Theorem ge0gtmnf 9722

Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0gtmnf	|- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )

Proof of Theorem ge0gtmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 9686	. 2 |- -oo < 0
2		mnfxr 7929	. . . 4 |- -oo e. RR*
3		0xr 7919	. . . 4 |- 0 e. RR*
4		xrltletr 9706	. . . 4 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) -> -oo < A ) )
5	2, 3, 4	mp3an12 1309	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) -> -oo < A ) )
6	5	imp 123	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) ) -> -oo < A )
7	1, 6	mpanr1 434	1 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   0cc0 7727   -oocmnf 7905   RR*cxr 7906   < clt 7907   <_ cle 7908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1re 7821  ax-addrcl 7824  ax-rnegex 7836  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-cnv 4593  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913

This theorem is referenced by:  ge0nemnf  9723  xrrege0  9724