Theorem nnon 4759

Description: A natural number is an ordinal number. (Contributed by NM, 27-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
nnon	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 4758	. 2 ⊢ ω ∈ On
2	1	oneli 4575	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Oncon0 4510  ωcom 4739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-tr 4232  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740

This theorem is used by:  nnoni  4760  nnord  4761  omsson  4762  nnsucpred  4766  nnpredcl  4772  frecrdg  6683  onasuc  6743  onmsuc  6750  nna0  6751  nnm0  6752  nnasuc  6753  nnmsuc  6754  nnsucelsuc  6768  nnsucsssuc  6769  nntri2or2  6775  nntr2  6780  nnaordi  6785  nnaword1  6790  nnaordex  6805  phpelm  7172  phplem4on  7173  omp1eomlem  7440  finnum  7534  pion  7683  prarloclemlo  7867  nninfctlemfo  12842  ennnfonelemk  13349  pwle2  17233