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Theorem hashennnuni 10412
Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of ω is that element of ω. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashennnuni ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁

Proof of Theorem hashennnuni
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun1 3207 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
21adantr 272 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
3 endom 6609 . . . . 5 (𝑁𝐴𝑁𝐴)
43adantl 273 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁𝐴)
5 breq1 3896 . . . . 5 (𝑦 = 𝑁 → (𝑦𝐴𝑁𝐴))
65elrab 2807 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ↔ (𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑁𝐴))
72, 4, 6sylanbrc 411 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
8 breq1 3896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
98elrab 2807 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
109biimpi 119 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
1110adantl 273 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
1211simprd 113 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝐴)
13 simplr 502 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑁𝐴)
1413ensymd 6629 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝐴𝑁)
15 domentr 6637 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝐴𝑁) → 𝑧𝑁)
1612, 14, 15syl2anc 406 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝑁)
1716adantr 272 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧𝑁)
18 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
19 simplll 505 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
20 nndomo 6709 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝑧𝑁𝑧𝑁))
2118, 19, 20syl2anc 406 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧𝑁𝑧𝑁))
2217, 21mpbid 146 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧𝑁)
23 nnfi 6717 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ Fin)
2423ad3antrrr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑁 ∈ Fin)
2514adantr 272 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴𝑁)
26 enfii 6719 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑁) → 𝐴 ∈ Fin)
2724, 25, 26syl2anc 406 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ∈ Fin)
2812adantr 272 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧𝐴)
29 elsni 3509 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {ω} → 𝑧 = ω)
3029breq1d 3903 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {ω} → (𝑧𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
3130adantl 273 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → (𝑧𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
3228, 31mpbid 146 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ω ≼ 𝐴)
33 infnfi 6740 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3432, 33syl 14 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3527, 34pm2.21dd 592 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧𝑁)
3611simpld 111 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}))
37 elun 3181 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ↔ (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
3836, 37sylib 121 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
3922, 35, 38mpjaodan 770 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝑁)
4039ralrimiva 2477 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}𝑧𝑁)
41 ssunieq 3733 . . 3 ((𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}𝑧𝑁) → 𝑁 = {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
427, 40, 41syl2anc 406 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 = {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
4342eqcomd 2118 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680   = wceq 1312  wcel 1461  wral 2388  {crab 2392  cun 3033  wss 3035  {csn 3491   cuni 3700   class class class wbr 3893  ωcom 4462  cen 6584  cdom 6585  Fincfn 6586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-er 6381  df-en 6587  df-dom 6588  df-fin 6589
This theorem is referenced by:  hashennn  10413
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