Theorem bj-nnelon 15451

Description: A natural number is an ordinal. Constructive proof of nnon 4642. Can also be proved from bj-omssonALT 15455. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelon	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem bj-nnelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nnord 15450	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		elong 4404	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
3	1, 2	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  Ord word 4393  Oncon0 4394  ωcom 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-nul 4155  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-bd0 15305  ax-bdor 15308  ax-bdal 15310  ax-bdex 15311  ax-bdeq 15312  ax-bdel 15313  ax-bdsb 15314  ax-bdsep 15376  ax-infvn 15433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-bdc 15333  df-bj-ind 15419

This theorem is referenced by:  bj-omsson  15454