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Theorem zfregfr 4417
Description: The epsilon relation is well-founded on any class. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
zfregfr  |-  _E  Fr  A

Proof of Theorem zfregfr
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-frind 4183 . 2  |-  (  _E  Fr  A  <->  A. sFrFor  _E  A s )
2 bi2.04 247 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s ) ) )
32albii 1411 . . . . . 6  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s ) ) )
4 df-ral 2375 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s ) ) )
53, 4bitr4i 186 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s ) )
6 sbim 1882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <-> 
( [ y  /  x ] x  e.  A  ->  [ y  /  x ] x  e.  s
) )
7 clelsb3 2199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  A  <->  y  e.  A )
8 clelsb3 2199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  s  <->  y  e.  s )
97, 8imbi12i 238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( [ y  /  x ] x  e.  A  ->  [ y  /  x ] x  e.  s
)  <->  ( y  e.  A  ->  y  e.  s ) )
106, 9bitri 183 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <-> 
( y  e.  A  ->  y  e.  s ) )
1110ralbii 2395 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <->  A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  y  e.  s ) )
12 ralcom3 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
y  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  e.  s ) )
1311, 12bitri 183 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  e.  s ) )
14 epel 4143 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
1514imbi1i 237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  _E  x  -> 
y  e.  s )  <-> 
( y  e.  x  ->  y  e.  s ) )
1615ralbii 2395 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  (
y  _E  x  -> 
y  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  e.  s ) )
1713, 16bitr4i 186 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  A  ->  x  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y  _E  x  ->  y  e.  s ) )
1817imbi1i 237 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  ( A. y  e.  A  (
y  _E  x  -> 
y  e.  s )  ->  x  e.  s ) )
1918ralbii 2395 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y  _E  x  -> 
y  e.  s )  ->  x  e.  s ) )
205, 19bitri 183 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y  _E  x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s ) )
21 ax-setind 4381 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  ->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  s ) )
22 dfss2 3028 . . . . 5  |-  ( A 
C_  s  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  s ) )
2321, 22sylibr 133 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  A  ->  x  e.  s )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  s )
)  ->  A  C_  s
)
2420, 23sylbir 134 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y  _E  x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s
)
25 df-frfor 4182 . . 3  |-  (FrFor  _E  A s  <->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y  _E  x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s
) )
2624, 25mpbir 145 . 2  |- FrFor  _E  A
s
271, 26mpgbir 1394 1  |-  _E  Fr  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1294    e. wcel 1445   [wsb 1699   A.wral 2370    C_ wss 3013   class class class wbr 3867    _E cep 4138  FrFor wfrfor 4178    Fr wfr 4179
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-setind 4381
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-eprel 4140  df-frfor 4182  df-frind 4183
This theorem is referenced by:  ordfr  4418  wessep  4421  reg3exmidlemwe  4422
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