ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdmet Unicode version

Theorem bdmet 12685
Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
bdmet  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, C   
x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem bdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 9461 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 9465 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 304 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 stdbdmet.1 . . . . 5  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  ) )
54bdxmet 12684 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
653expb 1182 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( R  e. 
RR*  /\  0  <  R ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
73, 6sylan2 284 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
8 xmetcl 12535 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
983expb 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
109adantlr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
111ad2antlr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR* )
12 xrmincl 11047 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
1310, 11, 12syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
14 rpre 9460 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
1514ad2antlr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR )
16 xmetge0 12548 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
17163expb 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
1817adantlr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
19 rpge0 9466 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_  R )
2019ad2antlr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  R )
21 0xr 7824 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
22 xrlemininf 11052 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
x C y )  e.  RR*  /\  R  e. 
RR* )  ->  (
0  <_ inf ( {
( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <->  ( 0  <_  ( x C y )  /\  0  <_  R ) ) )
2321, 10, 11, 22mp3an2i 1320 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( 0  <_ inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <->  ( 0  <_  ( x C y )  /\  0  <_  R ) ) )
2418, 20, 23mpbir2and 928 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_ inf ( {
( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )
)
25 xrmin2inf 11049 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <_  R )
2610, 11, 25syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <_  R )
27 xrrege0 9620 . . . . 5  |-  ( ( (inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR )  /\  (
0  <_ inf ( {
( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  /\ inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <_  R
) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
2813, 15, 24, 26, 27syl22anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
2928ralrimivva 2514 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
304fmpo 6099 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
3129, 30sylib 121 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
32 ismet2 12537 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
337, 31, 32sylanbrc 413 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   {cpr 3528   class class class wbr 3929    X. cxp 4537   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    e. cmpo 5776  infcinf 6870   RRcr 7631   0cc0 7632   RR*cxr 7811    < clt 7812    <_ cle 7813   RR+crp 9453   *Metcxmet 12163   Metcmet 12164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-icc 9690  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-xmet 12171  df-met 12172
This theorem is referenced by:  mopnex  12688
  Copyright terms: Public domain W3C validator