Theorem bdmet 15313

Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	|- D = ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) )

Assertion

Ref	Expression
bdmet	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)

Proof of Theorem bdmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 9957	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
2		rpgt0 9961	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> 0 < R )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( R e. RR* /\ 0 < R ) )
4		stdbdmet.1	. . . . 5 |- D = ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) )
5	4	bdxmet 15312	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )
6	5	3expb 1231	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( R e. RR* /\ 0 < R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
7	3, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8		xmetcl 15163	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. RR* )
9	8	3expb 1231	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. RR* )
10	9	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. RR* )
11	1	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> R e. RR* )
12		xrmincl 11906	. . . . . 6 |- ( ( ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR* )
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR* )
14		rpre 9956	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> R e. RR )
15	14	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> R e. RR )
16		xmetge0 15176	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( x C y ) )
17	16	3expb 1231	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x C y ) )
18	17	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x C y ) )
19		rpge0 9962	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ R )
20	19	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ R )
21		0xr 8285	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
22		xrlemininf 11911	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ ( x C y ) /\ 0 <_ R ) ) )
23	21, 10, 11, 22	mp3an2i 1379	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ ( x C y ) /\ 0 <_ R ) ) )
24	18, 20, 23	mpbir2and 953	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) )
25		xrmin2inf 11908	. . . . . 6 |- ( ( ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <_ R )
26	10, 11, 25	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <_ R )
27		xrrege0 10121	. . . . 5 |- ( ( (inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR* /\ R e. RR ) /\ ( 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) /\ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <_ R ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR )
28	13, 15, 24, 26, 27	syl22anc 1275	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR )
29	28	ralrimivva 2615	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> A. x e. X A. y e. X inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR )
30	4	fmpo 6375	. . 3 |- ( A. x e. X A. y e. X inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR <-> D : ( X X. X ) --> RR )
31	29, 30	sylib 122	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
32		ismet2 15165	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
33	7, 31, 32	sylanbrc 417	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   {cpr 3674   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030  infcinf 7242   RRcr 8091   0cc0 8092   RR*cxr 8272   < clt 8273   <_ cle 8274   RR+crp 9949   *Metcxmet 14632   Metcmet 14633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-map 6862  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-xneg 10068  df-xadd 10069  df-icc 10191  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-xmet 14640  df-met 14641

This theorem is referenced by:  mopnex  15316