ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elima3 GIF version

Theorem elima3 4794
Description: Membership in an image. Theorem 34 of [Suppes] p. 65. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
elima.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
elima3 (𝐴 ∈ (𝐵𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem elima3
StepHypRef Expression
1 elima.1 . . 3 𝐴 ∈ V
21elima2 4793 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐶𝑥𝐵𝐴))
3 df-br 3852 . . . 4 (𝑥𝐵𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵)
43anbi2i 446 . . 3 ((𝑥𝐶𝑥𝐵𝐴) ↔ (𝑥𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
54exbii 1542 . 2 (∃𝑥(𝑥𝐶𝑥𝐵𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
62, 5bitri 183 1 (𝐴 ∈ (𝐵𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  wex 1427  wcel 1439  Vcvv 2620  cop 3453   class class class wbr 3851  cima 4454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-cnv 4459  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464
This theorem is referenced by:  cnvresima  4933  imaiun  5553
  Copyright terms: Public domain W3C validator