Theorem xrrege0 9827

Description: A nonnegative extended real that is less than a real bound is real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrrege0	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )

Proof of Theorem xrrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0gtmnf 9825	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )
2	1	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> -oo < A )
3		simprr 531	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A <_ B )
4	2, 3	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( -oo < A /\ A <_ B ) )
5		xrre 9822	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( -oo < A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )
6	4, 5	syldan 282	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   RRcr 7812   0cc0 7813   -oocmnf 7992   RR*cxr 7993   < clt 7994   <_ cle 7995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000

This theorem is referenced by:  psmetlecl  13919  xmetlecl  13952  bdmet  14087  bdmopn  14089