Theorem xrrege0 9894

Description: A nonnegative extended real that is less than a real bound is real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrrege0	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )

Proof of Theorem xrrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0gtmnf 9892	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )
2	1	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> -oo < A )
3		simprr 531	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A <_ B )
4	2, 3	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( -oo < A /\ A <_ B ) )
5		xrre 9889	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( -oo < A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )
6	4, 5	syldan 282	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   RRcr 7873   0cc0 7874   -oocmnf 8054   RR*cxr 8055   < clt 8056   <_ cle 8057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062

This theorem is referenced by:  psmetlecl  14513  xmetlecl  14546  bdmet  14681  bdmopn  14683