Theorem z2ge 10210

Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
z2ge	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Proof of Theorem z2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 533	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M <_ N )
3	1	zred 9750	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. RR )
4	3	leidd 8835	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N <_ N )
5		breq2 4132	. . . . 5 |- ( k = N -> ( M <_ k <-> M <_ N ) )
6		breq2 4132	. . . . 5 |- ( k = N -> ( N <_ k <-> N <_ N ) )
7	5, 6	anbi12d 477	. . . 4 |- ( k = N -> ( ( M <_ k /\ N <_ k ) <-> ( M <_ N /\ N <_ N ) ) )
8	7	rspcev 2929	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ N <_ N ) ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
9	1, 2, 4, 8	syl12anc 1276	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
10		simpll 531	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
11	10	zred 9750	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. RR )
12	11	leidd 8835	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M <_ M )
13		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> N <_ M )
14		breq2 4132	. . . . 5 |- ( k = M -> ( M <_ k <-> M <_ M ) )
15		breq2 4132	. . . . 5 |- ( k = M -> ( N <_ k <-> N <_ M ) )
16	14, 15	anbi12d 477	. . . 4 |- ( k = M -> ( ( M <_ k /\ N <_ k ) <-> ( M <_ M /\ N <_ M ) ) )
17	16	rspcev 2929	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M <_ M /\ N <_ M ) ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
18	10, 12, 13, 17	syl12anc 1276	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
19		zletric 9670	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ N <_ M ) )
20	9, 18, 19	mpjaodan 810	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4128   <_ cle 8354   ZZcz 9626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627

This theorem is referenced by: (None)