Theorem hashennnuni 10692

Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of ω is that element of ω. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennnuni	⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁

Proof of Theorem hashennnuni

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3289	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
2	1	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
3		endom 6729	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≈ 𝐴 → 𝑁 ≼ 𝐴)
4	3	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 ≼ 𝐴)
5		breq1 3985	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 ≼ 𝐴 ↔ 𝑁 ≼ 𝐴))
6	5	elrab 2882	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ↔ (𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑁 ≼ 𝐴))
7	2, 4, 6	sylanbrc 414	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
8		breq1 3985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≼ 𝐴 ↔ 𝑧 ≼ 𝐴))
9	8	elrab 2882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧 ≼ 𝐴))
10	9	biimpi 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧 ≼ 𝐴))
11	10	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧 ≼ 𝐴))
12	11	simprd 113	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ≼ 𝐴)
13		simplr 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑁 ≈ 𝐴)
14	13	ensymd 6749	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝐴 ≈ 𝑁)
15		domentr 6757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑁) → 𝑧 ≼ 𝑁)
16	12, 14, 15	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ≼ 𝑁)
17	16	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ≼ 𝑁)
18		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
19		simplll 523	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
20		nndomo 6830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝑧 ≼ 𝑁 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑁))
21	18, 19, 20	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ≼ 𝑁 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑁))
22	17, 21	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ⊆ 𝑁)
23		nnfi 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ Fin)
24	23	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑁 ∈ Fin)
25	14	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ≈ 𝑁)
26		enfii 6840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑁) → 𝐴 ∈ Fin)
27	24, 25, 26	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ∈ Fin)
28	12	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧 ≼ 𝐴)
29		elsni 3594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {ω} → 𝑧 = ω)
30	29	breq1d 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {ω} → (𝑧 ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
31	30	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → (𝑧 ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
32	28, 31	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ω ≼ 𝐴)
33		infnfi 6861	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
35	27, 34	pm2.21dd 610	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧 ⊆ 𝑁)
36	11	simpld 111	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}))
37		elun 3263	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ↔ (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
38	36, 37	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
39	22, 35, 38	mpjaodan 788	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ⊆ 𝑁)
40	39	ralrimiva 2539	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}𝑧 ⊆ 𝑁)
41		ssunieq 3822	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}𝑧 ⊆ 𝑁) → 𝑁 = ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
42	7, 40, 41	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 = ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
43	42	eqcomd 2171	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  {crab 2448   ∪ cun 3114   ⊆ wss 3116  {csn 3576  ∪ cuni 3789   class class class wbr 3982  ωcom 4567   ≈ cen 6704   ≼ cdom 6705  Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709

This theorem is referenced by:  hashennn  10693