Theorem hashennnuni 11150

Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of ω is that element of ω. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennnuni	⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁

Proof of Theorem hashennnuni

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3388	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}))
3		endom 7004	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≈ 𝐴 → 𝑁 ≼ 𝐴)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 ≼ 𝐴)
5		breq1 4114	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 ≼ 𝐴 ↔ 𝑁 ≼ 𝐴))
6	5	elrab 2975	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ↔ (𝑁 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑁 ≼ 𝐴))
7	2, 4, 6	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
8		breq1 4114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≼ 𝐴 ↔ 𝑧 ≼ 𝐴))
9	8	elrab 2975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧 ≼ 𝐴))
10	9	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧 ≼ 𝐴))
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ∧ 𝑧 ≼ 𝐴))
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ≼ 𝐴)
13		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑁 ≈ 𝐴)
14	13	ensymd 7025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝐴 ≈ 𝑁)
15		domentr 7033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑁) → 𝑧 ≼ 𝑁)
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ≼ 𝑁)
17	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ≼ 𝑁)
18		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
19		simplll 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
20		nndomo 7120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝑧 ≼ 𝑁 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑁))
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ≼ 𝑁 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑁))
22	17, 21	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ⊆ 𝑁)
23		nnfi 7129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ Fin)
24	23	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑁 ∈ Fin)
25	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ≈ 𝑁)
26		enfii 7131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑁) → 𝐴 ∈ Fin)
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝐴 ∈ Fin)
28	12	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧 ≼ 𝐴)
29		elsni 3709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {ω} → 𝑧 = ω)
30	29	breq1d 4121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {ω} → (𝑧 ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → (𝑧 ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
32	28, 31	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ω ≼ 𝐴)
33		infnfi 7154	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
35	27, 34	pm2.21dd 625	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧 ⊆ 𝑁)
36	11	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}))
37		elun 3362	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ↔ (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
38	36, 37	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
39	22, 35, 38	mpjaodan 806	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ⊆ 𝑁)
40	39	ralrimiva 2617	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}𝑧 ⊆ 𝑁)
41		ssunieq 3949	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}𝑧 ⊆ 𝑁) → 𝑁 = ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
42	7, 40, 41	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → 𝑁 = ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
43	42	eqcomd 2240	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≈ 𝐴) → ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526   ∪ cun 3211   ⊆ wss 3213  {csn 3691  ∪ cuni 3916   class class class wbr 4111  ωcom 4714   ≈ cen 6975   ≼ cdom 6976  Fincfn 6977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980

This theorem is referenced by:  hashennn  11151