Theorem bj-nnelon 17190

Description: A natural number is an ordinal. Constructive proof of nnon 4759. Can also be proved from bj-omssonALT 17194. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelon	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem bj-nnelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nnord 17189	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		elong 4520	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
3	1, 2	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Ord word 4509  Oncon0 4510  ωcom 4739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-nul 4261  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-bd0 17044  ax-bdor 17047  ax-bdal 17049  ax-bdex 17050  ax-bdeq 17051  ax-bdel 17052  ax-bdsb 17053  ax-bdsep 17115  ax-infvn 17172

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-tr 4232  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-bdc 17072  df-bj-ind 17158

This theorem is used by:  bj-omsson  17193