Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nnelon GIF version

Theorem bj-nnelon 13994
Description: A natural number is an ordinal. Constructive proof of nnon 4594. Can also be proved from bj-omssonALT 13998. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nnelon (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem bj-nnelon
StepHypRef Expression
1 bj-nnord 13993 . 2 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2 elong 4358 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
31, 2mpbird 166 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2141  Ord word 4347  Oncon0 4348  ωcom 4574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-nul 4115  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-bd0 13848  ax-bdor 13851  ax-bdal 13853  ax-bdex 13854  ax-bdeq 13855  ax-bdel 13856  ax-bdsb 13857  ax-bdsep 13919  ax-infvn 13976
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-bdc 13876  df-bj-ind 13962
This theorem is referenced by:  bj-omsson  13997
  Copyright terms: Public domain W3C validator