Theorem xmetlecl 12350

Description: Real closure of an extended metric value that is upper bounded by a real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetlecl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR )

Proof of Theorem xmetlecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetcl 12335	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
2	1	3expb 1163	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) e. RR* )
3	2	3adant3 982	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR* )
4		simp3l 990	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> C e. RR )
5		xmetge0 12348	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )
6	5	3expb 1163	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> 0 <_ ( A D B ) )
7	6	3adant3 982	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> 0 <_ ( A D B ) )
8		simp3r 991	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) <_ C )
9		xrrege0 9495	. 2 |- ( ( ( ( A D B ) e. RR* /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A D B ) /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR )
10	3, 4, 7, 8, 9	syl22anc 1198	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 943   e. wcel 1461   class class class wbr 3893   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   RRcr 7540   0cc0 7541   RR*cxr 7717   <_ cle 7719   *Metcxmet 11986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-map 6496  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-2 8683  df-xadd 9447  df-xmet 11994

This theorem is referenced by:  blss2  12390  blss  12411  xmeter  12419