Theorem bj-nnelon 15689

Description: A natural number is an ordinal. Constructive proof of nnon 4647. Can also be proved from bj-omssonALT 15693. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelon	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem bj-nnelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nnord 15688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		elong 4409	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
3	1, 2	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  Ord word 4398  Oncon0 4399  ωcom 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-nul 4160  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-bd0 15543  ax-bdor 15546  ax-bdal 15548  ax-bdex 15549  ax-bdeq 15550  ax-bdel 15551  ax-bdsb 15552  ax-bdsep 15614  ax-infvn 15671

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-tr 4133  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-bdc 15571  df-bj-ind 15657

This theorem is referenced by:  bj-omsson  15692