ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashennnuni GIF version

Theorem hashennnuni 10761
Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of ω is that element of ω. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashennnuni ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁

Proof of Theorem hashennnuni
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun1 3304 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
21adantr 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
3 endom 6765 . . . . 5 (𝑁𝐴𝑁𝐴)
43adantl 277 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁𝐴)
5 breq1 4008 . . . . 5 (𝑦 = 𝑁 → (𝑦𝐴𝑁𝐴))
65elrab 2895 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ↔ (𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑁𝐴))
72, 4, 6sylanbrc 417 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
8 breq1 4008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
98elrab 2895 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
109biimpi 120 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
1110adantl 277 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
1211simprd 114 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝐴)
13 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑁𝐴)
1413ensymd 6785 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝐴𝑁)
15 domentr 6793 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝐴𝑁) → 𝑧𝑁)
1612, 14, 15syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝑁)
1716adantr 276 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧𝑁)
18 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
19 simplll 533 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
20 nndomo 6866 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝑧𝑁𝑧𝑁))
2118, 19, 20syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧𝑁𝑧𝑁))
2217, 21mpbid 147 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧𝑁)
23 nnfi 6874 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ Fin)
2423ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑁 ∈ Fin)
2514adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴𝑁)
26 enfii 6876 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑁) → 𝐴 ∈ Fin)
2724, 25, 26syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ∈ Fin)
2812adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧𝐴)
29 elsni 3612 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {ω} → 𝑧 = ω)
3029breq1d 4015 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {ω} → (𝑧𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
3130adantl 277 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → (𝑧𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
3228, 31mpbid 147 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ω ≼ 𝐴)
33 infnfi 6897 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3432, 33syl 14 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3527, 34pm2.21dd 620 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧𝑁)
3611simpld 112 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}))
37 elun 3278 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ↔ (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
3836, 37sylib 122 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
3922, 35, 38mpjaodan 798 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝑁)
4039ralrimiva 2550 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}𝑧𝑁)
41 ssunieq 3844 . . 3 ((𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}𝑧𝑁) → 𝑁 = {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
427, 40, 41syl2anc 411 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 = {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
4342eqcomd 2183 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  {crab 2459  cun 3129  wss 3131  {csn 3594   cuni 3811   class class class wbr 4005  ωcom 4591  cen 6740  cdom 6741  Fincfn 6742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745
This theorem is referenced by:  hashennn  10762
  Copyright terms: Public domain W3C validator