ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdmet Unicode version

Theorem bdmet 13895
Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
bdmet  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, C   
x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem bdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 9659 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 9663 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 306 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 stdbdmet.1 . . . . 5  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  ) )
54bdxmet 13894 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
653expb 1204 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( R  e. 
RR*  /\  0  <  R ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
73, 6sylan2 286 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
8 xmetcl 13745 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
983expb 1204 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
109adantlr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
111ad2antlr 489 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR* )
12 xrmincl 11269 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
1310, 11, 12syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
14 rpre 9658 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
1514ad2antlr 489 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR )
16 xmetge0 13758 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
17163expb 1204 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
1817adantlr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
19 rpge0 9664 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_  R )
2019ad2antlr 489 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  R )
21 0xr 8002 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
22 xrlemininf 11274 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
x C y )  e.  RR*  /\  R  e. 
RR* )  ->  (
0  <_ inf ( {
( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <->  ( 0  <_  ( x C y )  /\  0  <_  R ) ) )
2321, 10, 11, 22mp3an2i 1342 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( 0  <_ inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <->  ( 0  <_  ( x C y )  /\  0  <_  R ) ) )
2418, 20, 23mpbir2and 944 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_ inf ( {
( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )
)
25 xrmin2inf 11271 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <_  R )
2610, 11, 25syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <_  R )
27 xrrege0 9823 . . . . 5  |-  ( ( (inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR )  /\  (
0  <_ inf ( {
( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  /\ inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  <_  R
) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
2813, 15, 24, 26, 27syl22anc 1239 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
2928ralrimivva 2559 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
304fmpo 6201 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
3129, 30sylib 122 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
32 ismet2 13747 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
337, 31, 32sylanbrc 417 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   {cpr 3593   class class class wbr 4003    X. cxp 4624   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874    e. cmpo 5876  infcinf 6981   RRcr 7809   0cc0 7810   RR*cxr 7989    < clt 7990    <_ cle 7991   RR+crp 9651   *Metcxmet 13331   Metcmet 13332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-icc 9893  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-xmet 13339  df-met 13340
This theorem is referenced by:  mopnex  13898
  Copyright terms: Public domain W3C validator