Theorem bj-nnelon 16985

Description: A natural number is an ordinal. Constructive proof of nnon 4757. Can also be proved from bj-omssonALT 16989. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelon	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem bj-nnelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nnord 16984	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		elong 4518	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
3	1, 2	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Ord word 4507  Oncon0 4508  ωcom 4737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-nul 4259  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-bd0 16839  ax-bdor 16842  ax-bdal 16844  ax-bdex 16845  ax-bdeq 16846  ax-bdel 16847  ax-bdsb 16848  ax-bdsep 16910  ax-infvn 16967

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-tr 4230  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-bdc 16867  df-bj-ind 16953

This theorem is used by:  bj-omsson  16988