Theorem ge0nemnf 10049

Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0nemnf	|- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A =/= -oo )

Proof of Theorem ge0nemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0gtmnf 10048	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )
2		ngtmnft 10042	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
4	3	biimpd 144	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> ( A = -oo -> -. -oo < A ) )
5	4	necon2ad 2457	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> ( -oo < A -> A =/= -oo ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4086   0cc0 8022   -oocmnf 8202   RR*cxr 8203   < clt 8204   <_ cle 8205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210

This theorem is referenced by:  xlesubadd  10108  xrbdtri  11827  isxmet2d  15062  xmetrtri  15090  xblpnfps  15112  xblpnf  15113  xblss2ps  15118  xblss2  15119