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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xrmaxadd | Unicode version |
Description: Distributing addition over maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
xrmaxadd |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpr 109 | . . 3 | |
2 | simpl2 990 | . . 3 | |
3 | simpl3 991 | . . 3 | |
4 | xrmaxaddlem 11187 | . . 3 | |
5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1227 | . 2 |
6 | simpllr 524 | . . . . . 6 | |
7 | simpr 109 | . . . . . 6 | |
8 | 6, 7 | oveq12d 5854 | . . . . 5 |
9 | simp1 986 | . . . . . . . . 9 | |
10 | 9 | ad3antrrr 484 | . . . . . . . 8 |
11 | simp2 987 | . . . . . . . . 9 | |
12 | 11 | ad3antrrr 484 | . . . . . . . 8 |
13 | 10, 12 | xaddcld 9811 | . . . . . . 7 |
14 | simp3 988 | . . . . . . . . 9 | |
15 | 14 | ad3antrrr 484 | . . . . . . . 8 |
16 | 10, 15 | xaddcld 9811 | . . . . . . 7 |
17 | 13, 16 | jca 304 | . . . . . 6 |
18 | simplr 520 | . . . . . . . . . . 11 | |
19 | simpr 109 | . . . . . . . . . . 11 | |
20 | 18, 19 | oveq12d 5854 | . . . . . . . . . 10 |
21 | pnfaddmnf 9777 | . . . . . . . . . 10 | |
22 | 20, 21 | eqtrdi 2213 | . . . . . . . . 9 |
23 | 22 | adantr 274 | . . . . . . . 8 |
24 | 8, 21 | eqtrdi 2213 | . . . . . . . 8 |
25 | 23, 24 | eqtr4d 2200 | . . . . . . 7 |
26 | 16 | xrleidd 9728 | . . . . . . 7 |
27 | 25, 26 | eqbrtrd 3998 | . . . . . 6 |
28 | xrmaxleim 11171 | . . . . . 6 | |
29 | 17, 27, 28 | sylc 62 | . . . . 5 |
30 | 12, 15 | jca 304 | . . . . . . . 8 |
31 | simplr 520 | . . . . . . . . . 10 | |
32 | 31, 7 | eqtr4d 2200 | . . . . . . . . 9 |
33 | 15 | xrleidd 9728 | . . . . . . . . 9 |
34 | 32, 33 | eqbrtrd 3998 | . . . . . . . 8 |
35 | xrmaxleim 11171 | . . . . . . . 8 | |
36 | 30, 34, 35 | sylc 62 | . . . . . . 7 |
37 | 36, 7 | eqtrd 2197 | . . . . . 6 |
38 | 6, 37 | oveq12d 5854 | . . . . 5 |
39 | 8, 29, 38 | 3eqtr4d 2207 | . . . 4 |
40 | simpllr 524 | . . . . . . 7 | |
41 | 40 | oveq1d 5851 | . . . . . 6 |
42 | 14 | ad3antrrr 484 | . . . . . . 7 |
43 | xaddpnf2 9774 | . . . . . . 7 | |
44 | 42, 43 | sylancom 417 | . . . . . 6 |
45 | 41, 44 | eqtrd 2197 | . . . . 5 |
46 | 9, 11 | xaddcld 9811 | . . . . . . . . 9 |
47 | 46 | ad3antrrr 484 | . . . . . . . 8 |
48 | pnfge 9716 | . . . . . . . 8 | |
49 | 47, 48 | syl 14 | . . . . . . 7 |
50 | 49, 45 | breqtrrd 4004 | . . . . . 6 |
51 | 9, 14 | xaddcld 9811 | . . . . . . . 8 |
52 | 51 | ad3antrrr 484 | . . . . . . 7 |
53 | 47, 52, 28 | syl2anc 409 | . . . . . 6 |
54 | 50, 53 | mpd 13 | . . . . 5 |
55 | 40 | oveq1d 5851 | . . . . . 6 |
56 | 11 | ad3antrrr 484 | . . . . . . . 8 |
57 | xrmaxcl 11179 | . . . . . . . 8 | |
58 | 56, 42, 57 | syl2anc 409 | . . . . . . 7 |
