ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdmet Unicode version

Theorem bdmet 13069
Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
bdmet  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, C   
x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem bdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 9589 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 9593 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 304 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 stdbdmet.1 . . . . 5  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  ) )
54bdxmet 13068 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
653expb 1193 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( R  e. 
RR*  /\  0  <  R ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
73, 6sylan2 284 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
8 xmetcl 12919 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
983expb 1193 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
109adantlr 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
111ad2antlr 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR* )
12 xrmincl 11197 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
1310, 11, 12syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
14 rpre 9588 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
1514ad2antlr 481 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR )
16 xmetge0 12932 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
17163expb 1193 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
1817adantlr 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
19 rpge0 9594 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_  R )
2019ad2antlr 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  R )
21 0xr 7937 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
22 xrlemininf 11202 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
x C y )  e.  RR*  /\  R  e. 
RR* )  ->  (
0  <_ inf ( {
( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <->  ( 0  <_  ( x C y )  /\  0  <_  R ) ) )
2321, 10, 11, 22mp3an2i 1331 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( 0  <_ inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <->  ( 0  <_  ( x C y )  /\  0  <_  R ) ) )
2418, 20, 23mpbir2and 933 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_ inf ( {
( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )
)
25 xrmin2inf 11199 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <_  R )
2610, 11, 25syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <_  R )
27 xrrege0 9753 . . . . 5  |-  ( ( (inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR )  /\  (
0  <_ inf ( {
( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  /\ inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <_  R
) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
2813, 15, 24, 26, 27syl22anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
2928ralrimivva 2546 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
304fmpo 6162 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
3129, 30sylib 121 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
32 ismet2 12921 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
337, 31, 32sylanbrc 414 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1342    e. wcel 2135   A.wral 2442   {cpr 3572   class class class wbr 3977    X. cxp 4597   -->wf 5179   ` cfv 5183  (class class class)co 5837    e. cmpo 5839  infcinf 6940   RRcr 7744   0cc0 7745   RR*cxr 7924    < clt 7925    <_ cle 7926   RR+crp 9581   *Metcxmet 12547   Metcmet 12548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-mulrcl 7844  ax-addcom 7845  ax-mulcom 7846  ax-addass 7847  ax-mulass 7848  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-1rid 7852  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-precex 7855  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-apti 7860  ax-pre-ltadd 7861  ax-pre-mulgt0 7862  ax-pre-mulext 7863  ax-arch 7864  ax-caucvg 7865
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-if 3517  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-po 4269  df-iso 4270  df-iord 4339  df-on 4341  df-ilim 4342  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-isom 5192  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-frec 6351  df-map 6608  df-sup 6941  df-inf 6942  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-reap 8465  df-ap 8472  df-div 8561  df-inn 8850  df-2 8908  df-3 8909  df-4 8910  df-n0 9107  df-z 9184  df-uz 9459  df-rp 9582  df-xneg 9700  df-xadd 9701  df-icc 9823  df-seqfrec 10372  df-exp 10446  df-cj 10774  df-re 10775  df-im 10776  df-rsqrt 10930  df-abs 10931  df-xmet 12555  df-met 12556
This theorem is referenced by:  mopnex  13072
  Copyright terms: Public domain W3C validator