Theorem nnon 4757

Description: A natural number is an ordinal number. (Contributed by NM, 27-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
nnon	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 4756	. 2 ⊢ ω ∈ On
2	1	oneli 4573	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Oncon0 4508  ωcom 4737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-tr 4230  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738

This theorem is used by:  nnoni  4758  nnord  4759  omsson  4760  nnsucpred  4764  nnpredcl  4770  frecrdg  6679  onasuc  6739  onmsuc  6746  nna0  6747  nnm0  6748  nnasuc  6749  nnmsuc  6750  nnsucelsuc  6764  nnsucsssuc  6765  nntri2or2  6771  nntr2  6776  nnaordi  6781  nnaword1  6786  nnaordex  6801  phpelm  7168  phplem4on  7169  omp1eomlem  7434  finnum  7528  pion  7677  prarloclemlo  7861  nninfctlemfo  12817  ennnfonelemk  13291  pwle2  17028