59 | simpr 109 | . . . . . . . . . . 11 | |
60 | nmnfgt 9745 | . . . . . . . . . . . 12 | |
61 | 42, 60 | syl 14 | . . . . . . . . . . 11 |
62 | 59, 61 | mpbird 166 | . . . . . . . . . 10 |
63 | 62 | olcd 724 | . . . . . . . . 9 |
64 | mnfxr 7946 | . . . . . . . . . . 11 | |
65 | 64 | a1i 9 | . . . . . . . . . 10 |
66 | xrltmaxsup 11184 | . . . . . . . . . 10 | |
67 | 56, 42, 65, 66 | syl3anc 1227 | . . . . . . . . 9 |
68 | 63, 67 | mpbird 166 | . . . . . . . 8 |
69 | nmnfgt 9745 | . . . . . . . . 9 | |
70 | 58, 69 | syl 14 | . . . . . . . 8 |
71 | 68, 70 | mpbid 146 | . . . . . . 7 |
72 | xaddpnf2 9774 | . . . . . . 7 | |
73 | 58, 71, 72 | syl2anc 409 | . . . . . 6 |
74 | 55, 73 | eqtrd 2197 | . . . . 5 |
75 | 45, 54, 74 | 3eqtr4d 2207 | . . . 4 |
76 | xrmnfdc 9770 | . . . . . . 7 DECID | |
77 | 76 | 3ad2ant3 1009 | . . . . . 6 DECID |
78 | 77 | ad2antrr 480 | . . . . 5 DECID |
79 | dcne 2345 | . . . . 5 DECID | |
80 | 78, 79 | sylib 121 | . . . 4 |
81 | 39, 75, 80 | mpjaodan 788 | . . 3 |
82 | 11 | ad2antrr 480 | . . . . . 6 |
83 | 14 | ad2antrr 480 | . . . . . 6 |
84 | 82, 83, 57 | syl2anc 409 | . . . . 5 |
85 | simpr 109 | . . . . . . . . 9 | |
86 | nmnfgt 9745 | . . . . . . . . . 10 | |
87 | 82, 86 | syl 14 | . . . . . . . . 9 |
88 | 85, 87 | mpbird 166 | . . . . . . . 8 |
89 | 88 | orcd 723 | . . . . . . 7 |
90 | 64 | a1i 9 | . . . . . . . 8 |
91 | 82, 83, 90, 66 | syl3anc 1227 | . . . . . . 7 |
92 | 89, 91 | mpbird 166 | . . . . . 6 |
93 | 84, 69 | syl 14 | . . . . . 6 |
94 | 92, 93 | mpbid 146 | . . . . 5 |
95 | 84, 94, 72 | syl2anc 409 | . . . 4 |
96 | simplr 520 | . . . . 5 | |
97 | 96 | oveq1d 5851 | . . . 4 |
98 | prcom 3646 | . . . . . 6 | |
99 | 98 | supeq1i 6944 | . . . . 5 |
100 | 51 | ad2antrr 480 | . . . . . . . 8 |
101 | 46 | ad2antrr 480 | . . . . . . . 8 |
102 | 100, 101 | jca 304 | . . . . . . 7 |
103 | pnfge 9716 | . . . . . . . . 9 | |
104 | 100, 103 | syl 14 | . . . . . . . 8 |
105 | 96 | oveq1d 5851 | . . . . . . . . 9 |
106 | xaddpnf2 9774 | . . . . . . . . . 10 | |
107 | 82, 106 | sylancom 417 | . . . . . . . . 9 |
108 | 105, 107 | eqtrd 2197 | . . . . . . . 8 |
109 | 104, 108 | breqtrrd 4004 | . . . . . . 7 |
110 | xrmaxleim 11171 | . . . . . . 7 | |
111 | 102, 109, 110 | sylc 62 | . . . . . 6 |
112 | 111, 108 | eqtrd 2197 | . . . . 5 |
113 | 99, 112 | syl5eq 2209 | . . . 4 |
114 | 95, 97, 113 | 3eqtr4rd 2208 | . . 3 |
115 | xrmnfdc 9770 | . . . . . 6 DECID | |
116 | dcne 2345 | . . . . . 6 DECID | |
117 | 115, 116 | sylib 121 | . . . . 5 |
118 | 117 | 3ad2ant2 1008 | . . . 4 |
119 | 118 | adantr 274 | . . 3 |
120 | 81, 114, 119 | mpjaodan 788 | . 2 |
121 | simpllr 524 | . . . . . . 7 | |
122 | simpr 109 | . . . . . . 7 | |
123 | 121, 122 | oveq12d 5854 | . . . . . 6 |
