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Theorem hashennnuni 10558
 Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of ω is that element of ω. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashennnuni ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁

Proof of Theorem hashennnuni
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun1 3248 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
21adantr 274 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
3 endom 6665 . . . . 5 (𝑁𝐴𝑁𝐴)
43adantl 275 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁𝐴)
5 breq1 3940 . . . . 5 (𝑦 = 𝑁 → (𝑦𝐴𝑁𝐴))
65elrab 2844 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ↔ (𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑁𝐴))
72, 4, 6sylanbrc 414 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
8 breq1 3940 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
98elrab 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
109biimpi 119 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
1110adantl 275 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧𝐴))
1211simprd 113 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝐴)
13 simplr 520 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑁𝐴)
1413ensymd 6685 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝐴𝑁)
15 domentr 6693 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝐴𝑁) → 𝑧𝑁)
1612, 14, 15syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝑁)
1716adantr 274 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧𝑁)
18 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
19 simplll 523 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
20 nndomo 6766 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝑧𝑁𝑧𝑁))
2118, 19, 20syl2anc 409 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧𝑁𝑧𝑁))
2217, 21mpbid 146 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧𝑁)
23 nnfi 6774 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ Fin)
2423ad3antrrr 484 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑁 ∈ Fin)
2514adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴𝑁)
26 enfii 6776 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑁) → 𝐴 ∈ Fin)
2724, 25, 26syl2anc 409 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ∈ Fin)
2812adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧𝐴)
29 elsni 3550 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {ω} → 𝑧 = ω)
3029breq1d 3947 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {ω} → (𝑧𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
3130adantl 275 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → (𝑧𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
3228, 31mpbid 146 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ω ≼ 𝐴)
33 infnfi 6797 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3432, 33syl 14 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3527, 34pm2.21dd 610 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧𝑁)
3611simpld 111 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}))
37 elun 3222 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ↔ (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
3836, 37sylib 121 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
3922, 35, 38mpjaodan 788 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}) → 𝑧𝑁)
4039ralrimiva 2508 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}𝑧𝑁)
41 ssunieq 3777 . . 3 ((𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴}𝑧𝑁) → 𝑁 = {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
427, 40, 41syl2anc 409 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 = {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴})
4342eqcomd 2146 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁𝐴) → {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦𝐴} = 𝑁)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  {crab 2421   ∪ cun 3074   ⊆ wss 3076  {csn 3532  ∪ cuni 3744   class class class wbr 3937  ωcom 4512   ≈ cen 6640   ≼ cdom 6641  Fincfn 6642 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645 This theorem is referenced by:  hashennn  10559
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