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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xrmaxadd | Unicode version |
Description: Distributing addition over maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.) |
Ref | Expression |
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xrmaxadd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr 110 |
. . 3
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2 | simpl2 1003 |
. . 3
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3 | simpl3 1004 |
. . 3
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4 | xrmaxaddlem 11303 |
. . 3
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5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1249 |
. 2
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6 | simpllr 534 |
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7 | simpr 110 |
. . . . . 6
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8 | 6, 7 | oveq12d 5915 |
. . . . 5
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9 | simp1 999 |
. . . . . . . . 9
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10 | 9 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . 8
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11 | simp2 1000 |
. . . . . . . . 9
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12 | 11 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . 8
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13 | 10, 12 | xaddcld 9916 |
. . . . . . 7
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14 | simp3 1001 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . 8
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16 | 10, 15 | xaddcld 9916 |
. . . . . . 7
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17 | 13, 16 | jca 306 |
. . . . . 6
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18 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 18, 19 | oveq12d 5915 |
. . . . . . . . . 10
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21 | pnfaddmnf 9882 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 20, 21 | eqtrdi 2238 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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24 | 8, 21 | eqtrdi 2238 |
. . . . . . . 8
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25 | 23, 24 | eqtr4d 2225 |
. . . . . . 7
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26 | 16 | xrleidd 9833 |
. . . . . . 7
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27 | 25, 26 | eqbrtrd 4040 |
. . . . . 6
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28 | xrmaxleim 11287 |
. . . . . 6
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29 | 17, 27, 28 | sylc 62 |
. . . . 5
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30 | 12, 15 | jca 306 |
. . . . . . . 8
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31 | simplr 528 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 31, 7 | eqtr4d 2225 |
. . . . . . . . 9
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33 | 15 | xrleidd 9833 |
. . . . . . . . 9
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34 | 32, 33 | eqbrtrd 4040 |
. . . . . . . 8
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35 | xrmaxleim 11287 |
. . . . . . . 8
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36 | 30, 34, 35 | sylc 62 |
. . . . . . 7
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37 | 36, 7 | eqtrd 2222 |
. . . . . 6
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38 | 6, 37 | oveq12d 5915 |
. . . . 5
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39 | 8, 29, 38 | 3eqtr4d 2232 |
. . . 4
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40 | simpllr 534 |
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41 | 40 | oveq1d 5912 |
. . . . . 6
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42 | 14 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . 7
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43 | xaddpnf2 9879 |
. . . . . . 7
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44 | 42, 43 | sylancom 420 |
. . . . . 6
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45 | 41, 44 | eqtrd 2222 |
. . . . 5
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46 | 9, 11 | xaddcld 9916 |
. . . . . . . . 9
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47 | 46 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . 8
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48 | pnfge 9821 |
. . . . . . . 8
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49 | 47, 48 | syl 14 |
. . . . . . 7
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50 | 49, 45 | breqtrrd 4046 |
. . . . . 6
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51 | 9, 14 | xaddcld 9916 |
. . . . . . . 8
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52 | 51 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . 7
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55 | 40 | oveq1d 5912 |
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56 | 11 | ad3antrrr 492 |
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57 | xrmaxcl 11295 |
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59 | simpr 110 |
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63 | 62 | olcd 735 |
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65 | 64 | a1i 9 |
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66 | xrltmaxsup 11300 |
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69 | nmnfgt 9850 |
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76 | xrmnfdc 9875 |
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77 | 76 | 3ad2ant3 1022 |
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79 | dcne 2371 |
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81 | 39, 75, 80 | mpjaodan 799 |
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97 | 96 | oveq1d 5912 |
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98 | prcom 3683 |
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102 | 100, 101 | jca 306 |
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103 | pnfge 9821 |
