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Theorem pwle2 14718
Description: An exercise related to 𝑁 copies of a singleton and the power set of a singleton (where the latter can also be thought of as representing truth values). Posed as an exercise by Martin Escardo online. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
pwle2.t 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑁 ({π‘₯} Γ— 1o)
Assertion
Ref Expression
pwle2 ((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) β†’ 𝑁 βŠ† 2o)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem pwle2
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o)
2 f1f 5421 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o β†’ 𝐺:π‘‡βŸΆπ’« 1o)
31, 2syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ 𝐺:π‘‡βŸΆπ’« 1o)
4 nnon 4609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ 𝑁 ∈ On)
54ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ On)
6 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ 2o ∈ 𝑁)
7 1lt2o 6442 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ 2o
86, 7jctil 312 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ (1o ∈ 2o ∧ 2o ∈ 𝑁))
9 ontr1 4389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ On β†’ ((1o ∈ 2o ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ 1o ∈ 𝑁))
105, 8, 9sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ 1o ∈ 𝑁)
11 0lt1o 6440 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… ∈ 1o
12 opelxpi 4658 . . . . . . . . . . . 12 ((1o ∈ 𝑁 ∧ βˆ… ∈ 1o) β†’ ⟨1o, βˆ…βŸ© ∈ (𝑁 Γ— 1o))
1310, 11, 12sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ ⟨1o, βˆ…βŸ© ∈ (𝑁 Γ— 1o))
14 pwle2.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑁 ({π‘₯} Γ— 1o)
15 iunxpconst 4686 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑁 ({π‘₯} Γ— 1o) = (𝑁 Γ— 1o)
1614, 15eqtri 2198 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑁 Γ— 1o)
1713, 16eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ ⟨1o, βˆ…βŸ© ∈ 𝑇)
183, 17ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) ∈ 𝒫 1o)
1918elpwid 3586 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) βŠ† 1o)
20 df1o2 6429 . . . . . . . 8 1o = {βˆ…}
2119, 20sseqtrdi 3203 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) βŠ† {βˆ…})
22 pwtrufal 14717 . . . . . . 7 ((πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) βŠ† {βˆ…} β†’ Β¬ Β¬ ((πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∨ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
2321, 22syl 14 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ Β¬ Β¬ ((πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∨ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
24 ioran 752 . . . . . 6 (Β¬ ((πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∨ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ↔ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
2523, 24sylnib 676 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ Β¬ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
26 1n0 6432 . . . . . . . . . . 11 1o β‰  βˆ…
2726neii 2349 . . . . . . . . . 10 Β¬ 1o = βˆ…
28 1oex 6424 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
29 0ex 4130 . . . . . . . . . . 11 βˆ… ∈ V
3028, 29opth1 4236 . . . . . . . . . 10 (⟨1o, βˆ…βŸ© = βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ© β†’ 1o = βˆ…)
3127, 30mto 662 . . . . . . . . 9 Β¬ ⟨1o, βˆ…βŸ© = βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©
32 0lt2o 6441 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ… ∈ 2o
336, 32jctil 312 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ (βˆ… ∈ 2o ∧ 2o ∈ 𝑁))
34 ontr1 4389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ On β†’ ((βˆ… ∈ 2o ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ βˆ… ∈ 𝑁))
355, 33, 34sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ βˆ… ∈ 𝑁)
36 opelxpi 4658 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ… ∈ 𝑁 ∧ βˆ… ∈ 1o) β†’ βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ© ∈ (𝑁 Γ— 1o))
3735, 11, 36sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ© ∈ (𝑁 Γ— 1o))
3837, 16eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ© ∈ 𝑇)
39 f1veqaeq 5769 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o ∧ (⟨1o, βˆ…βŸ© ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ© ∈ 𝑇)) β†’ ((πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) β†’ ⟨1o, βˆ…βŸ© = βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©))
401, 17, 38, 39syl12anc 1236 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ ((πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) β†’ ⟨1o, βˆ…βŸ© = βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©))
4131, 40mtoi 664 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©))
4241adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©))
43 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…)
4443eqeq2d 2189 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ ((πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) ↔ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…))
4542, 44mtbid 672 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…)
46 2on0 6426 . . . . . . . . . . . . . 14 2o β‰  βˆ…
4746nesymi 2393 . . . . . . . . . . . . 13 Β¬ βˆ… = 2o
4829, 29opth1 4236 . . . . . . . . . . . . 13 (βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ© = ⟨2o, βˆ…βŸ© β†’ βˆ… = 2o)
4947, 48mto 662 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ© = ⟨2o, βˆ…βŸ©
50 opelxpi 4658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2o ∈ 𝑁 ∧ βˆ… ∈ 1o) β†’ ⟨2o, βˆ…βŸ© ∈ (𝑁 Γ— 1o))
516, 11, 50sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ ⟨2o, βˆ…βŸ© ∈ (𝑁 Γ— 1o))
5251, 16eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ ⟨2o, βˆ…βŸ© ∈ 𝑇)
53 f1veqaeq 5769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o ∧ (βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ© ∈ 𝑇 ∧ ⟨2o, βˆ…βŸ© ∈ 𝑇)) β†’ ((πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) β†’ βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ© = ⟨2o, βˆ…βŸ©))
541, 38, 52, 53syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ ((πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) β†’ βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ© = ⟨2o, βˆ…βŸ©))
5549, 54mtoi 664 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©))
5655ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©))
57 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…)
5857eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ ((πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) ↔ βˆ… = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©)))
5956, 58mtbid 672 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ Β¬ βˆ… = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©))
60 eqcom 2179 . . . . . . . . 9 (βˆ… = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) ↔ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ…)
6159, 60sylnib 676 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ…)
62 1onn 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1o ∈ Ο‰
63 peano1 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆ… ∈ Ο‰
64 peano4 4596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1o ∈ Ο‰ ∧ βˆ… ∈ Ο‰) β†’ (suc 1o = suc βˆ… ↔ 1o = βˆ…))
6562, 63, 64mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (suc 1o = suc βˆ… ↔ 1o = βˆ…)
6626, 65nemtbir 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β¬ suc 1o = suc βˆ…
67 df-2o 6417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2o = suc 1o
