . . . . . 9
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33 | 15 | xrleidd 9686 |
. . . . . . . . 9
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34 | 32, 33 | eqbrtrd 3982 |
. . . . . . . 8
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35 | xrmaxleim 11118 |
. . . . . . . 8
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36 | 30, 34, 35 | sylc 62 |
. . . . . . 7
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37 | 36, 7 | eqtrd 2187 |
. . . . . 6
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38 | 6, 37 | oveq12d 5832 |
. . . . 5
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39 | 8, 29, 38 | 3eqtr4d 2197 |
. . . 4
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40 | simpllr 524 |
. . . . . . 7
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41 | 40 | oveq1d 5829 |
. . . . . 6
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42 | 14 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . 7
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43 | xaddpnf2 9729 |
. . . . . . 7
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44 | 42, 43 | sylancom 417 |
. . . . . 6
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45 | 41, 44 | eqtrd 2187 |
. . . . 5
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46 | 9, 11 | xaddcld 9766 |
. . . . . . . . 9
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47 | 46 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . 8
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48 | pnfge 9674 |
. . . . . . . 8
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49 | 47, 48 | syl 14 |
. . . . . . 7
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50 | 49, 45 | breqtrrd 3988 |
. . . . . 6
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51 | 9, 14 | xaddcld 9766 |
. . . . . . . 8
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52 | 51 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . 7
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65 | 64 | a1i 9 |
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77 | 76 | 3ad2ant3 1005 |
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102 | 100, 101 | jca 304 |
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107 | 82, 106 | sylancom 417 |
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108 | 105, 107 | eqtrd 2187 |
. . . . . . . 8
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109 | 104, 108 | breqtrrd 3988 |
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110 | xrmaxleim 11118 |
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111 | 102, 109, 110 | sylc 62 |
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112 | 111, 108 | eqtrd 2187 |
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113 | 99, 112 | syl5eq 2199 |
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114 | 95, 97, 113 | 3eqtr4rd 2198 |
. . 3
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115 | xrmnfdc 9725 |
. . . . . 6
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116 | dcne 2335 |
. . . . . 6
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117 | 115, 116 | sylib 121 |
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118 | 117 | 3ad2ant2 1004 |
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119 | 118 | adantr 274 |
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120 | 81, 114, 119 | mpjaodan 788 |
. 2
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121 | simpllr 524 |
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122 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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123 | 121, 122 | oveq12d 5832 |
. . . . . 6
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124 | mnfaddpnf 9733 |
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125 | 123, 124 | eqtrdi 2203 |
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126 | 46 | ad3antrrr 484 |
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127 | 51 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . 7
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128 | 126, 127 | jca 304 |
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129 | 0le0 8901 |
. . . . . . . 8
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130 | 129 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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131 | simplr 520 |
. . . . . . . . . 10
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132 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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133 | 131, 132 | oveq12d 5832 |
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134 | 133, 124 | eqtrdi 2203 |
. . . . . . . 8
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135 | 134 | adantr 274 |
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136 | 130, 135, 125 | 3brtr4d 3992 |
. . . . . 6
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137 | 128, 136, 28 | sylc 62 |
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138 | prcom 3631 |
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139 | 138 | supeq1i 6920 |
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141 | 11 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
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142 | 140, 141 | jca 304 |
. . . . . . . . . . 11
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143 | pnfge 9674 |
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144 | 143 | 3ad2ant3 1005 |
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146 | 145, 132 | breqtrrd 3988 |
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147 | xrmaxleim 11118 |
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. . . . . . . . . 10
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149 | 139, 148 | syl5eqr 2201 |
. . . . . . . . 9
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152 | 131 | oveq1d 5829 |
. . . . . . . 8
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153 | 152, 124 | eqtrdi 2203 |
. . . . . . 7
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154 | 151, 153 | eqtrd 2187 |
. . . . . 6
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156 | 125, 137, 155 | 3eqtr4d 2197 |
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169 | 162, 167, 168 | 3brtr4d 3992 |
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170 | 159, 169, 110 | sylc 62 |
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171 | 170, 168 | eqtrd 2187 |
