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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xrmaxadd | Unicode version |
Description: Distributing addition over maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.) |
Ref | Expression |
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xrmaxadd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr 109 |
. . 3
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2 | simpl2 953 |
. . 3
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3 | simpl3 954 |
. . 3
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4 | xrmaxaddlem 10868 |
. . 3
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5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1184 |
. 2
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6 | simpllr 504 |
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7 | simpr 109 |
. . . . . 6
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8 | 6, 7 | oveq12d 5724 |
. . . . 5
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9 | simp1 949 |
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10 | 9 | ad3antrrr 479 |
. . . . . . . 8
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11 | simp2 950 |
. . . . . . . . 9
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12 | 11 | ad3antrrr 479 |
. . . . . . . 8
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13 | 10, 12 | xaddcld 9508 |
. . . . . . 7
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14 | simp3 951 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | ad3antrrr 479 |
. . . . . . . 8
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16 | 10, 15 | xaddcld 9508 |
. . . . . . 7
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17 | 13, 16 | jca 302 |
. . . . . 6
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18 | simplr 500 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 18, 19 | oveq12d 5724 |
. . . . . . . . . 10
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21 | pnfaddmnf 9474 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 20, 21 | syl6eq 2148 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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24 | 8, 21 | syl6eq 2148 |
. . . . . . . 8
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25 | 23, 24 | eqtr4d 2135 |
. . . . . . 7
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26 | 16 | xrleidd 9428 |
. . . . . . 7
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27 | 25, 26 | eqbrtrd 3895 |
. . . . . 6
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28 | xrmaxleim 10852 |
. . . . . 6
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29 | 17, 27, 28 | sylc 62 |
. . . . 5
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30 | 12, 15 | jca 302 |
. . . . . . . 8
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31 | simplr 500 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 31, 7 | eqtr4d 2135 |
. . . . . . . . 9
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33 | 15 | xrleidd 9428 |
. . . . . . . . 9
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34 | 32, 33 | eqbrtrd 3895 |
. . . . . . . 8
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35 | xrmaxleim 10852 |
. . . . . . . 8
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36 | 30, 34, 35 | sylc 62 |
. . . . . . 7
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37 | 36, 7 | eqtrd 2132 |
. . . . . 6
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38 | 6, 37 | oveq12d 5724 |
. . . . 5
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39 | 8, 29, 38 | 3eqtr4d 2142 |
. . . 4
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40 | simpllr 504 |
. . . . . . 7
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41 | 40 | oveq1d 5721 |
. . . . . 6
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42 | 14 | ad3antrrr 479 |
. . . . . . 7
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43 | xaddpnf2 9471 |
. . . . . . 7
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44 | 42, 43 | sylancom 414 |
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45 | 41, 44 | eqtrd 2132 |
. . . . 5
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46 | 9, 11 | xaddcld 9508 |
. . . . . . . . 9
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47 | 46 | ad3antrrr 479 |
. . . . . . . 8
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48 | pnfge 9416 |
. . . . . . . 8
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49 | 47, 48 | syl 14 |
. . . . . . 7
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50 | 49, 45 | breqtrrd 3901 |
. . . . . 6
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51 | 9, 14 | xaddcld 9508 |
. . . . . . . 8
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52 | 51 | ad3antrrr 479 |
. . . . . . 7
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56 | 11 | ad3antrrr 479 |
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65 | 64 | a1i 9 |
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79 | dcne 2278 |
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101 | 46 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . 8
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102 | 100, 101 | jca 302 |
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103 | pnfge 9416 |
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105 | 96 | oveq1d 5721 |
. . . . . . . . 9
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106 | xaddpnf2 9471 |
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107 | 82, 106 | sylancom 414 |
. . . . . . . . 9
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108 | 105, 107 | eqtrd 2132 |
. . . . . . . 8
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109 | 104, 108 | breqtrrd 3901 |
. . . . . . 7
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110 | xrmaxleim 10852 |
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111 | 102, 109, 110 | sylc 62 |
. . . . . 6
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112 | 111, 108 | eqtrd 2132 |
