Theorem xmetlecl 12727

Description: Real closure of an extended metric value that is upper bounded by a real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetlecl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR )

Proof of Theorem xmetlecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetcl 12712	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
2	1	3expb 1186	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) e. RR* )
3	2	3adant3 1002	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR* )
4		simp3l 1010	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> C e. RR )
5		xmetge0 12725	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )
6	5	3expb 1186	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> 0 <_ ( A D B ) )
7	6	3adant3 1002	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> 0 <_ ( A D B ) )
8		simp3r 1011	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) <_ C )
9		xrrege0 9711	. 2 |- ( ( ( ( A D B ) e. RR* /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A D B ) /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR )
10	3, 4, 7, 8, 9	syl22anc 1221	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. RR /\ ( A D B ) <_ C ) ) -> ( A D B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   RRcr 7714   0cc0 7715   RR*cxr 7894   <_ cle 7896   *Metcxmet 12340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-map 6588  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-2 8875  df-xadd 9662  df-xmet 12348

This theorem is referenced by:  blss2  12767  blss  12788  xmeter  12796