Theorem bj-omord 15065

Description: The set ω is an ordinal class. Constructive proof of ordom 4618. (Contributed by BJ, 29-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-omord	⊢ Ord ω

Proof of Theorem bj-omord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omtrans2 15062	. 2 ⊢ Tr ω
2		bj-nntrans2 15057	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
3	2	rgen 2540	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥
4		dford3 4379	. 2 ⊢ (Ord ω ↔ (Tr ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥))
5	1, 3, 4	mpbir2an 943	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:  ∀wral 2465  Tr wtr 4113  Ord word 4374  ωcom 4601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-nul 4141  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-bd0 14918  ax-bdor 14921  ax-bdal 14923  ax-bdex 14924  ax-bdeq 14925  ax-bdel 14926  ax-bdsb 14927  ax-bdsep 14989  ax-infvn 15046

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-int 3857  df-tr 4114  df-iord 4378  df-suc 4383  df-iom 4602  df-bdc 14946  df-bj-ind 15032

This theorem is referenced by:  bj-omelon  15066