124 | mnfaddpnf 9778 | . . . . . 6 | |
125 | 123, 124 | eqtrdi 2213 | . . . . 5 |
126 | 46 | ad3antrrr 484 | . . . . . . 7 |
127 | 51 | ad3antrrr 484 | . . . . . . 7 |
128 | 126, 127 | jca 304 | . . . . . 6 |
129 | 0le0 8937 | . . . . . . . 8 | |
130 | 129 | a1i 9 | . . . . . . 7 |
131 | simplr 520 | . . . . . . . . . 10 | |
132 | simpr 109 | . . . . . . . . . 10 | |
133 | 131, 132 | oveq12d 5854 | . . . . . . . . 9 |
134 | 133, 124 | eqtrdi 2213 | . . . . . . . 8 |
135 | 134 | adantr 274 | . . . . . . 7 |
136 | 130, 135, 125 | 3brtr4d 4008 | . . . . . 6 |
137 | 128, 136, 28 | sylc 62 | . . . . 5 |
138 | prcom 3646 | . . . . . . . . . . 11 | |
139 | 138 | supeq1i 6944 | . . . . . . . . . 10 |
140 | 14 | ad2antrr 480 | . . . . . . . . . . . 12 |
141 | 11 | ad2antrr 480 | . . . . . . . . . . . 12 |
142 | 140, 141 | jca 304 | . . . . . . . . . . 11 |
143 | pnfge 9716 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
144 | 143 | 3ad2ant3 1009 | . . . . . . . . . . . . 13 |
145 | 144 | ad2antrr 480 | . . . . . . . . . . . 12 |
146 | 145, 132 | breqtrrd 4004 | . . . . . . . . . . 11 |
147 | xrmaxleim 11171 | . . . . . . . . . . 11 | |
148 | 142, 146, 147 | sylc 62 | . . . . . . . . . 10 |
149 | 139, 148 | eqtr3id 2211 | . . . . . . . . 9 |
150 | 149, 132 | eqtrd 2197 | . . . . . . . 8 |
151 | 150 | oveq2d 5852 | . . . . . . 7 |
152 | 131 | oveq1d 5851 | . . . . . . . 8 |
153 | 152, 124 | eqtrdi 2213 | . . . . . . 7 |
154 | 151, 153 | eqtrd 2197 | . . . . . 6 |
155 | 154 | adantr 274 | . . . . 5 |
156 | 125, 137, 155 | 3eqtr4d 2207 | . . . 4 |
157 | 51 | ad3antrrr 484 | . . . . . . . . 9 |
158 | 46 | ad3antrrr 484 | . . . . . . . . 9 |
159 | 157, 158 | jca 304 | . . . . . . . 8 |
160 | 0xr 7936 | . . . . . . . . . 10 | |
161 | mnfle 9719 | . . . . . . . . . 10 | |
162 | 160, 161 | mp1i 10 | . . . . . . . . 9 |
163 | simpllr 524 | . . . . . . . . . . 11 | |
164 | 163 | oveq1d 5851 | . . . . . . . . . 10 |
165 | xaddmnf2 9776 | . . . . . . . . . . 11 | |
166 | 140, 165 | sylan 281 | . . . . . . . . . 10 |
167 | 164, 166 | eqtrd 2197 | . . . . . . . . 9 |
168 | 134 | adantr 274 | . . . . . . . . 9 |
169 | 162, 167, 168 | 3brtr4d 4008 | . . . . . . . 8 |
170 | 159, 169, 110 | sylc 62 | . . . . . . 7 |
171 | 170, 168 | eqtrd 2197 | . . . . . 6 |
172 | 99, 171 | syl5eq 2209 | . . . . 5 |
173 | 154 | adantr 274 | . . . . 5 |
174 | 172, 173 | eqtr4d 2200 | . . . 4 |
175 | xrpnfdc 9769 | . . . . . . 7 DECID | |
176 | dcne 2345 | . . . . . . 7 DECID | |
177 | 175, 176 | sylib 121 | . . . . . 6 |
178 | 177 | 3ad2ant3 1009 | . . . . 5 |
179 | 178 | ad2antrr 480 | . . . 4 |
180 | 156, 174, 179 | mpjaodan 788 | . . 3 |
181 | simpllr 524 | . . . . . 6 | |
182 | simpr 109 | . . . . . 6 | |
