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Theorem zfregfr 4591
Description: The epsilon relation is well-founded on any class. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
zfregfr  |-  _E  Fr  A

Proof of Theorem zfregfr
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-frind 4350 . 2  |-  (  _E  Fr  A  <->  A. sFrFor  _E  A s )
2 bi2.04 248 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s ) ) )
32albii 1481 . . . . . 6  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s ) ) )
4 df-ral 2473 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s ) ) )
53, 4bitr4i 187 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s ) )
6 sbim 1965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <-> 
( [ y  /  x ] x  e.  A  ->  [ y  /  x ] x  e.  s
) )
7 clelsb1 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  A  <->  y  e.  A )
8 clelsb1 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  s  <->  y  e.  s )
97, 8imbi12i 239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( [ y  /  x ] x  e.  A  ->  [ y  /  x ] x  e.  s
)  <->  ( y  e.  A  ->  y  e.  s ) )
106, 9bitri 184 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <-> 
( y  e.  A  ->  y  e.  s ) )
1110ralbii 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <->  A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  y  e.  s ) )
12 ralcom3 2658 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
y  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  e.  s ) )
1311, 12bitri 184 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  e.  s ) )
14 epel 4310 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
1514imbi1i 238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  _E  x  -> 
y  e.  s )  <-> 
( y  e.  x  ->  y  e.  s ) )
1615ralbii 2496 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  (
y  _E  x  -> 
y  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  e.  s ) )
1713, 16bitr4i 187 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y  _E  x  ->  y  e.  s ) )
1817imbi1i 238 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  ( A. y  e.  A  (
y  _E  x  -> 
y  e.  s )  ->  x  e.  s ) )
1918ralbii 2496 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y  _E  x  -> 
y  e.  s )  ->  x  e.  s ) )
205, 19bitri 184 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y  _E  x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s ) )
21 ax-setind 4554 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  ->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  s ) )
22 dfss2 3159 . . . . 5  |-  ( A 
C_  s  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  s ) )
2321, 22sylibr 134 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  ->  A  C_  s
)
2420, 23sylbir 135 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y  _E  x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s
)
25 df-frfor 4349 . . 3  |-  (FrFor  _E  A s  <->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y  _E  x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s
) )
2624, 25mpbir 146 . 2  |- FrFor  _E  A
s
271, 26mpgbir 1464 1  |-  _E  Fr  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1362   [wsb 1773    e. wcel 2160   A.wral 2468    C_ wss 3144   class class class wbr 4018    _E cep 4305  FrFor wfrfor 4345    Fr wfr 4346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-eprel 4307  df-frfor 4349  df-frind 4350
This theorem is referenced by:  ordfr  4592  wessep  4595  reg3exmidlemwe  4596
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