ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrrege0 Unicode version

Theorem xrrege0 9821
Description: A nonnegative extended real that is less than a real bound is real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrrege0  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem xrrege0
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 9819 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  -> -oo  <  A )
21ad2ant2r 509 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  -> -oo  <  A )
3 simprr 531 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  <_  B )
42, 3jca 306 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( -oo  <  A  /\  A  <_  B ) )
5 xrre 9816 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( -oo  <  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
64, 5syldan 282 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148   class class class wbr 4002   RRcr 7807   0cc0 7808   -oocmnf 7986   RR*cxr 7987    < clt 7988    <_ cle 7989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-cnv 4633  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994
This theorem is referenced by:  psmetlecl  13705  xmetlecl  13738  bdmet  13873  bdmopn  13875
  Copyright terms: Public domain W3C validator