Theorem ge0gtmnf 10207

Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0gtmnf	|- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )

Proof of Theorem ge0gtmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 10168	. 2 |- -oo < 0
2		mnfxr 8375	. . . 4 |- -oo e. RR*
3		0xr 8365	. . . 4 |- 0 e. RR*
4		xrltletr 10191	. . . 4 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) -> -oo < A ) )
5	2, 3, 4	mp3an12 1368	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) -> -oo < A ) )
6	5	imp 124	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) ) -> -oo < A )
7	1, 6	mpanr1 441	1 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   0cc0 8172   -oocmnf 8351   RR*cxr 8352   < clt 8353   <_ cle 8354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1re 8266  ax-addrcl 8269  ax-rnegex 8281  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359

This theorem is referenced by:  ge0nemnf  10208  xrrege0  10209  pcgcd1  13088