ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zfregfr GIF version

Theorem zfregfr 4446
Description: The epsilon relation is well-founded on any class. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
zfregfr E Fr 𝐴

Proof of Theorem zfregfr
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-frind 4212 . 2 ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑠 FrFor E 𝐴𝑠)
2 bi2.04 247 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) ↔ (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠)))
32albii 1427 . . . . . 6 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠)))
4 df-ral 2393 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠)))
53, 4bitr4i 186 . . . . 5 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠))
6 sbim 1900 . . . . . . . . . . 11 ([𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝑥𝐴 → [𝑦 / 𝑥]𝑥𝑠))
7 clelsb3 2217 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑦 / 𝑥]𝑥𝐴𝑦𝐴)
8 clelsb3 2217 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑦 / 𝑥]𝑥𝑠𝑦𝑠)
97, 8imbi12i 238 . . . . . . . . . . 11 (([𝑦 / 𝑥]𝑥𝐴 → [𝑦 / 𝑥]𝑥𝑠) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑠))
106, 9bitri 183 . . . . . . . . . 10 ([𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑠))
1110ralbii 2413 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴𝑦𝑠))
12 ralcom3 2570 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴𝑦𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥𝑦𝑠))
1311, 12bitri 183 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥𝑦𝑠))
14 epel 4172 . . . . . . . . . 10 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑥)
1514imbi1i 237 . . . . . . . . 9 ((𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) ↔ (𝑦𝑥𝑦𝑠))
1615ralbii 2413 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥𝑦𝑠))
1713, 16bitr4i 186 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠))
1817imbi1i 237 . . . . . 6 ((∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠))
1918ralbii 2413 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠))
205, 19bitri 183 . . . 4 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠))
21 ax-setind 4410 . . . . 5 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) → ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑠))
22 dfss2 3050 . . . . 5 (𝐴𝑠 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑠))
2321, 22sylibr 133 . . . 4 (∀𝑥(∀𝑦𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥𝐴𝑥𝑠) → (𝑥𝐴𝑥𝑠)) → 𝐴𝑠)
2420, 23sylbir 134 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠)
25 df-frfor 4211 . . 3 ( FrFor E 𝐴𝑠 ↔ (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦 E 𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠))
2624, 25mpbir 145 . 2 FrFor E 𝐴𝑠
271, 26mpgbir 1410 1 E Fr 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wal 1310  wcel 1461  [wsb 1716  wral 2388  wss 3035   class class class wbr 3893   E cep 4167   FrFor wfrfor 4207   Fr wfr 4208
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-setind 4410
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-br 3894  df-opab 3948  df-eprel 4169  df-frfor 4211  df-frind 4212
This theorem is referenced by:  ordfr  4447  wessep  4450  reg3exmidlemwe  4451
  Copyright terms: Public domain W3C validator