ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elima3 GIF version

Theorem elima3 4935
Description: Membership in an image. Theorem 34 of [Suppes] p. 65. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
elima.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
elima3 (𝐴 ∈ (𝐵𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem elima3
StepHypRef Expression
1 elima.1 . . 3 𝐴 ∈ V
21elima2 4934 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐶𝑥𝐵𝐴))
3 df-br 3966 . . . 4 (𝑥𝐵𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵)
43anbi2i 453 . . 3 ((𝑥𝐶𝑥𝐵𝐴) ↔ (𝑥𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
54exbii 1585 . 2 (∃𝑥(𝑥𝐶𝑥𝐵𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
62, 5bitri 183 1 (𝐴 ∈ (𝐵𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  wex 1472  wcel 2128  Vcvv 2712  cop 3563   class class class wbr 3965  cima 4589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599
This theorem is referenced by:  cnvresima  5075  imaiun  5710
  Copyright terms: Public domain W3C validator