Theorem dfrn3 4768

Description: Alternate definition of range. Definition 6.5(2) of [TakeutiZaring] p. 24. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn3	⊢ ran 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑥⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴}

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem dfrn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn2 4767	. 2 ⊢ ran 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦}
2		df-br 3962	. . . 4 ⊢ (𝑥𝐴𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
3	2	exbii 1582	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑥⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
4	3	abbii 2270	. 2 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = {𝑦 ∣ ∃𝑥⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴}
5	1, 4	eqtri 2175	1 ⊢ ran 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑥⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴}

Syntax hints:   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 2125  {cab 2140  ⟨cop 3559   class class class wbr 3961  ran crn 4580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-br 3962  df-opab 4022  df-cnv 4587  df-dm 4589  df-rn 4590

This theorem is referenced by:  elrn2g  4769  elrn2  4821  imadmrn  4931  imassrn  4932  csbrng  5040