Theorem xrrege0 10227

Description: A nonnegative extended real that is less than a real bound is real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrrege0	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )

Proof of Theorem xrrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0gtmnf 10225	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )
2	1	ad2ant2r 513	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> -oo < A )
3		simprr 537	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A <_ B )
4	2, 3	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( -oo < A /\ A <_ B ) )
5		xrre 10222	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( -oo < A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )
6	4, 5	syldan 282	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   0cc0 8179   -oocmnf 8358   RR*cxr 8359   < clt 8360   <_ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  psmetlecl  15435  xmetlecl  15468  bdmet  15603  bdmopn  15605