Theorem elima3 5016

Description: Membership in an image. Theorem 34 of [Suppes] p. 65. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
elima.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elima3	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem elima3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	elima2 5015	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴))
3		df-br 4034	. . . 4 ⊢ (𝑥𝐵𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵)
4	3	anbi2i 457	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
5	4	exbii 1619	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
6	2, 5	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033   “ cima 4666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676

This theorem is referenced by:  cnvresima  5159  imaiun  5807