Theorem zfregfr 4591

Description: The epsilon relation is well-founded on any class. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
zfregfr	|- _E Fr A

Proof of Theorem zfregfr

Dummy variables s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-frind 4350	. 2 |- ( _E Fr A <-> A. sFrFor _E A s )
2		bi2.04 248	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> ( x e. A -> ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) ) )
3	2	albii 1481	. . . . . 6 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> A. x ( x e. A -> ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) ) )
4		df-ral 2473	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) <-> A. x ( x e. A -> ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) ) )
5	3, 4	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> A. x e. A ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) )
6		sbim 1965	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> ( [ y / x ] x e. A -> [ y / x ] x e. s ) )
7		clelsb1 2294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ y / x ] x e. A <-> y e. A )
8		clelsb1 2294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ y / x ] x e. s <-> y e. s )
9	7, 8	imbi12i 239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ y / x ] x e. A -> [ y / x ] x e. s ) <-> ( y e. A -> y e. s ) )
10	6, 9	bitri 184	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> ( y e. A -> y e. s ) )
11	10	ralbii 2496	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> A. y e. x ( y e. A -> y e. s ) )
12		ralcom3 2658	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x ( y e. A -> y e. s ) <-> A. y e. A ( y e. x -> y e. s ) )
13	11, 12	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> A. y e. A ( y e. x -> y e. s ) )
14		epel 4310	. . . . . . . . . 10 |- ( y _E x <-> y e. x )
15	14	imbi1i 238	. . . . . . . . 9 |- ( ( y _E x -> y e. s ) <-> ( y e. x -> y e. s ) )
16	15	ralbii 2496	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) <-> A. y e. A ( y e. x -> y e. s ) )
17	13, 16	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) )
18	17	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) <-> ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) )
19	18	ralbii 2496	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) <-> A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) )
20	5, 19	bitri 184	. . . 4 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) )
21		ax-setind 4554	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) -> A. x ( x e. A -> x e. s ) )
22		dfss2 3159	. . . . 5 |- ( A C_ s <-> A. x ( x e. A -> x e. s ) )
23	21, 22	sylibr 134	. . . 4 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) -> A C_ s )
24	20, 23	sylbir 135	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s )
25		df-frfor 4349	. . 3 |- (FrFor _E A s <-> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
26	24, 25	mpbir 146	. 2 |- FrFor _E A s
27	1, 26	mpgbir 1464	1 |- _E Fr A

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1362   [wsb 1773   e. wcel 2160   A.wral 2468   C_ wss 3144   class class class wbr 4018   _E cep 4305  FrFor wfrfor 4345   Fr wfr 4346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-eprel 4307  df-frfor 4349  df-frind 4350

This theorem is referenced by:  ordfr  4592  wessep  4595  reg3exmidlemwe  4596