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Theorem zfregfr 4379
Description: The epsilon relation is well-founded on any class. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
zfregfr  |-  _E  Fr  A

Proof of Theorem zfregfr
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-frind 4150 . 2  |-  (  _E  Fr  A  <->  A. sFrFor  _E  A s )
2 bi2.04 246 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s ) ) )
32albii 1404 . . . . . 6  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s ) ) )
4 df-ral 2364 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s ) ) )
53, 4bitr4i 185 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s ) )
6 sbim 1875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <-> 
( [ y  /  x ] x  e.  A  ->  [ y  /  x ] x  e.  s
) )
7 clelsb3 2192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  A  <->  y  e.  A )
8 clelsb3 2192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  s  <->  y  e.  s )
97, 8imbi12i 237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( [ y  /  x ] x  e.  A  ->  [ y  /  x ] x  e.  s
)  <->  ( y  e.  A  ->  y  e.  s ) )
106, 9bitri 182 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <-> 
( y  e.  A  ->  y  e.  s ) )
1110ralbii 2384 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <->  A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  y  e.  s ) )
12 ralcom3 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
y  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  e.  s ) )
1311, 12bitri 182 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  e.  s ) )
14 epel 4110 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
1514imbi1i 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  _E  x  -> 
y  e.  s )  <-> 
( y  e.  x  ->  y  e.  s ) )
1615ralbii 2384 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  (
y  _E  x  -> 
y  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  e.  s ) )
1713, 16bitr4i 185 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y  _E  x  ->  y  e.  s ) )
1817imbi1i 236 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  ( A. y  e.  A  (
y  _E  x  -> 
y  e.  s )  ->  x  e.  s ) )
1918ralbii 2384 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y  _E  x  -> 
y  e.  s )  ->  x  e.  s ) )
205, 19bitri 182 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y  _E  x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s ) )
21 ax-setind 4343 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  ->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  s ) )
22 dfss2 3012 . . . . 5  |-  ( A 
C_  s  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  s ) )
2321, 22sylibr 132 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  ->  A  C_  s
)
2420, 23sylbir 133 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y  _E  x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s
)
25 df-frfor 4149 . . 3  |-  (FrFor  _E  A s  <->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y  _E  x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s
) )
2624, 25mpbir 144 . 2  |- FrFor  _E  A
s
271, 26mpgbir 1387 1  |-  _E  Fr  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1287    e. wcel 1438   [wsb 1692   A.wral 2359    C_ wss 2997   class class class wbr 3837    _E cep 4105  FrFor wfrfor 4145    Fr wfr 4146
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-eprel 4107  df-frfor 4149  df-frind 4150
This theorem is referenced by:  ordfr  4380  wessep  4383  reg3exmidlemwe  4384
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