Theorem xmetlecl 14028

Description: Real closure of an extended metric value that is upper bounded by a real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetlecl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR )

Proof of Theorem xmetlecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetcl 14013	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
2	1	3expb 1204	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) e. RR* )
3	2	3adant3 1017	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR* )
4		simp3l 1025	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> C e. RR )
5		xmetge0 14026	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )
6	5	3expb 1204	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> 0 <_ ( A D B ) )
7	6	3adant3 1017	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> 0 <_ ( A D B ) )
8		simp3r 1026	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) <_ C )
9		xrrege0 9828	. 2 |- ( ( ( ( A D B ) e. RR* /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A D B ) /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR )
10	3, 4, 7, 8, 9	syl22anc 1239	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   RRcr 7813   0cc0 7814   RR*cxr 7994   <_ cle 7996   *Metcxmet 13587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-map 6653  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-2 8981  df-xadd 9776  df-xmet 13595

This theorem is referenced by:  blss2  14068  blss  14089  xmeter  14097