Theorem z2ge 9828

Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
z2ge	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Proof of Theorem z2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M <_ N )
3	1	zred 9377	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. RR )
4	3	leidd 8473	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N <_ N )
5		breq2 4009	. . . . 5 |- ( k = N -> ( M <_ k <-> M <_ N ) )
6		breq2 4009	. . . . 5 |- ( k = N -> ( N <_ k <-> N <_ N ) )
7	5, 6	anbi12d 473	. . . 4 |- ( k = N -> ( ( M <_ k /\ N <_ k ) <-> ( M <_ N /\ N <_ N ) ) )
8	7	rspcev 2843	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ N <_ N ) ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
9	1, 2, 4, 8	syl12anc 1236	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
10		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
11	10	zred 9377	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. RR )
12	11	leidd 8473	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M <_ M )
13		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> N <_ M )
14		breq2 4009	. . . . 5 |- ( k = M -> ( M <_ k <-> M <_ M ) )
15		breq2 4009	. . . . 5 |- ( k = M -> ( N <_ k <-> N <_ M ) )
16	14, 15	anbi12d 473	. . . 4 |- ( k = M -> ( ( M <_ k /\ N <_ k ) <-> ( M <_ M /\ N <_ M ) ) )
17	16	rspcev 2843	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M <_ M /\ N <_ M ) ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
18	10, 12, 13, 17	syl12anc 1236	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
19		zletric 9299	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ N <_ M ) )
20	9, 18, 19	mpjaodan 798	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4005   <_ cle 7995   ZZcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by: (None)