68 df-1o 6416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1o = suc βˆ…
6967, 68eqeq12i 2191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2o = 1o ↔ suc 1o = suc βˆ…)
7066, 69mtbir 671 . . . . . . . . . . . . . . 15 Β¬ 2o = 1o
7170neir 2350 . . . . . . . . . . . . . 14 2o β‰  1o
7271nesymi 2393 . . . . . . . . . . . . 13 Β¬ 1o = 2o
7328, 29opth1 4236 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨1o, βˆ…βŸ© = ⟨2o, βˆ…βŸ© β†’ 1o = 2o)
7472, 73mto 662 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ ⟨1o, βˆ…βŸ© = ⟨2o, βˆ…βŸ©
75 f1veqaeq 5769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o ∧ (⟨1o, βˆ…βŸ© ∈ 𝑇 ∧ ⟨2o, βˆ…βŸ© ∈ 𝑇)) β†’ ((πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) β†’ ⟨1o, βˆ…βŸ© = ⟨2o, βˆ…βŸ©))
761, 17, 52, 75syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ ((πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) β†’ ⟨1o, βˆ…βŸ© = ⟨2o, βˆ…βŸ©))
7774, 76mtoi 664 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©))
7877ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©))
79 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…})
8079eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ ((πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) ↔ {βˆ…} = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©)))
8178, 80mtbid 672 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ Β¬ {βˆ…} = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©))
82 eqcom 2179 . . . . . . . . 9 ({βˆ…} = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) ↔ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…})
8381, 82sylnib 676 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…})
8461, 83jca 306 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
853, 52ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) ∈ 𝒫 1o)
8685elpwid 3586 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) βŠ† 1o)
8786, 20sseqtrdi 3203 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) βŠ† {βˆ…})
88 pwtrufal 14717 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) βŠ† {βˆ…} β†’ Β¬ Β¬ ((πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∨ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
8987, 88syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ Β¬ Β¬ ((πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∨ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
90 ioran 752 . . . . . . . . 9 (Β¬ ((πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∨ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ↔ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
9189, 90sylnib 676 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ Β¬ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
9291ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ Β¬ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
9384, 92pm2.65da 661 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…})
9445, 93jca 306 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
9525, 94mtand 665 . . . 4 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ…)
96 eqcom 2179 . . . . . . . . . . 11 ((πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) ↔ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©))
9777, 96sylnib 676 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©))
9897ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©))
99 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…)
10099eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ ((πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) ↔ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ…))
10198, 100mtbid 672 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ…)
10255ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©))
103 eqcom 2179 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) ↔ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©))
104102, 103sylnib 676 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©))
105 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…})
106105eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ ((πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) ↔ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
107104, 106mtbid 672 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…})
108101, 107jca 306 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
10991ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…) β†’ Β¬ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨2o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
110108, 109pm2.65da 661 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ…)
11141adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©))
112 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…})
113112eqeq2d 2189 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ ((πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) ↔ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
114111, 113mtbid 672 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…})
115110, 114jca 306 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) ∧ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) β†’ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨1o, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
11625, 115mtand 665 . . . 4 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…})
11795, 116jca 306 . . 3 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
1183, 38ffvelcdmd 5652 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) ∈ 𝒫 1o)
119118elpwid 3586 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) βŠ† 1o)
120119, 20sseqtrdi 3203 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) βŠ† {βˆ…})
121 pwtrufal 14717 . . . . 5 ((πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) βŠ† {βˆ…} β†’ Β¬ Β¬ ((πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∨ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
122120, 121syl 14 . . . 4 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ Β¬ Β¬ ((πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∨ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
123 ioran 752 . . . 4 (Β¬ ((πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∨ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}) ↔ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
124122, 123sylnib 676 . . 3 (((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ 2o ∈ 𝑁) β†’ Β¬ (Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = βˆ… ∧ Β¬ (πΊβ€˜βŸ¨βˆ…, βˆ…βŸ©) = {βˆ…}))
125117, 124pm2.65da 661 . 2 ((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) β†’ Β¬ 2o ∈ 𝑁)
126 2onn 6521 . . . 4 2o ∈ Ο‰
127 nntri1 6496 . . . 4 ((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 2o ∈ Ο‰) β†’ (𝑁 βŠ† 2o ↔ Β¬ 2o ∈ 𝑁))
128126, 127mpan2 425 . . 3 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ (𝑁 βŠ† 2o ↔ Β¬ 2o ∈ 𝑁))
129128adantr 276 . 2 ((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) β†’ (𝑁 βŠ† 2o ↔ Β¬ 2o ∈ 𝑁))
130125, 129mpbird 167 1 ((𝑁 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) β†’ 𝑁 βŠ† 2o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   βŠ† wss 3129  βˆ…c0 3422  π’« cpw 3575  {csn 3592  βŸ¨cop 3595  βˆͺ ciun 3886  Oncon0 4363  suc csuc 4365  Ο‰com 4589   Γ— cxp 4624  βŸΆwf 5212  β€“1-1β†’wf1 5213  β€˜cfv 5216  1oc1o 6409  2oc2o 6410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fv 5224  df-1o 6416  df-2o 6417
This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  14719
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