Theorem bj-nnelon 16870

Description: A natural number is an ordinal. Constructive proof of nnon 4738. Can also be proved from bj-omssonALT 16874. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelon	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem bj-nnelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nnord 16869	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		elong 4500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
3	1, 2	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  Ord word 4489  Oncon0 4490  ωcom 4718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-nul 4242  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-bd0 16724  ax-bdor 16727  ax-bdal 16729  ax-bdex 16730  ax-bdeq 16731  ax-bdel 16732  ax-bdsb 16733  ax-bdsep 16795  ax-infvn 16852

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-sn 3701  df-pr 3702  df-uni 3921  df-int 3956  df-tr 4215  df-iord 4493  df-on 4495  df-suc 4498  df-iom 4719  df-bdc 16752  df-bj-ind 16838

This theorem is referenced by:  bj-omsson  16873