Theorem hashennnuni 10743

Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of ω is that element of ω. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennnuni	⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁

Proof of Theorem hashennnuni

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3302	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
3		endom 6757	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≈ 𝐴 → 𝑁 ≼ 𝐴)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 ≼ 𝐴)
5		breq1 4003	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 ≼ 𝐴 ↔ 𝑁 ≼ 𝐴))
6	5	elrab 2893	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ↔ (𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑁 ≼ 𝐴))
7	2, 4, 6	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
8		breq1 4003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≼ 𝐴 ↔ 𝑧 ≼ 𝐴))
9	8	elrab 2893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧 ≼ 𝐴))
10	9	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧 ≼ 𝐴))
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧 ≼ 𝐴))
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ≼ 𝐴)
13		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑁 ≈ 𝐴)
14	13	ensymd 6777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝐴 ≈ 𝑁)
15		domentr 6785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑁) → 𝑧 ≼ 𝑁)
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ≼ 𝑁)
17	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ≼ 𝑁)
18		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
19		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
20		nndomo 6858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝑧 ≼ 𝑁 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑁))
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ≼ 𝑁 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑁))
22	17, 21	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ⊆ 𝑁)
23		nnfi 6866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ Fin)
24	23	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑁 ∈ Fin)
25	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ≈ 𝑁)
26		enfii 6868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑁) → 𝐴 ∈ Fin)
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ∈ Fin)
28	12	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧 ≼ 𝐴)
29		elsni 3609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {ω} → 𝑧 = ω)
30	29	breq1d 4010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {ω} → (𝑧 ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → (𝑧 ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
32	28, 31	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ω ≼ 𝐴)
33		infnfi 6889	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
35	27, 34	pm2.21dd 620	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧 ⊆ 𝑁)
36	11	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}))
37		elun 3276	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ↔ (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
38	36, 37	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
39	22, 35, 38	mpjaodan 798	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ⊆ 𝑁)
40	39	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}𝑧 ⊆ 𝑁)
41		ssunieq 3840	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}𝑧 ⊆ 𝑁) → 𝑁 = ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
42	7, 40, 41	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 = ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
43	42	eqcomd 2183	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  {crab 2459   ∪ cun 3127   ⊆ wss 3129  {csn 3591  ∪ cuni 3807   class class class wbr 4000  ωcom 4586   ≈ cen 6732   ≼ cdom 6733  Fincfn 6734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737

This theorem is referenced by:  hashennn  10744