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174 | 172, 173 | eqtr4d 2190 |
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175 | xrpnfdc 9724 |
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176 | dcne 2335 |
. . . . . . 7
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177 | 175, 176 | sylib 121 |
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. . . . . . . 8
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187 | simplr 520 |
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191 | 189, 190 | sylancom 417 |
. . . . . . . . 9
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192 | 188, 191 | eqtrd 2187 |
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195 | 192, 194 | eqbrtrd 3982 |
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196 | 186, 195, 28 | sylc 62 |
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202 | npnflt 9697 |
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204 | 201, 203 | mpbird 166 |
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205 | 204 | adantr 274 |
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206 | 205, 182 | breqtrrd 3988 |
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207 | 198, 199, 206 | xrltled 9684 |
. . . . . . . 8
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208 | 200, 207, 35 | sylc 62 |
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210 | 181, 209 | oveq12d 5832 |
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211 | 183, 197, 210 | 3eqtr4d 2197 |
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213 | 14 | ad3antrrr 484 |
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214 | 212, 213, 57 | syl2anc 409 |
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215 | 204 | adantr 274 |
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216 | simpr 109 |
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217 | npnflt 9697 |
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218 | 213, 217 | syl 14 |
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219 | 216, 218 | mpbird 166 |
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221 | pnfxr 7909 |
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222 | 221 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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223 | xrmaxltsup 11132 |
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224 | 212, 213, 222, 223 | syl3anc 1217 |
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225 | 220, 224 | mpbird 166 |
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226 | npnflt 9697 |
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227 | 214, 226 | syl 14 |
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228 | 225, 227 | mpbid 146 |
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229 | xaddmnf2 9731 |
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230 | 214, 228, 229 | syl2anc 409 |
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232 | 231 | oveq1d 5829 |
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233 | 196 | adantr 274 |
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234 | 231 | oveq1d 5829 |
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235 | 233, 234 | eqtrd 2187 |
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236 | 213, 165 | sylancom 417 |
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237 | 235, 236 | eqtrd 2187 |
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238 | 230, 232, 237 | 3eqtr4rd 2198 |
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239 | 178 | ad2antrr 480 |
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240 | 211, 238, 239 | mpjaodan 788 |
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241 | xrpnfdc 9724 |
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242 | 241 | 3ad2ant2 1004 |
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243 | dcne 2335 |
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244 | 242, 243 | sylib 121 |
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245 | 244 | adantr 274 |
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246 | 180, 240, 245 | mpjaodan 788 |
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247 | elxr 9661 |
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248 | 247 | biimpi 119 |
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249 | 248 | 3ad2ant1 1003 |
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250 | 5, 120, 246, 249 | mpjao3dan 1286 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1481 ax-10 1482 ax-11 1483 ax-i12 1484 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-17 1503 ax-i9 1507 ax-ial 1511 ax-i5r 1512 ax-13 2127 ax-14 2128 ax-ext 2136 ax-coll 4075 ax-sep 4078 ax-nul 4086 ax-pow 4130 ax-pr 4164 ax-un 4388 ax-setind 4490 ax-iinf 4541 ax-cnex 7802 ax-resscn 7803 ax-1cn 7804 ax-1re 7805 ax-icn 7806 ax-addcl 7807 ax-addrcl 7808 ax-mulcl 7809 ax-mulrcl 7810 ax-addcom 7811 ax-mulcom 7812 ax-addass 7813 ax-mulass 7814 ax-distr 7815 ax-i2m1 7816 ax-0lt1 7817 ax-1rid 7818 ax-0id 7819 ax-rnegex 7820 ax-precex 7821 ax-cnre 7822 ax-pre-ltirr 7823 ax-pre-ltwlin 7824 ax-pre-lttrn 7825 ax-pre-apti 7826 ax-pre-ltadd 7827 ax-pre-mulgt0 7828 ax-pre-mulext 7829 ax-arch 7830 ax-caucvg 7831 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1740 df-eu 2006 df-mo 2007 df-clab 2141 df-cleq 2147 df-clel 2150 df-nfc 2285 df-ne 2325 df-nel 2420 df-ral 2437 df-rex 2438 df-reu 2439 df-rmo 2440 df-rab 2441 df-v 2711 df-sbc 2934 df-csb 3028 df-dif 3100 df-un 3102 df-in 3104 df-ss 3111 df-nul 3391 df-if 3502 df-pw 3541 df-sn 3562 df-pr 3563 df-op 3565 df-uni 3769 df-int 3804 df-iun 3847 df-br 3962 df-opab 4022 df-mpt 4023 df-tr 4059 df-id 4248 df-po 4251 df-iso 4252 df-iord 4321 df-on 4323 df-ilim 4324 df-suc 4326 df-iom 4544 df-xp 4585 df-rel 4586 df-cnv 4587 df-co 4588 df-dm 4589 df-rn 4590 df-res 4591 df-ima 4592 df-iota 5128 df-fun 5165 df-fn 5166 df-f 5167 df-f1 5168 df-fo 5169 df-f1o 5170 df-fv 5171 df-riota 5770 df-ov 5817 df-oprab 5818 df-mpo 5819 df-1st 6078 df-2nd 6079 df-recs 6242 df-frec 6328 df-sup 6916 df-pnf 7893 df-mnf 7894 df-xr 7895 df-ltxr 7896 df-le 7897 df-sub 8027 df-neg 8028 df-reap 8429 df-ap 8436 df-div 8525 df-inn 8813 df-2 8871 df-3 8872 df-4 8873 df-n0 9070 df-z 9147 df-uz 9419 df-rp 9539 df-xneg 9657 df-xadd 9658 df-seqfrec 10323 df-exp 10397 df-cj 10719 df-re 10720 df-im 10721 df-rsqrt 10875 df-abs 10876 |
This theorem is referenced by: xrminadd 11149 |
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