ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmetlecl Unicode version

Theorem psmetlecl 13467
Description: Real closure of an extended metric value that is upper bounded by a real. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetlecl  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( A D B )  <_  C )
)  ->  ( A D B )  e.  RR )

Proof of Theorem psmetlecl
StepHypRef Expression
1 psmetcl 13459 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e. 
RR* )
213expb 1204 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
323adant3 1017 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( A D B )  <_  C )
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
4 simp3l 1025 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( A D B )  <_  C )
)  ->  C  e.  RR )
5 psmetge0 13464 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  0  <_  ( A D B ) )
653expb 1204 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
763adant3 1017 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( A D B )  <_  C )
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
8 simp3r 1026 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( A D B )  <_  C )
)  ->  ( A D B )  <_  C
)
9 xrrege0 9799 . 2  |-  ( ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A D B )  /\  ( A D B )  <_  C ) )  -> 
( A D B )  e.  RR )
103, 4, 7, 8, 9syl22anc 1239 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( A D B )  <_  C )
)  ->  ( A D B )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   RRcr 7788   0cc0 7789   RR*cxr 7968    <_ cle 7970  PsMetcpsmet 13112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-map 6643  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-2 8954  df-xadd 9747  df-psmet 13120
This theorem is referenced by:  blss2ps  13539  blssps  13560
  Copyright terms: Public domain W3C validator