ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdmet Unicode version

Theorem bdmet 12582
Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
bdmet  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, C   
x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem bdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 9404 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 9408 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 304 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 stdbdmet.1 . . . . 5  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  ) )
54bdxmet 12581 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
653expb 1167 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( R  e. 
RR*  /\  0  <  R ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
73, 6sylan2 284 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
8 xmetcl 12432 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
983expb 1167 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
109adantlr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
111ad2antlr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR* )
12 xrmincl 10990 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
1310, 11, 12syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
14 rpre 9403 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
1514ad2antlr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR )
16 xmetge0 12445 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
17163expb 1167 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
1817adantlr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
19 rpge0 9409 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_  R )
2019ad2antlr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  R )
21 0xr 7780 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
22 xrlemininf 10995 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
x C y )  e.  RR*  /\  R  e. 
RR* )  ->  (
0  <_ inf ( {
( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <->  ( 0  <_  ( x C y )  /\  0  <_  R ) ) )
2321, 10, 11, 22mp3an2i 1305 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( 0  <_ inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <->  ( 0  <_  ( x C y )  /\  0  <_  R ) ) )
2418, 20, 23mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_ inf ( {
( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )
)
25 xrmin2inf 10992 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <_  R )
2610, 11, 25syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <_  R )
27 xrrege0 9563 . . . . 5  |-  ( ( (inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR )  /\  (
0  <_ inf ( {
( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  /\ inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <_  R
) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
2813, 15, 24, 26, 27syl22anc 1202 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
2928ralrimivva 2491 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
304fmpo 6067 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
3129, 30sylib 121 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
32 ismet2 12434 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
337, 31, 32sylanbrc 413 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   {cpr 3498   class class class wbr 3899    X. cxp 4507   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742    e. cmpo 5744  infcinf 6838   RRcr 7587   0cc0 7588   RR*cxr 7767    < clt 7768    <_ cle 7769   RR+crp 9397   *Metcxmet 12060   Metcmet 12061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-map 6512  df-sup 6839  df-inf 6840  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-2 8743  df-3 8744  df-4 8745  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-rp 9398  df-xneg 9514  df-xadd 9515  df-icc 9633  df-seqfrec 10174  df-exp 10248  df-cj 10569  df-re 10570  df-im 10571  df-rsqrt 10725  df-abs 10726  df-xmet 12068  df-met 12069
This theorem is referenced by:  mopnex  12585
  Copyright terms: Public domain W3C validator