Theorem zfregfr 4531

Description: The epsilon relation is well-founded on any class. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
zfregfr	|- _E Fr A

Proof of Theorem zfregfr

Dummy variables s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-frind 4291	. 2 |- ( _E Fr A <-> A. sFrFor _E A s )
2		bi2.04 247	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> ( x e. A -> ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) ) )
3	2	albii 1450	. . . . . 6 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> A. x ( x e. A -> ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) ) )
4		df-ral 2440	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) <-> A. x ( x e. A -> ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) ) )
5	3, 4	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> A. x e. A ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) )
6		sbim 1933	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> ( [ y / x ] x e. A -> [ y / x ] x e. s ) )
7		clelsb3 2262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ y / x ] x e. A <-> y e. A )
8		clelsb3 2262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ y / x ] x e. s <-> y e. s )
9	7, 8	imbi12i 238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ y / x ] x e. A -> [ y / x ] x e. s ) <-> ( y e. A -> y e. s ) )
10	6, 9	bitri 183	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> ( y e. A -> y e. s ) )
11	10	ralbii 2463	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> A. y e. x ( y e. A -> y e. s ) )
12		ralcom3 2624	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x ( y e. A -> y e. s ) <-> A. y e. A ( y e. x -> y e. s ) )
13	11, 12	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> A. y e. A ( y e. x -> y e. s ) )
14		epel 4251	. . . . . . . . . 10 |- ( y _E x <-> y e. x )
15	14	imbi1i 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( y _E x -> y e. s ) <-> ( y e. x -> y e. s ) )
16	15	ralbii 2463	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) <-> A. y e. A ( y e. x -> y e. s ) )
17	13, 16	bitr4i 186	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) )
18	17	imbi1i 237	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) <-> ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) )
19	18	ralbii 2463	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) <-> A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) )
20	5, 19	bitri 183	. . . 4 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) )
21		ax-setind 4494	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) -> A. x ( x e. A -> x e. s ) )
22		dfss2 3117	. . . . 5 |- ( A C_ s <-> A. x ( x e. A -> x e. s ) )
23	21, 22	sylibr 133	. . . 4 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) -> A C_ s )
24	20, 23	sylbir 134	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s )
25		df-frfor 4290	. . 3 |- (FrFor _E A s <-> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
26	24, 25	mpbir 145	. 2 |- FrFor _E A s
27	1, 26	mpgbir 1433	1 |- _E Fr A

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1333   [wsb 1742   e. wcel 2128   A.wral 2435   C_ wss 3102   class class class wbr 3965   _E cep 4246  FrFor wfrfor 4286   Fr wfr 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-setind 4494

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-eprel 4248  df-frfor 4290  df-frind 4291

This theorem is referenced by:  ordfr  4532  wessep  4535  reg3exmidlemwe  4536