Theorem ge0nemnf 10205

Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0nemnf	|- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A =/= -oo )

Proof of Theorem ge0nemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0gtmnf 10204	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )
2		ngtmnft 10198	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
4	3	biimpd 144	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> ( A = -oo -> -. -oo < A ) )
5	4	necon2ad 2477	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> ( -oo < A -> A =/= -oo ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4125   0cc0 8169   -oocmnf 8348   RR*cxr 8349   < clt 8350   <_ cle 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356

This theorem is referenced by:  xlesubadd  10264  xrbdtri  12020  isxmet2d  15372  xmetrtri  15400  xblpnfps  15422  xblpnf  15423  xblss2ps  15428  xblss2  15429