Theorem bj-omord 15452

Description: The set ω is an ordinal class. Constructive proof of ordom 4639. (Contributed by BJ, 29-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-omord	⊢ Ord ω

Proof of Theorem bj-omord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omtrans2 15449	. 2 ⊢ Tr ω
2		bj-nntrans2 15444	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
3	2	rgen 2547	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥
4		dford3 4398	. 2 ⊢ (Ord ω ↔ (Tr ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥))
5	1, 3, 4	mpbir2an 944	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:  ∀wral 2472  Tr wtr 4127  Ord word 4393  ωcom 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-nul 4155  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-bd0 15305  ax-bdor 15308  ax-bdal 15310  ax-bdex 15311  ax-bdeq 15312  ax-bdel 15313  ax-bdsb 15314  ax-bdsep 15376  ax-infvn 15433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-tr 4128  df-iord 4397  df-suc 4402  df-iom 4623  df-bdc 15333  df-bj-ind 15419

This theorem is referenced by:  bj-omelon  15453