Theorem enrefg 6658

Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 18-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enrefg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem enrefg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5405	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		f1oen2g 6649	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3	1, 2	mp3an3 1304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≈ 𝐴)
4	3	anidms 394	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929   I cid 4210   ↾ cres 4541  –1-1-onto→wf1o 5122   ≈ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-en 6635

This theorem is referenced by:  enref  6659  eqeng  6660  domrefg  6661  mapdom1g  6741  fidifsnen  6764  nnfi  6766  onenon  7040  oncardval  7042  cardonle  7043  dju1en  7069  xpdjuen  7074  iseqf1olemqf1o  10266  hashun  10551