ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetlecl Unicode version

Theorem xmetlecl 14107
Description: Real closure of an extended metric value that is upper bounded by a real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetlecl  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( A D B )  <_  C ) )  -> 
( A D B )  e.  RR )

Proof of Theorem xmetlecl
StepHypRef Expression
1 xmetcl 14092 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
213expb 1205 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  e.  RR* )
323adant3 1018 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( A D B )  <_  C ) )  -> 
( A D B )  e.  RR* )
4 simp3l 1026 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( A D B )  <_  C ) )  ->  C  e.  RR )
5 xmetge0 14105 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
653expb 1205 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( A D B ) )
763adant3 1018 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( A D B )  <_  C ) )  -> 
0  <_  ( A D B ) )
8 simp3r 1027 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( A D B )  <_  C ) )  -> 
( A D B )  <_  C )
9 xrrege0 9838 . 2  |-  ( ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A D B )  /\  ( A D B )  <_  C ) )  -> 
( A D B )  e.  RR )
103, 4, 7, 8, 9syl22anc 1249 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( A D B )  <_  C ) )  -> 
( A D B )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 979    e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   RRcr 7823   0cc0 7824   RR*cxr 8004    <_ cle 8006   *Metcxmet 13666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-map 6663  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-2 8991  df-xadd 9786  df-xmet 13674
This theorem is referenced by:  blss2  14147  blss  14168  xmeter  14176
  Copyright terms: Public domain W3C validator