Theorem zfregfr 4666

Description: The epsilon relation is well-founded on any class. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
zfregfr	|- _E Fr A

Proof of Theorem zfregfr

Dummy variables s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-frind 4423	. 2 |- ( _E Fr A <-> A. sFrFor _E A s )
2		bi2.04 248	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> ( x e. A -> ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) ) )
3	2	albii 1516	. . . . . 6 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> A. x ( x e. A -> ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) ) )
4		df-ral 2513	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) <-> A. x ( x e. A -> ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) ) )
5	3, 4	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> A. x e. A ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) )
6		sbim 2004	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> ( [ y / x ] x e. A -> [ y / x ] x e. s ) )
7		clelsb1 2334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ y / x ] x e. A <-> y e. A )
8		clelsb1 2334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ y / x ] x e. s <-> y e. s )
9	7, 8	imbi12i 239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ y / x ] x e. A -> [ y / x ] x e. s ) <-> ( y e. A -> y e. s ) )
10	6, 9	bitri 184	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> ( y e. A -> y e. s ) )
11	10	ralbii 2536	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> A. y e. x ( y e. A -> y e. s ) )
12		ralcom3 2699	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x ( y e. A -> y e. s ) <-> A. y e. A ( y e. x -> y e. s ) )
13	11, 12	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> A. y e. A ( y e. x -> y e. s ) )
14		epel 4383	. . . . . . . . . 10 |- ( y _E x <-> y e. x )
15	14	imbi1i 238	. . . . . . . . 9 |- ( ( y _E x -> y e. s ) <-> ( y e. x -> y e. s ) )
16	15	ralbii 2536	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) <-> A. y e. A ( y e. x -> y e. s ) )
17	13, 16	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) )
18	17	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) <-> ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) )
19	18	ralbii 2536	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) <-> A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) )
20	5, 19	bitri 184	. . . 4 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) )
21		ax-setind 4629	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) -> A. x ( x e. A -> x e. s ) )
22		ssalel 3212	. . . . 5 |- ( A C_ s <-> A. x ( x e. A -> x e. s ) )
23	21, 22	sylibr 134	. . . 4 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) -> A C_ s )
24	20, 23	sylbir 135	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s )
25		df-frfor 4422	. . 3 |- (FrFor _E A s <-> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
26	24, 25	mpbir 146	. 2 |- FrFor _E A s
27	1, 26	mpgbir 1499	1 |- _E Fr A

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1393   [wsb 1808   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   _E cep 4378  FrFor wfrfor 4418   Fr wfr 4419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-eprel 4380  df-frfor 4422  df-frind 4423

This theorem is referenced by:  ordfr  4667  wessep  4670  reg3exmidlemwe  4671