Theorem enrefg 7005

Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 18-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enrefg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem enrefg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5656	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		f1oen2g 6996	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3	1, 2	mp3an3 1363	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≈ 𝐴)
4	3	anidms 397	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111   I cid 4411   ↾ cres 4753  –1-1-onto→wf1o 5353   ≈ cen 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-en 6978

This theorem is referenced by:  enref  7006  eqeng  7007  domrefg  7008  mapdom1g  7102  fidifsnen  7127  nnfi  7129  onenon  7482  oncardval  7484  cardonle  7485  dju1en  7522  xpdjuen  7527  iseqf1olemqf1o  10875  hashun  11177  lgseisenlem2  15993