Theorem bj-omord 15109

Description: The set ω is an ordinal class. Constructive proof of ordom 4621. (Contributed by BJ, 29-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-omord	⊢ Ord ω

Proof of Theorem bj-omord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omtrans2 15106	. 2 ⊢ Tr ω
2		bj-nntrans2 15101	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
3	2	rgen 2543	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥
4		dford3 4382	. 2 ⊢ (Ord ω ↔ (Tr ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥))
5	1, 3, 4	mpbir2an 944	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:  ∀wral 2468  Tr wtr 4116  Ord word 4377  ωcom 4604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-nul 4144  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-bd0 14962  ax-bdor 14965  ax-bdal 14967  ax-bdex 14968  ax-bdeq 14969  ax-bdel 14970  ax-bdsb 14971  ax-bdsep 15033  ax-infvn 15090

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-int 3860  df-tr 4117  df-iord 4381  df-suc 4386  df-iom 4605  df-bdc 14990  df-bj-ind 15076

This theorem is referenced by:  bj-omelon  15110