Theorem bj-omord 16903

Description: The set ω is an ordinal class. Constructive proof of ordom 4752. (Contributed by BJ, 29-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-omord	⊢ Ord ω

Proof of Theorem bj-omord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omtrans2 16900	. 2 ⊢ Tr ω
2		bj-nntrans2 16895	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
3	2	rgen 2603	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥
4		dford3 4510	. 2 ⊢ (Ord ω ↔ (Tr ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥))
5	1, 3, 4	mpbir2an 955	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:  ∀wral 2528  Tr wtr 4227  Ord word 4505  ωcom 4735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-nul 4257  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-bd0 16756  ax-bdor 16759  ax-bdal 16761  ax-bdex 16762  ax-bdeq 16763  ax-bdel 16764  ax-bdsb 16765  ax-bdsep 16827  ax-infvn 16884

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-int 3969  df-tr 4228  df-iord 4509  df-suc 4514  df-iom 4736  df-bdc 16784  df-bj-ind 16870

This theorem is referenced by:  bj-omelon  16904