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104 | 100, 103 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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105 | 96 | oveq1d 5912 |
. . . . . . . . 9
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106 | xaddpnf2 9879 |
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107 | 82, 106 | sylancom 420 |
. . . . . . . . 9
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108 | 105, 107 | eqtrd 2222 |
. . . . . . . 8
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109 | 104, 108 | breqtrrd 4046 |
. . . . . . 7
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110 | xrmaxleim 11287 |
. . . . . . 7
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111 | 102, 109, 110 | sylc 62 |
. . . . . 6
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112 | 111, 108 | eqtrd 2222 |
. . . . 5
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113 | 99, 112 | eqtrid 2234 |
. . . 4
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114 | 95, 97, 113 | 3eqtr4rd 2233 |
. . 3
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115 | xrmnfdc 9875 |
. . . . . 6
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116 | dcne 2371 |
. . . . . 6
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117 | 115, 116 | sylib 122 |
. . . . 5
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118 | 117 | 3ad2ant2 1021 |
. . . 4
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119 | 118 | adantr 276 |
. . 3
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120 | 81, 114, 119 | mpjaodan 799 |
. 2
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121 | simpllr 534 |
. . . . . . 7
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122 | simpr 110 |
. . . . . . 7
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123 | 121, 122 | oveq12d 5915 |
. . . . . 6
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124 | mnfaddpnf 9883 |
. . . . . 6
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125 | 123, 124 | eqtrdi 2238 |
. . . . 5
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126 | 46 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . 7
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127 | 51 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . 7
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128 | 126, 127 | jca 306 |
. . . . . 6
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129 | 0le0 9039 |
. . . . . . . 8
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130 | 129 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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131 | simplr 528 |
. . . . . . . . . 10
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132 | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
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133 | 131, 132 | oveq12d 5915 |
. . . . . . . . 9
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134 | 133, 124 | eqtrdi 2238 |
. . . . . . . 8
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135 | 134 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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136 | 130, 135, 125 | 3brtr4d 4050 |
. . . . . 6
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137 | 128, 136, 28 | sylc 62 |
. . . . 5
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138 | prcom 3683 |
. . . . . . . . . . 11
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139 | 138 | supeq1i 7018 |
. . . . . . . . . 10
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140 | 14 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . 12
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141 | 11 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . 12
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142 | 140, 141 | jca 306 |
. . . . . . . . . . 11
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143 | pnfge 9821 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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144 | 143 | 3ad2ant3 1022 |
. . . . . . . . . . . . 13
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145 | 144 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . 12
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146 | 145, 132 | breqtrrd 4046 |
. . . . . . . . . . 11
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147 | xrmaxleim 11287 |
. . . . . . . . . . 11
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148 | 142, 146, 147 | sylc 62 |
. . . . . . . . . 10
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149 | 139, 148 | eqtr3id 2236 |
. . . . . . . . 9
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150 | 149, 132 | eqtrd 2222 |
. . . . . . . 8
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151 | 150 | oveq2d 5913 |
. . . . . . 7
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152 | 131 | oveq1d 5912 |
. . . . . . . 8
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153 | 152, 124 | eqtrdi 2238 |
. . . . . . 7
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154 | 151, 153 | eqtrd 2222 |
. . . . . 6
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155 | 154 | adantr 276 |
. . . . 5
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156 | 125, 137, 155 | 3eqtr4d 2232 |
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. . . . . . . . . 10
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169 | 162, 167, 168 | 3brtr4d 4050 |
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170 | 159, 169, 110 | sylc 62 |
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171 | 170, 168 | eqtrd 2222 |
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172 | 99, 171 | eqtrid 2234 |
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175 | xrpnfdc 9874 |
. . . . . . 7
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176 | dcne 2371 |
. . . . . . 7
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177 | 175, 176 | sylib 122 |
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183 | 181, 182 | oveq12d 5915 |
