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Theorem pwle2 15146
Description: An exercise related to 𝑁 copies of a singleton and the power set of a singleton (where the latter can also be thought of as representing truth values). Posed as an exercise by Martin Escardo online. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
pwle2.t 𝑇 = 𝑥𝑁 ({𝑥} × 1o)
Assertion
Ref Expression
pwle2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → 𝑁 ⊆ 2o)
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pwle2
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o)
2 f1f 5436 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o𝐺:𝑇⟶𝒫 1o)
31, 2syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → 𝐺:𝑇⟶𝒫 1o)
4 nnon 4624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ On)
54ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → 𝑁 ∈ On)
6 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → 2o𝑁)
7 1lt2o 6461 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ 2o
86, 7jctil 312 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → (1o ∈ 2o ∧ 2o𝑁))
9 ontr1 4404 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ On → ((1o ∈ 2o ∧ 2o𝑁) → 1o𝑁))
105, 8, 9sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → 1o𝑁)
11 0lt1o 6459 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ 1o
12 opelxpi 4673 . . . . . . . . . . . 12 ((1o𝑁 ∧ ∅ ∈ 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝑁 × 1o))
1310, 11, 12sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝑁 × 1o))
14 pwle2.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = 𝑥𝑁 ({𝑥} × 1o)
15 iunxpconst 4701 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑁 ({𝑥} × 1o) = (𝑁 × 1o)
1614, 15eqtri 2210 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑁 × 1o)
1713, 16eleqtrrdi 2283 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ 𝑇)
183, 17ffvelcdmd 5668 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) ∈ 𝒫 1o)
1918elpwid 3601 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) ⊆ 1o)
20 df1o2 6448 . . . . . . . 8 1o = {∅}
2119, 20sseqtrdi 3218 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) ⊆ {∅})
22 pwtrufal 15145 . . . . . . 7 ((𝐺‘⟨1o, ∅⟩) ⊆ {∅} → ¬ ¬ ((𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅ ∨ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}))
2321, 22syl 14 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ¬ ¬ ((𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅ ∨ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}))
24 ioran 753 . . . . . 6 (¬ ((𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅ ∨ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) ↔ (¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}))
2523, 24sylnib 677 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ¬ (¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}))
26 1n0 6451 . . . . . . . . . . 11 1o ≠ ∅
2726neii 2362 . . . . . . . . . 10 ¬ 1o = ∅
28 1oex 6443 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
29 0ex 4145 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ V
3028, 29opth1 4251 . . . . . . . . . 10 (⟨1o, ∅⟩ = ⟨∅, ∅⟩ → 1o = ∅)
3127, 30mto 663 . . . . . . . . 9 ¬ ⟨1o, ∅⟩ = ⟨∅, ∅⟩
32 0lt2o 6460 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ 2o
336, 32jctil 312 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → (∅ ∈ 2o ∧ 2o𝑁))
34 ontr1 4404 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ On → ((∅ ∈ 2o ∧ 2o𝑁) → ∅ ∈ 𝑁))
355, 33, 34sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ∅ ∈ 𝑁)
36 opelxpi 4673 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ 𝑁 ∧ ∅ ∈ 1o) → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (𝑁 × 1o))
3735, 11, 36sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (𝑁 × 1o))
3837, 16eleqtrrdi 2283 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ⟨∅, ∅⟩ ∈ 𝑇)
39 f1veqaeq 5786 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o ∧ (⟨1o, ∅⟩ ∈ 𝑇 ∧ ⟨∅, ∅⟩ ∈ 𝑇)) → ((𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) → ⟨1o, ∅⟩ = ⟨∅, ∅⟩))
401, 17, 38, 39syl12anc 1247 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ((𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) → ⟨1o, ∅⟩ = ⟨∅, ∅⟩))
4131, 40mtoi 665 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨∅, ∅⟩))
4241adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) → ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨∅, ∅⟩))
43 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) → (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅)
4443eqeq2d 2201 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) → ((𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) ↔ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅))
4542, 44mtbid 673 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) → ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅)
46 2on0 6445 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ≠ ∅
4746nesymi 2406 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ ∅ = 2o
4829, 29opth1 4251 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨∅, ∅⟩ = ⟨2o, ∅⟩ → ∅ = 2o)
4947, 48mto 663 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ⟨∅, ∅⟩ = ⟨2o, ∅⟩
50 opelxpi 4673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2o𝑁 ∧ ∅ ∈ 1o) → ⟨2o, ∅⟩ ∈ (𝑁 × 1o))
516, 11, 50sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ⟨2o, ∅⟩ ∈ (𝑁 × 1o))
5251, 16eleqtrrdi 2283 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ⟨2o, ∅⟩ ∈ 𝑇)
53 f1veqaeq 5786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o ∧ (⟨∅, ∅⟩ ∈ 𝑇 ∧ ⟨2o, ∅⟩ ∈ 𝑇)) → ((𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) → ⟨∅, ∅⟩ = ⟨2o, ∅⟩))
541, 38, 52, 53syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ((𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) → ⟨∅, ∅⟩ = ⟨2o, ∅⟩))
5549, 54mtoi 665 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ¬ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩))
5655ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) → ¬ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩))
57 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) → (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅)
5857eqeq1d 2198 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) → ((𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) ↔ ∅ = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩)))
5956, 58mtbid 673 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) → ¬ ∅ = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩))
60 eqcom 2191 . . . . . . . . 9 (∅ = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) ↔ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅)
6159, 60sylnib 677 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) → ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅)
62 1onn 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1o ∈ ω
63 peano1 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∅ ∈ ω
64 peano4 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1o ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (suc 1o = suc ∅ ↔ 1o = ∅))
6562, 63, 64mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (suc 1o = suc ∅ ↔ 1o = ∅)
6626, 65nemtbir 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ suc 1o = suc ∅
67 df-2o 6436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2o = suc 1o
68 df-1o 6435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1o = suc ∅
6967, 68eqeq12i 2203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2o = 1o ↔ suc 1o = suc ∅)
7066, 69mtbir 672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ¬ 2o = 1o
7170neir 2363 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ≠ 1o
7271nesymi 2406 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 1o = 2o
7328, 29opth1 4251 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨1o, ∅⟩ = ⟨2o, ∅⟩ → 1o = 2o)
7472, 73mto 663 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ⟨1o, ∅⟩ = ⟨2o, ∅⟩
