Theorem bdmet 15089

Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	|- D = ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) )

Assertion

Ref	Expression
bdmet	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)

Proof of Theorem bdmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 9818	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
2		rpgt0 9822	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> 0 < R )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( R e. RR* /\ 0 < R ) )
4		stdbdmet.1	. . . . 5 |- D = ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) )
5	4	bdxmet 15088	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )
6	5	3expb 1207	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( R e. RR* /\ 0 < R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
7	3, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8		xmetcl 14939	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. RR* )
9	8	3expb 1207	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. RR* )
10	9	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. RR* )
11	1	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> R e. RR* )
12		xrmincl 11692	. . . . . 6 |- ( ( ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR* )
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR* )
14		rpre 9817	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> R e. RR )
15	14	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> R e. RR )
16		xmetge0 14952	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( x C y ) )
17	16	3expb 1207	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x C y ) )
18	17	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x C y ) )
19		rpge0 9823	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ R )
20	19	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ R )
21		0xr 8154	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
22		xrlemininf 11697	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ ( x C y ) /\ 0 <_ R ) ) )
23	21, 10, 11, 22	mp3an2i 1355	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ ( x C y ) /\ 0 <_ R ) ) )
24	18, 20, 23	mpbir2and 947	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) )
25		xrmin2inf 11694	. . . . . 6 |- ( ( ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <_ R )
26	10, 11, 25	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <_ R )
27		xrrege0 9982	. . . . 5 |- ( ( (inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR* /\ R e. RR ) /\ ( 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) /\ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <_ R ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR )
28	13, 15, 24, 26, 27	syl22anc 1251	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR )
29	28	ralrimivva 2590	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> A. x e. X A. y e. X inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR )
30	4	fmpo 6310	. . 3 |- ( A. x e. X A. y e. X inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR <-> D : ( X X. X ) --> RR )
31	29, 30	sylib 122	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
32		ismet2 14941	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
33	7, 31, 32	sylanbrc 417	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   {cpr 3644   class class class wbr 4059   X. cxp 4691   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969  infcinf 7111   RRcr 7959   0cc0 7960   RR*cxr 8141   < clt 8142   <_ cle 8143   RR+crp 9810   *Metcxmet 14413   Metcmet 14414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-map 6760  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-icc 10052  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-xmet 14421  df-met 14422

This theorem is referenced by:  mopnex  15092