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185 | 51 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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186 | 184, 185 | jca 306 |
. . . . . . 7
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187 | simplr 528 |
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188 | 187 | oveq1d 5912 |
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189 | 11 | ad2antrr 488 |
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190 | xaddmnf2 9881 |
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191 | 189, 190 | sylancom 420 |
. . . . . . . . 9
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192 | 188, 191 | eqtrd 2222 |
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195 | 192, 194 | eqbrtrd 4040 |
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196 | 186, 195, 28 | sylc 62 |
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201 | simpr 110 |
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202 | npnflt 9847 |
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203 | 189, 202 | syl 14 |
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204 | 201, 203 | mpbird 167 |
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205 | 204 | adantr 276 |
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206 | 205, 182 | breqtrrd 4046 |
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207 | 198, 199, 206 | xrltled 9831 |
. . . . . . . 8
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208 | 200, 207, 35 | sylc 62 |
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209 | 208, 182 | eqtrd 2222 |
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210 | 181, 209 | oveq12d 5915 |
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211 | 183, 197, 210 | 3eqtr4d 2232 |
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212 | 189 | adantr 276 |
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213 | 14 | ad3antrrr 492 |
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214 | 212, 213, 57 | syl2anc 411 |
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215 | 204 | adantr 276 |
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216 | simpr 110 |
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217 | npnflt 9847 |
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218 | 213, 217 | syl 14 |
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219 | 216, 218 | mpbird 167 |
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220 | 215, 219 | jca 306 |
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221 | pnfxr 8041 |
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222 | 221 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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223 | xrmaxltsup 11301 |
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224 | 212, 213, 222, 223 | syl3anc 1249 |
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225 | 220, 224 | mpbird 167 |
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226 | npnflt 9847 |
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227 | 214, 226 | syl 14 |
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228 | 225, 227 | mpbid 147 |
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229 | xaddmnf2 9881 |
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230 | 214, 228, 229 | syl2anc 411 |
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231 | simpllr 534 |
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232 | 231 | oveq1d 5912 |
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233 | 196 | adantr 276 |
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234 | 231 | oveq1d 5912 |
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235 | 233, 234 | eqtrd 2222 |
. . . . . 6
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236 | 213, 165 | sylancom 420 |
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237 | 235, 236 | eqtrd 2222 |
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238 | 230, 232, 237 | 3eqtr4rd 2233 |
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239 | 178 | ad2antrr 488 |
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240 | 211, 238, 239 | mpjaodan 799 |
. . 3
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241 | xrpnfdc 9874 |
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242 | 241 | 3ad2ant2 1021 |
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243 | dcne 2371 |
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244 | 242, 243 | sylib 122 |
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245 | 244 | adantr 276 |
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246 | 180, 240, 245 | mpjaodan 799 |
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247 | elxr 9808 |
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248 | 247 | biimpi 120 |
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249 | 248 | 3ad2ant1 1020 |
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250 | 5, 120, 246, 249 | mpjao3dan 1318 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7933 ax-resscn 7934 ax-1cn 7935 ax-1re 7936 ax-icn 7937 ax-addcl 7938 ax-addrcl 7939 ax-mulcl 7940 ax-mulrcl 7941 ax-addcom 7942 ax-mulcom 7943 ax-addass 7944 ax-mulass 7945 ax-distr 7946 ax-i2m1 7947 ax-0lt1 7948 ax-1rid 7949 ax-0id 7950 ax-rnegex 7951 ax-precex 7952 ax-cnre 7953 ax-pre-ltirr 7954 ax-pre-ltwlin 7955 ax-pre-lttrn 7956 ax-pre-apti 7957 ax-pre-ltadd 7958 ax-pre-mulgt0 7959 ax-pre-mulext 7960 ax-arch 7961 ax-caucvg 7962 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-riota 5852 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-recs 6331 df-frec 6417 df-sup 7014 df-pnf 8025 df-mnf 8026 df-xr 8027 df-ltxr 8028 df-le 8029 df-sub 8161 df-neg 8162 df-reap 8563 df-ap 8570 df-div 8661 df-inn 8951 df-2 9009 df-3 9010 df-4 9011 df-n0 9208 df-z 9285 df-uz 9560 df-rp 9686 df-xneg 9804 df-xadd 9805 df-seqfrec 10479 df-exp 10554 df-cj 10886 df-re 10887 df-im 10888 df-rsqrt 11042 df-abs 11043 |
This theorem is referenced by: xrminadd 11318 |
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