Theorem ge0gtmnf 10179

Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0gtmnf	|- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )

Proof of Theorem ge0gtmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 10140	. 2 |- -oo < 0
2		mnfxr 8347	. . . 4 |- -oo e. RR*
3		0xr 8337	. . . 4 |- 0 e. RR*
4		xrltletr 10163	. . . 4 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) -> -oo < A ) )
5	2, 3, 4	mp3an12 1364	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) -> -oo < A ) )
6	5	imp 124	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) ) -> -oo < A )
7	1, 6	mpanr1 437	1 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4115   0cc0 8144   -oocmnf 8323   RR*cxr 8324   < clt 8325   <_ cle 8326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1re 8238  ax-addrcl 8241  ax-rnegex 8253  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4761  df-cnv 4763  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331

This theorem is referenced by:  ge0nemnf  10180  xrrege0  10181  pcgcd1  13056