Theorem xmetlecl 15364

Description: Real closure of an extended metric value that is upper bounded by a real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetlecl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR )

Proof of Theorem xmetlecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetcl 15349	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
2	1	3expb 1231	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) e. RR* )
3	2	3adant3 1044	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR* )
4		simp3l 1052	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> C e. RR )
5		xmetge0 15362	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )
6	5	3expb 1231	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> 0 <_ ( A D B ) )
7	6	3adant3 1044	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> 0 <_ ( A D B ) )
8		simp3r 1053	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) <_ C )
9		xrrege0 10182	. 2 |- ( ( ( ( A D B ) e. RR* /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A D B ) /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR )
10	3, 4, 7, 8, 9	syl22anc 1275	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4115   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   RRcr 8144   0cc0 8145   RR*cxr 8325   <_ cle 8327   *Metcxmet 14816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 6899  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-2 9318  df-xadd 10130  df-xmet 14824

This theorem is referenced by:  blss2  15404  blss  15425  xmeter  15433