75 f1veqaeq 5786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o ∧ (⟨1o, ∅⟩ ∈ 𝑇 ∧ ⟨2o, ∅⟩ ∈ 𝑇)) → ((𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) → ⟨1o, ∅⟩ = ⟨2o, ∅⟩))
761, 17, 52, 75syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ((𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) → ⟨1o, ∅⟩ = ⟨2o, ∅⟩))
7774, 76mtoi 665 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩))
7877ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) → ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩))
79 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) → (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅})
8079eqeq1d 2198 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) → ((𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) ↔ {∅} = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩)))
8178, 80mtbid 673 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) → ¬ {∅} = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩))
82 eqcom 2191 . . . . . . . . 9 ({∅} = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) ↔ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅})
8381, 82sylnib 677 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) → ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅})
8461, 83jca 306 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) → (¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅}))
853, 52ffvelcdmd 5668 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) ∈ 𝒫 1o)
8685elpwid 3601 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) ⊆ 1o)
8786, 20sseqtrdi 3218 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) ⊆ {∅})
88 pwtrufal 15145 . . . . . . . . . 10 ((𝐺‘⟨2o, ∅⟩) ⊆ {∅} → ¬ ¬ ((𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅ ∨ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅}))
8987, 88syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ¬ ¬ ((𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅ ∨ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅}))
90 ioran 753 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅ ∨ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅}) ↔ (¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅}))
9189, 90sylnib 677 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ¬ (¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅}))
9291ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}) → ¬ (¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅}))
9384, 92pm2.65da 662 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) → ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅})
9445, 93jca 306 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅) → (¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}))
9525, 94mtand 666 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ¬ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅)
96 eqcom 2191 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) ↔ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨1o, ∅⟩))
9777, 96sylnib 677 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨1o, ∅⟩))
9897ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅) → ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨1o, ∅⟩))
99 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅) → (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅)
10099eqeq2d 2201 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅) → ((𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) ↔ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅))
10198, 100mtbid 673 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅) → ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅)
10255ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅) → ¬ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩))
103 eqcom 2191 . . . . . . . . . 10 ((𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) ↔ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨∅, ∅⟩))
104102, 103sylnib 677 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅) → ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨∅, ∅⟩))
105 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅) → (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅})
106105eqeq2d 2201 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅) → ((𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) ↔ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅}))
107104, 106mtbid 673 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅) → ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅})
108101, 107jca 306 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅) → (¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅}))
10991ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) ∧ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅) → ¬ (¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨2o, ∅⟩) = {∅}))
110108, 109pm2.65da 662 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) → ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅)
11141adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) → ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨∅, ∅⟩))
112 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) → (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅})
113112eqeq2d 2201 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) → ((𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) ↔ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}))
114111, 113mtbid 673 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) → ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅})
115110, 114jca 306 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) ∧ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) → (¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨1o, ∅⟩) = {∅}))
11625, 115mtand 666 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ¬ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅})
11795, 116jca 306 . . 3 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → (¬ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}))
1183, 38ffvelcdmd 5668 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) ∈ 𝒫 1o)
119118elpwid 3601 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) ⊆ 1o)
120119, 20sseqtrdi 3218 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) ⊆ {∅})
121 pwtrufal 15145 . . . . 5 ((𝐺‘⟨∅, ∅⟩) ⊆ {∅} → ¬ ¬ ((𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅ ∨ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}))
122120, 121syl 14 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ¬ ¬ ((𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅ ∨ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}))
123 ioran 753 . . . 4 (¬ ((𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅ ∨ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}) ↔ (¬ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}))
124122, 123sylnib 677 . . 3 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ 2o𝑁) → ¬ (¬ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = ∅ ∧ ¬ (𝐺‘⟨∅, ∅⟩) = {∅}))
125117, 124pm2.65da 662 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → ¬ 2o𝑁)
126 2onn 6540 . . . 4 2o ∈ ω
127 nntri1 6515 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → (𝑁 ⊆ 2o ↔ ¬ 2o𝑁))
128126, 127mpan2 425 . . 3 (𝑁 ∈ ω → (𝑁 ⊆ 2o ↔ ¬ 2o𝑁))
129128adantr 276 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → (𝑁 ⊆ 2o ↔ ¬ 2o𝑁))
130125, 129mpbird 167 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → 𝑁 ⊆ 2o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  wss 3144  c0 3437  𝒫 cpw 3590  {csn 3607  cop 3610   ciun 3901  Oncon0 4378  suc csuc 4380  ωcom 4604   × cxp 4639  wf 5227  1-1wf1 5228  cfv 5231  1oc1o 6428  2oc2o 6429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fv 5239  df-1o 6435  df-2o 6436
This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  15147
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