Theorem ge0gtmnf 9606

Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0gtmnf	|- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )

Proof of Theorem ge0gtmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 9570	. 2 |- -oo < 0
2		mnfxr 7822	. . . 4 |- -oo e. RR*
3		0xr 7812	. . . 4 |- 0 e. RR*
4		xrltletr 9590	. . . 4 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) -> -oo < A ) )
5	2, 3, 4	mp3an12 1305	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) -> -oo < A ) )
6	5	imp 123	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) ) -> -oo < A )
7	1, 6	mpanr1 433	1 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   0cc0 7620   -oocmnf 7798   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717  ax-rnegex 7729  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806

This theorem is referenced by:  ge0nemnf  9607  xrrege0  9608