ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashennnuni GIF version

Theorem hashennnuni 10022
Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of ω is that element of ω. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashennnuni ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁

Proof of Theorem hashennnuni
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun1 3151 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
21adantr 270 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
3 endom 6410 . . . . 5 (𝑁𝐴𝑁𝐴)
43adantl 271 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁𝐴)
5 breq1 3814 . . . . 5 (𝑦 = 𝑁 → (𝑦𝐴𝑁𝐴))
65elrab 2759 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ↔ (𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑁𝐴))
72, 4, 6sylanbrc 408 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
8 breq1 3814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
98elrab 2759 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
109biimpi 118 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
1110adantl 271 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
1211simprd 112 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝐴)
13 simplr 497 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑁𝐴)
1413ensymd 6430 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝐴𝑁)
15 domentr 6438 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝐴𝑁) → 𝑧𝑁)
1612, 14, 15syl2anc 403 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝑁)
1716adantr 270 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧𝑁)
18 simpr 108 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
19 simplll 500 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
20 nndomo 6510 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝑧𝑁𝑧𝑁))
2118, 19, 20syl2anc 403 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧𝑁𝑧𝑁))
2217, 21mpbid 145 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧𝑁)
23 nnfi 6518 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ Fin)
2423ad3antrrr 476 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑁 ∈ Fin)
2514adantr 270 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴𝑁)
26 enfii 6520 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑁) → 𝐴 ∈ Fin)
2724, 25, 26syl2anc 403 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ∈ Fin)
2812adantr 270 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧𝐴)
29 elsni 3440 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {ω} → 𝑧 = ω)
3029breq1d 3821 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {ω} → (𝑧𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
3130adantl 271 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → (𝑧𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
3228, 31mpbid 145 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ω ≼ 𝐴)
33 infnfi 6541 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3432, 33syl 14 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3527, 34pm2.21dd 583 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧𝑁)
3611simpld 110 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}))
37 elun 3125 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ↔ (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
3836, 37sylib 120 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
3922, 35, 38mpjaodan 745 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝑁)
4039ralrimiva 2440 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}𝑧𝑁)
41 ssunieq 3660 . . 3 ((𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}𝑧𝑁) → 𝑁 = {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
427, 40, 41syl2anc 403 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 = {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
4342eqcomd 2088 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  {crab 2357  cun 2982  wss 2984  {csn 3422   cuni 3627   class class class wbr 3811  ωcom 4368  cen 6385  cdom 6386  Fincfn 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-er 6222  df-en 6388  df-dom 6389  df-fin 6390
This theorem is referenced by:  hashennn  10023
  Copyright terms: Public domain W3C validator