Theorem bdmet 15526

Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	|- D = ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) )

Assertion

Ref	Expression
bdmet	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)

Proof of Theorem bdmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 10041	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
2		rpgt0 10045	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> 0 < R )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( R e. RR* /\ 0 < R ) )
4		stdbdmet.1	. . . . 5 |- D = ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) )
5	4	bdxmet 15525	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )
6	5	3expb 1235	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( R e. RR* /\ 0 < R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
7	3, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8		xmetcl 15376	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. RR* )
9	8	3expb 1235	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. RR* )
10	9	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. RR* )
11	1	ad2antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> R e. RR* )
12		xrmincl 12010	. . . . . 6 |- ( ( ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR* )
13	10, 11, 12	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR* )
14		rpre 10040	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> R e. RR )
15	14	ad2antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> R e. RR )
16		xmetge0 15389	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( x C y ) )
17	16	3expb 1235	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x C y ) )
18	17	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x C y ) )
19		rpge0 10046	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ R )
20	19	ad2antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ R )
21		0xr 8362	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
22		xrlemininf 12015	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ ( x C y ) /\ 0 <_ R ) ) )
23	21, 10, 11, 22	mp3an2i 1383	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ ( x C y ) /\ 0 <_ R ) ) )
24	18, 20, 23	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) )
25		xrmin2inf 12012	. . . . . 6 |- ( ( ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <_ R )
26	10, 11, 25	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <_ R )
27		xrrege0 10206	. . . . 5 |- ( ( (inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR* /\ R e. RR ) /\ ( 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) /\ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <_ R ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR )
28	13, 15, 24, 26, 27	syl22anc 1279	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR )
29	28	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> A. x e. X A. y e. X inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR )
30	4	fmpo 6427	. . 3 |- ( A. x e. X A. y e. X inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR <-> D : ( X X. X ) --> RR )
31	29, 30	sylib 122	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
32		ismet2 15378	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
33	7, 31, 32	sylanbrc 421	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {cpr 3706   class class class wbr 4125   X. cxp 4767   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077  infcinf 7313   RRcr 8168   0cc0 8169   RR*cxr 8349   < clt 8350   <_ cle 8351   RR+crp 10033   *Metcxmet 14845   Metcmet 14846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-map 6914  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-icc 10276  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-xmet 14853  df-met 14854

This theorem is referenced by:  mopnex  15529