. . . . 5
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113 | 99, 112 | syl5eq 2144 |
. . . 4
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114 | 95, 97, 113 | 3eqtr4rd 2143 |
. . 3
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115 | xrmnfdc 9467 |
. . . . . 6
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116 | dcne 2278 |
. . . . . 6
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117 | 115, 116 | sylib 121 |
. . . . 5
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118 | 117 | 3ad2ant2 971 |
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119 | 118 | adantr 272 |
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120 | 81, 114, 119 | mpjaodan 753 |
. 2
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121 | simpllr 504 |
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122 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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123 | 121, 122 | oveq12d 5724 |
. . . . . 6
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124 | mnfaddpnf 9475 |
. . . . . 6
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125 | 123, 124 | syl6eq 2148 |
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126 | 46 | ad3antrrr 479 |
. . . . . . 7
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127 | 51 | ad3antrrr 479 |
. . . . . . 7
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128 | 126, 127 | jca 302 |
. . . . . 6
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129 | 0le0 8667 |
. . . . . . . 8
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130 | 129 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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131 | simplr 500 |
. . . . . . . . . 10
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132 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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133 | 131, 132 | oveq12d 5724 |
. . . . . . . . 9
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134 | 133, 124 | syl6eq 2148 |
. . . . . . . 8
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135 | 134 | adantr 272 |
. . . . . . 7
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136 | 130, 135, 125 | 3brtr4d 3905 |
. . . . . 6
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137 | 128, 136, 28 | sylc 62 |
. . . . 5
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138 | prcom 3546 |
. . . . . . . . . . 11
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139 | 138 | supeq1i 6790 |
. . . . . . . . . 10
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140 | 14 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . . . . . 12
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141 | 11 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . . . . . 12
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142 | 140, 141 | jca 302 |
. . . . . . . . . . 11
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143 | pnfge 9416 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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144 | 143 | 3ad2ant3 972 |
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146 | 145, 132 | breqtrrd 3901 |
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147 | xrmaxleim 10852 |
. . . . . . . . . . 11
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148 | 142, 146, 147 | sylc 62 |
. . . . . . . . . 10
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149 | 139, 148 | syl5eqr 2146 |
. . . . . . . . 9
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150 | 149, 132 | eqtrd 2132 |
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151 | 150 | oveq2d 5722 |
. . . . . . 7
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152 | 131 | oveq1d 5721 |
. . . . . . . 8
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153 | 152, 124 | syl6eq 2148 |
. . . . . . 7
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154 | 151, 153 | eqtrd 2132 |
. . . . . 6
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156 | 125, 137, 155 | 3eqtr4d 2142 |
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. . . . . . . . . 10
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162 | 160, 161 | mp1i 10 |
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165 | xaddmnf2 9473 |
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. . . . . . . . . 10
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169 | 162, 167, 168 | 3brtr4d 3905 |
. . . . . . . 8
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170 | 159, 169, 110 | sylc 62 |
. . . . . . 7
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171 | 170, 168 | eqtrd 2132 |
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174 | 172, 173 | eqtr4d 2135 |
. . . 4
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175 | xrpnfdc 9466 |
. . . . . . 7
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176 | dcne 2278 |
. . . . . . 7
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177 | 175, 176 | sylib 121 |
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180 | 156, 174, 179 | mpjaodan 753 |
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181 | simpllr 504 |
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182 | simpr 109 |
. . . . . 6
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183 | 181, 182 | oveq12d 5724 |
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185 | 51 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . 8
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186 | 184, 185 | jca 302 |
. . . . . . 7
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187 | simplr 500 |
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188 | 187 | oveq1d 5721 |
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189 | 11 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . . . 10
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190 | xaddmnf2 9473 |
. . . . . . . . . 10
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191 | 189, 190 | sylancom 414 |
