Theorem hashennnuni 10850

Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of ω is that element of ω. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennnuni	⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁

Proof of Theorem hashennnuni

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3326	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
3		endom 6817	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≈ 𝐴 → 𝑁 ≼ 𝐴)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 ≼ 𝐴)
5		breq1 4032	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 ≼ 𝐴 ↔ 𝑁 ≼ 𝐴))
6	5	elrab 2916	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ↔ (𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑁 ≼ 𝐴))
7	2, 4, 6	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
8		breq1 4032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≼ 𝐴 ↔ 𝑧 ≼ 𝐴))
9	8	elrab 2916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧 ≼ 𝐴))
10	9	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧 ≼ 𝐴))
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧 ≼ 𝐴))
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ≼ 𝐴)
13		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑁 ≈ 𝐴)
14	13	ensymd 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝐴 ≈ 𝑁)
15		domentr 6845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑁) → 𝑧 ≼ 𝑁)
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ≼ 𝑁)
17	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ≼ 𝑁)
18		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
19		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
20		nndomo 6920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝑧 ≼ 𝑁 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑁))
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ≼ 𝑁 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑁))
22	17, 21	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ⊆ 𝑁)
23		nnfi 6928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ Fin)
24	23	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑁 ∈ Fin)
25	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ≈ 𝑁)
26		enfii 6930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑁) → 𝐴 ∈ Fin)
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ∈ Fin)
28	12	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧 ≼ 𝐴)
29		elsni 3636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {ω} → 𝑧 = ω)
30	29	breq1d 4039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {ω} → (𝑧 ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → (𝑧 ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
32	28, 31	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ω ≼ 𝐴)
33		infnfi 6951	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
35	27, 34	pm2.21dd 621	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧 ⊆ 𝑁)
36	11	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}))
37		elun 3300	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ↔ (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
38	36, 37	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
39	22, 35, 38	mpjaodan 799	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ⊆ 𝑁)
40	39	ralrimiva 2567	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}𝑧 ⊆ 𝑁)
41		ssunieq 3868	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}𝑧 ⊆ 𝑁) → 𝑁 = ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
42	7, 40, 41	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 = ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
43	42	eqcomd 2199	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {crab 2476   ∪ cun 3151   ⊆ wss 3153  {csn 3618  ∪ cuni 3835   class class class wbr 4029  ωcom 4622   ≈ cen 6792   ≼ cdom 6793  Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797

This theorem is referenced by:  hashennn  10851