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Theorem hashennnuni 10084
Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of ω is that element of ω. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashennnuni ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁

Proof of Theorem hashennnuni
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun1 3156 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
21adantr 270 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
3 endom 6432 . . . . 5 (𝑁𝐴𝑁𝐴)
43adantl 271 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁𝐴)
5 breq1 3823 . . . . 5 (𝑦 = 𝑁 → (𝑦𝐴𝑁𝐴))
65elrab 2762 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ↔ (𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑁𝐴))
72, 4, 6sylanbrc 408 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
8 breq1 3823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
98elrab 2762 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
109biimpi 118 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
1110adantl 271 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
1211simprd 112 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝐴)
13 simplr 497 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑁𝐴)
1413ensymd 6452 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝐴𝑁)
15 domentr 6460 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝐴𝑁) → 𝑧𝑁)
1612, 14, 15syl2anc 403 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝑁)
1716adantr 270 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧𝑁)
18 simpr 108 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
19 simplll 500 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
20 nndomo 6532 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝑧𝑁𝑧𝑁))
2118, 19, 20syl2anc 403 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧𝑁𝑧𝑁))
2217, 21mpbid 145 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧𝑁)
23 nnfi 6540 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ Fin)
2423ad3antrrr 476 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑁 ∈ Fin)
2514adantr 270 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴𝑁)
26 enfii 6542 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑁) → 𝐴 ∈ Fin)
2724, 25, 26syl2anc 403 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ∈ Fin)
2812adantr 270 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧𝐴)
29 elsni 3449 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {ω} → 𝑧 = ω)
3029breq1d 3830 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {ω} → (𝑧𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
3130adantl 271 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → (𝑧𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
3228, 31mpbid 145 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ω ≼ 𝐴)
33 infnfi 6563 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3432, 33syl 14 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3527, 34pm2.21dd 583 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧𝑁)
3611simpld 110 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}))
37 elun 3130 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ↔ (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
3836, 37sylib 120 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
3922, 35, 38mpjaodan 745 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝑁)
4039ralrimiva 2442 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}𝑧𝑁)
41 ssunieq 3669 . . 3 ((𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}𝑧𝑁) → 𝑁 = {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
427, 40, 41syl2anc 403 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 = {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
4342eqcomd 2090 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  {crab 2359  cun 2986  wss 2988  {csn 3431   cuni 3636   class class class wbr 3820  ωcom 4378  cen 6407  cdom 6408  Fincfn 6409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-tr 3912  df-id 4094  df-iord 4167  df-on 4169  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-er 6244  df-en 6410  df-dom 6411  df-fin 6412
This theorem is referenced by:  hashennn  10085
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