Theorem z2ge 9813

Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
z2ge	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Proof of Theorem z2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M <_ N )
3	1	zred 9364	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. RR )
4	3	leidd 8461	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N <_ N )
5		breq2 4004	. . . . 5 |- ( k = N -> ( M <_ k <-> M <_ N ) )
6		breq2 4004	. . . . 5 |- ( k = N -> ( N <_ k <-> N <_ N ) )
7	5, 6	anbi12d 473	. . . 4 |- ( k = N -> ( ( M <_ k /\ N <_ k ) <-> ( M <_ N /\ N <_ N ) ) )
8	7	rspcev 2841	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ N <_ N ) ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
9	1, 2, 4, 8	syl12anc 1236	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
10		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
11	10	zred 9364	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. RR )
12	11	leidd 8461	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M <_ M )
13		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> N <_ M )
14		breq2 4004	. . . . 5 |- ( k = M -> ( M <_ k <-> M <_ M ) )
15		breq2 4004	. . . . 5 |- ( k = M -> ( N <_ k <-> N <_ M ) )
16	14, 15	anbi12d 473	. . . 4 |- ( k = M -> ( ( M <_ k /\ N <_ k ) <-> ( M <_ M /\ N <_ M ) ) )
17	16	rspcev 2841	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M <_ M /\ N <_ M ) ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
18	10, 12, 13, 17	syl12anc 1236	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
19		zletric 9286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ N <_ M ) )
20	9, 18, 19	mpjaodan 798	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4000   <_ cle 7983   ZZcz 9242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243

This theorem is referenced by: (None)