Theorem z2ge 9639

Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
z2ge	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Proof of Theorem z2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 520	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
2		simpr 109	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M <_ N )
3	1	zred 9197	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. RR )
4	3	leidd 8300	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N <_ N )
5		breq2 3941	. . . . 5 |- ( k = N -> ( M <_ k <-> M <_ N ) )
6		breq2 3941	. . . . 5 |- ( k = N -> ( N <_ k <-> N <_ N ) )
7	5, 6	anbi12d 465	. . . 4 |- ( k = N -> ( ( M <_ k /\ N <_ k ) <-> ( M <_ N /\ N <_ N ) ) )
8	7	rspcev 2793	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ N <_ N ) ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
9	1, 2, 4, 8	syl12anc 1215	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
10		simpll 519	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
11	10	zred 9197	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. RR )
12	11	leidd 8300	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M <_ M )
13		simpr 109	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> N <_ M )
14		breq2 3941	. . . . 5 |- ( k = M -> ( M <_ k <-> M <_ M ) )
15		breq2 3941	. . . . 5 |- ( k = M -> ( N <_ k <-> N <_ M ) )
16	14, 15	anbi12d 465	. . . 4 |- ( k = M -> ( ( M <_ k /\ N <_ k ) <-> ( M <_ M /\ N <_ M ) ) )
17	16	rspcev 2793	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M <_ M /\ N <_ M ) ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
18	10, 12, 13, 17	syl12anc 1215	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
19		zletric 9122	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ N <_ M ) )
20	9, 18, 19	mpjaodan 788	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   class class class wbr 3937   <_ cle 7825   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by: (None)