Theorem elima3 5083

Description: Membership in an image. Theorem 34 of [Suppes] p. 65. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
elima.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elima3	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem elima3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	elima2 5082	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴))
3		df-br 4089	. . . 4 ⊢ (𝑥𝐵𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵)
4	3	anbi2i 457	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
5	4	exbii 1653	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
6	2, 5	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088   “ cima 4728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738

This theorem is referenced by:  cnvresima  5226  imaiun  5900