ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrrege0 Unicode version

Theorem xrrege0 9615
Description: A nonnegative extended real that is less than a real bound is real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrrege0  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem xrrege0
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 9613 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  -> -oo  <  A )
21ad2ant2r 500 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  -> -oo  <  A )
3 simprr 521 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  <_  B )
42, 3jca 304 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( -oo  <  A  /\  A  <_  B ) )
5 xrre 9610 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( -oo  <  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
64, 5syldan 280 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7626   0cc0 7627   -oocmnf 7805   RR*cxr 7806    < clt 7807    <_ cle 7808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1re 7721  ax-addrcl 7724  ax-rnegex 7736  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813
This theorem is referenced by:  psmetlecl  12513  xmetlecl  12546  bdmet  12681  bdmopn  12683
  Copyright terms: Public domain W3C validator