183 | 181, 182 | oveq12d 5854 | . . . . 5 |
184 | 46 | ad2antrr 480 | . . . . . . . 8 |
185 | 51 | ad2antrr 480 | . . . . . . . 8 |
186 | 184, 185 | jca 304 | . . . . . . 7 |
187 | simplr 520 | . . . . . . . . . 10 | |
188 | 187 | oveq1d 5851 | . . . . . . . . 9 |
189 | 11 | ad2antrr 480 | . . . . . . . . . 10 |
190 | xaddmnf2 9776 | . . . . . . . . . 10 | |
191 | 189, 190 | sylancom 417 | . . . . . . . . 9 |
192 | 188, 191 | eqtrd 2197 | . . . . . . . 8 |
193 | mnfle 9719 | . . . . . . . . 9 | |
194 | 185, 193 | syl 14 | . . . . . . . 8 |
195 | 192, 194 | eqbrtrd 3998 | . . . . . . 7 |
196 | 186, 195, 28 | sylc 62 | . . . . . 6 |
197 | 196 | adantr 274 | . . . . 5 |
198 | 189 | adantr 274 | . . . . . . . . 9 |
199 | 14 | ad3antrrr 484 | . . . . . . . . 9 |
200 | 198, 199 | jca 304 | . . . . . . . 8 |
201 | simpr 109 | . . . . . . . . . . . 12 | |
202 | npnflt 9742 | . . . . . . . . . . . . 13 | |
203 | 189, 202 | syl 14 | . . . . . . . . . . . 12 |
204 | 201, 203 | mpbird 166 | . . . . . . . . . . 11 |
205 | 204 | adantr 274 | . . . . . . . . . 10 |
206 | 205, 182 | breqtrrd 4004 | . . . . . . . . 9 |
207 | 198, 199, 206 | xrltled 9726 | . . . . . . . 8 |
208 | 200, 207, 35 | sylc 62 | . . . . . . 7 |
209 | 208, 182 | eqtrd 2197 | . . . . . 6 |
210 | 181, 209 | oveq12d 5854 | . . . . 5 |
211 | 183, 197, 210 | 3eqtr4d 2207 | . . . 4 |
212 | 189 | adantr 274 | . . . . . . 7 |
213 | 14 | ad3antrrr 484 | . . . . . . 7 |
214 | 212, 213, 57 | syl2anc 409 | . . . . . 6 |
215 | 204 | adantr 274 | . . . . . . . . 9 |
216 | simpr 109 | . . . . . . . . . 10 | |
217 | npnflt 9742 | . . . . . . . . . . 11 | |
218 | 213, 217 | syl 14 | . . . . . . . . . 10 |
219 | 216, 218 | mpbird 166 | . . . . . . . . 9 |
220 | 215, 219 | jca 304 | . . . . . . . 8 |
221 | pnfxr 7942 | . . . . . . . . . 10 | |
222 | 221 | a1i 9 | . . . . . . . . 9 |
223 | xrmaxltsup 11185 | . . . . . . . . 9 | |
224 | 212, 213, 222, 223 | syl3anc 1227 | . . . . . . . 8 |
225 | 220, 224 | mpbird 166 | . . . . . . 7 |
226 | npnflt 9742 | . . . . . . . 8 | |
227 | 214, 226 | syl 14 | . . . . . . 7 |
228 | 225, 227 | mpbid 146 | . . . . . 6 |
229 | xaddmnf2 9776 | . . . . . 6 | |
230 | 214, 228, 229 | syl2anc 409 | . . . . 5 |
231 | simpllr 524 | . . . . . 6 | |
232 | 231 | oveq1d 5851 | . . . . 5 |
233 | 196 | adantr 274 | . . . . . . 7 |
234 | 231 | oveq1d 5851 | . . . . . . 7 |
235 | 233, 234 | eqtrd 2197 | . . . . . 6 |
236 | 213, 165 | sylancom 417 | . . . . . 6 |
237 | 235, 236 | eqtrd 2197 | . . . . 5 |
238 | 230, 232, 237 | 3eqtr4rd 2208 | . . . 4 |
239 | 178 | ad2antrr 480 | . . . 4 |
240 | 211, 238, 239 | mpjaodan 788 | . . 3 |
241 | xrpnfdc 9769 | . . . . . 6 DECID | |
242 | 241 | 3ad2ant2 1008 | . . . . 5 DECID |