. . . . . . . . 9
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192 | 188, 191 | eqtrd 2132 |
. . . . . . . 8
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193 | mnfle 9419 |
. . . . . . . . 9
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195 | 192, 194 | eqbrtrd 3895 |
. . . . . . 7
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196 | 186, 195, 28 | sylc 62 |
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197 | 196 | adantr 272 |
. . . . 5
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198 | 189 | adantr 272 |
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199 | 14 | ad3antrrr 479 |
. . . . . . . . 9
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200 | 198, 199 | jca 302 |
. . . . . . . 8
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201 | simpr 109 |
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202 | npnflt 9439 |
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203 | 189, 202 | syl 14 |
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204 | 201, 203 | mpbird 166 |
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205 | 204 | adantr 272 |
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206 | 205, 182 | breqtrrd 3901 |
. . . . . . . . 9
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207 | 198, 199, 206 | xrltled 9426 |
. . . . . . . 8
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208 | 200, 207, 35 | sylc 62 |
. . . . . . 7
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209 | 208, 182 | eqtrd 2132 |
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210 | 181, 209 | oveq12d 5724 |
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211 | 183, 197, 210 | 3eqtr4d 2142 |
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212 | 189 | adantr 272 |
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213 | 14 | ad3antrrr 479 |
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214 | 212, 213, 57 | syl2anc 406 |
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215 | 204 | adantr 272 |
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216 | simpr 109 |
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217 | npnflt 9439 |
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218 | 213, 217 | syl 14 |
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219 | 216, 218 | mpbird 166 |
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220 | 215, 219 | jca 302 |
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221 | pnfxr 7690 |
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222 | 221 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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223 | xrmaxltsup 10866 |
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224 | 212, 213, 222, 223 | syl3anc 1184 |
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225 | 220, 224 | mpbird 166 |
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226 | npnflt 9439 |
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227 | 214, 226 | syl 14 |
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228 | 225, 227 | mpbid 146 |
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229 | xaddmnf2 9473 |
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230 | 214, 228, 229 | syl2anc 406 |
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231 | simpllr 504 |
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232 | 231 | oveq1d 5721 |
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233 | 196 | adantr 272 |
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234 | 231 | oveq1d 5721 |
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235 | 233, 234 | eqtrd 2132 |
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236 | 213, 165 | sylancom 414 |
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237 | 235, 236 | eqtrd 2132 |
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238 | 230, 232, 237 | 3eqtr4rd 2143 |
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239 | 178 | ad2antrr 475 |
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240 | 211, 238, 239 | mpjaodan 753 |
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241 | xrpnfdc 9466 |
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242 | 241 | 3ad2ant2 971 |
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243 | dcne 2278 |
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244 | 242, 243 | sylib 121 |
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245 | 244 | adantr 272 |
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246 | 180, 240, 245 | mpjaodan 753 |
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247 | elxr 9404 |
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248 | 247 | biimpi 119 |
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249 | 248 | 3ad2ant1 970 |
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250 | 5, 120, 246, 249 | mpjao3dan 1253 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-mulrcl 7594 ax-addcom 7595 ax-mulcom 7596 ax-addass 7597 ax-mulass 7598 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-1rid 7602 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-precex 7605 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 ax-pre-mulgt0 7612 ax-pre-mulext 7613 ax-arch 7614 ax-caucvg 7615 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rmo 2383 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-tr 3967 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-iord 4226 df-on 4228 df-ilim 4229 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-recs 6132 df-frec 6218 df-sup 6786 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-reap 8203 df-ap 8210 df-div 8294 df-inn 8579 df-2 8637 df-3 8638 df-4 8639 df-n0 8830 df-z 8907 df-uz 9177 df-rp 9292 df-xneg 9400 df-xadd 9401 df-seqfrec 10060 df-exp 10134 df-cj 10455 df-re 10456 df-im 10457 df-rsqrt 10610 df-abs 10611 |
This theorem is referenced by: xrminadd 10883 |
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