243 | dcne 2345 | . . . . 5 DECID | |
244 | 242, 243 | sylib 121 | . . . 4 |
245 | 244 | adantr 274 | . . 3 |
246 | 180, 240, 245 | mpjaodan 788 | . 2 |
247 | elxr 9703 | . . . 4 | |
248 | 247 | biimpi 119 | . . 3 |
249 | 248 | 3ad2ant1 1007 | . 2 |
250 | 5, 120, 246, 249 | mpjao3dan 1296 | 1 |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: wi 4 wa 103 wb 104 wo 698 DECID wdc 824 w3o 966 w3a 967 wceq 1342 wcel 2135 wne 2334 cpr 3571 class class class wbr 3976 (class class class)co 5836 csup 6938 cr 7743 cc0 7744 cpnf 7921 cmnf 7922 cxr 7923 clt 7924 cle 7925 cxad 9697 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1434 ax-7 1435 ax-gen 1436 ax-ie1 1480 ax-ie2 1481 ax-8 1491 ax-10 1492 ax-11 1493 ax-i12 1494 ax-bndl 1496 ax-4 1497 ax-17 1513 ax-i9 1517 ax-ial 1521 ax-i5r 1522 ax-13 2137 ax-14 2138 ax-ext 2146 ax-coll 4091 ax-sep 4094 ax-nul 4102 ax-pow 4147 ax-pr 4181 ax-un 4405 ax-setind 4508 ax-iinf 4559 ax-cnex 7835 ax-resscn 7836 ax-1cn 7837 ax-1re 7838 ax-icn 7839 ax-addcl 7840 ax-addrcl 7841 ax-mulcl 7842 ax-mulrcl 7843 ax-addcom 7844 ax-mulcom 7845 ax-addass 7846 ax-mulass 7847 ax-distr 7848 ax-i2m1 7849 ax-0lt1 7850 ax-1rid 7851 ax-0id 7852 ax-rnegex 7853 ax-precex 7854 ax-cnre 7855 ax-pre-ltirr 7856 ax-pre-ltwlin 7857 ax-pre-lttrn 7858 ax-pre-apti 7859 ax-pre-ltadd 7860 ax-pre-mulgt0 7861 ax-pre-mulext 7862 ax-arch 7863 ax-caucvg 7864 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 968 df-3an 969 df-tru 1345 df-fal 1348 df-nf 1448 df-sb 1750 df-eu 2016 df-mo 2017 df-clab 2151 df-cleq 2157 df-clel 2160 df-nfc 2295 df-ne 2335 df-nel 2430 df-ral 2447 df-rex 2448 df-reu 2449 df-rmo 2450 df-rab 2451 df-v 2723 df-sbc 2947 df-csb 3041 df-dif 3113 df-un 3115 df-in 3117 df-ss 3124 df-nul 3405 df-if 3516 df-pw 3555 df-sn 3576 df-pr 3577 df-op 3579 df-uni 3784 df-int 3819 df-iun 3862 df-br 3977 df-opab 4038 df-mpt 4039 df-tr 4075 df-id 4265 df-po 4268 df-iso 4269 df-iord 4338 df-on 4340 df-ilim 4341 df-suc 4343 df-iom 4562 df-xp 4604 df-rel 4605 df-cnv 4606 df-co 4607 df-dm 4608 df-rn 4609 df-res 4610 df-ima 4611 df-iota 5147 df-fun 5184 df-fn 5185 df-f 5186 df-f1 5187 df-fo 5188 df-f1o 5189 df-fv 5190 df-riota 5792 df-ov 5839 df-oprab 5840 df-mpo 5841 df-1st 6100 df-2nd 6101 df-recs 6264 df-frec 6350 df-sup 6940 df-pnf 7926 df-mnf 7927 df-xr 7928 df-ltxr 7929 df-le 7930 df-sub 8062 df-neg 8063 df-reap 8464 df-ap 8471 df-div 8560 df-inn 8849 df-2 8907 df-3 8908 df-4 8909 df-n0 9106 df-z 9183 df-uz 9458 df-rp 9581 df-xneg 9699 df-xadd 9700 df-seqfrec 10371 df-exp 10445 df-cj 10770 df-re 10771 df-im 10772 df-rsqrt 10926 df-abs 10927 |
This theorem is referenced by: xrminadd 11202 |
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