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Theorem ctinf 12396
Description: A set is countably infinite if and only if it has decidable equality, is countable, and is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctinf (𝐴 ≈ ℕ ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑦,𝑥

Proof of Theorem ctinf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 𝑘 𝑢 𝑔 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ctinfom 12394 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓(𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))))
21simplbi 274 . . 3 (𝐴 ≈ ℕ → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
31simprbi 275 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ → ∃𝑓(𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)))
4 simpl 109 . . . . . 6 ((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)) → 𝑓:ω–onto𝐴)
54a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ≈ ℕ → ((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)) → 𝑓:ω–onto𝐴))
65eximdv 1878 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ → (∃𝑓(𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴))
73, 6mpd 13 . . 3 (𝐴 ≈ ℕ → ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴)
8 nnenom 10402 . . . . . 6 ℕ ≈ ω
9 entr 6774 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
108, 9mpan2 425 . . . . 5 (𝐴 ≈ ℕ → 𝐴 ≈ ω)
1110ensymd 6773 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ → ω ≈ 𝐴)
12 endom 6753 . . . 4 (ω ≈ 𝐴 → ω ≼ 𝐴)
1311, 12syl 14 . . 3 (𝐴 ≈ ℕ → ω ≼ 𝐴)
142, 7, 133jca 1177 . 2 (𝐴 ≈ ℕ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴))
15 simp1 997 . . 3 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
16 3simpb 995 . . . 4 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴))
17 simp2 998 . . . 4 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴)
18 simp2 998 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝑓:ω–onto𝐴)
19 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
20 equequ1 1710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 𝑦𝑢 = 𝑦))
2120dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → (DECID 𝑥 = 𝑦DECID 𝑢 = 𝑦))
2221ralbidv 2475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑢 → (∀𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 DECID 𝑢 = 𝑦))
2322cbvralv 2701 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑢𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑢 = 𝑦)
2419, 23sylib 122 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∀𝑢𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑢 = 𝑦)
25 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ω ≼ 𝐴)
26 fof 5430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ω–onto𝐴𝑓:ω⟶𝐴)
27 imassrn 4974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓𝑛) ⊆ ran 𝑓
28 frn 5366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ω⟶𝐴 → ran 𝑓𝐴)
2927, 28sstrid 3164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ω⟶𝐴 → (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴)
3026, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ω–onto𝐴 → (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴)
3130ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴)
32313adantl1 1153 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴)
33 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑓:ω–onto𝐴)
34 equequ1 1710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 = 𝑦𝑎 = 𝑦))
3534dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (DECID 𝑥 = 𝑦DECID 𝑎 = 𝑦))
36 equequ2 1711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎 = 𝑦𝑎 = 𝑏))
3736dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (DECID 𝑎 = 𝑦DECID 𝑎 = 𝑏))
3835, 37cbvral2v 2714 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑎𝐴𝑏𝐴 DECID 𝑎 = 𝑏)
39 ssralv 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 → (∀𝑏𝐴 DECID 𝑎 = 𝑏 → ∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏))
4030, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:ω–onto𝐴 → (∀𝑏𝐴 DECID 𝑎 = 𝑏 → ∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏))
4140ralimdv 2543 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ω–onto𝐴 → (∀𝑎𝐴𝑏𝐴 DECID 𝑎 = 𝑏 → ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏))
42 ssralv 3217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 → (∀𝑎𝐴𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏 → ∀𝑎 ∈ (𝑓𝑛)∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏))
4330, 41, 42sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ω–onto𝐴 → (∀𝑎𝐴𝑏𝐴 DECID 𝑎 = 𝑏 → ∀𝑎 ∈ (𝑓𝑛)∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏))
4438, 43biimtrid 152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ω–onto𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑎 ∈ (𝑓𝑛)∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏))
4533, 19, 44sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∀𝑎 ∈ (𝑓𝑛)∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏)
46 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
47 fofun 5431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:ω–onto𝐴 → Fun 𝑓)
4847ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → Fun 𝑓)
49 ordom 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ord ω
50 ordtr 4372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord ω → Tr ω)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Tr ω
52 trss 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Tr ω → (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω))
5351, 46, 52mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
5426fdmd 5364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:ω–onto𝐴 → dom 𝑓 = ω)
5554ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → dom 𝑓 = ω)
5653, 55sseqtrrd 3192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ dom 𝑓)
57 fores 5439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝑓𝑛 ⊆ dom 𝑓) → (𝑓𝑛):𝑛onto→(𝑓𝑛))
5848, 56, 57syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓𝑛):𝑛onto→(𝑓𝑛))
59 vex 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑓 ∈ V
6059resex 4941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓𝑛) ∈ V
61 foeq1 5426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = (𝑓𝑛) → (𝑔:𝑛onto→(𝑓𝑛) ↔ (𝑓𝑛):𝑛onto→(𝑓𝑛)))
6260, 61spcev 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓𝑛):𝑛onto→(𝑓𝑛) → ∃𝑔 𝑔:𝑛onto→(𝑓𝑛))
6358, 62syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:𝑛onto→(𝑓𝑛))
64 foeq2 5427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑛 → (𝑔:𝑚onto→(𝑓𝑛) ↔ 𝑔:𝑛onto→(𝑓𝑛)))
6564exbidv 1823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → (∃𝑔 𝑔:𝑚onto→(𝑓𝑛) ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑛onto→(𝑓𝑛)))
6665rspcev 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ω ∧ ∃𝑔 𝑔:𝑛onto→(𝑓𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω ∃𝑔 𝑔:𝑚onto→(𝑓𝑛))
6746, 63, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑚 ∈ ω ∃𝑔 𝑔:𝑚onto→(𝑓𝑛))
68673adantl1 1153 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑚 ∈ ω ∃𝑔 𝑔:𝑚onto→(𝑓𝑛))
69 fidcenum 6945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑛) ∈ Fin ↔ (∀𝑎 ∈ (𝑓𝑛)∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏 ∧ ∃𝑚 ∈ ω ∃𝑔 𝑔:𝑚onto→(𝑓𝑛)))
7045, 68, 69sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓𝑛) ∈ Fin)
7124, 25, 32, 70inffinp1 12395 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑢𝐴 ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))
72 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) → 𝑢𝐴)
73 foelrn 5744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ω–onto𝐴𝑢𝐴) → ∃𝑘 ∈ ω 𝑢 = (𝑓𝑘))
7433, 72, 73syl2an2r 595 . . . . . . . . . . 11 ((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) → ∃𝑘 ∈ ω 𝑢 = (𝑓𝑘))
75 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑢 = (𝑓𝑘)) → 𝑢 = (𝑓𝑘))
76 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) → ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑢 = (𝑓𝑘)) → ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))
7875, 77eqneltrrd 2272 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑢 = (𝑓𝑘)) → ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))
7978ex 115 . . . . . . . . . . . 12 (((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑢 = (𝑓𝑘) → ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)))
8079reximdva 2577 . . . . . . . . . . 11 ((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) → (∃𝑘 ∈ ω 𝑢 = (𝑓𝑘) → ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)))
8174, 80mpd 13 . . . . . . . . . 10 ((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) → ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))
8271, 81rexlimddv 2597 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))
8382ralrimiva 2548 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))
8418, 83jca 306 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)))
85843com23 1209 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴𝑓:ω–onto𝐴) → (𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)))
86853expia 1205 . . . . 5 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑓:ω–onto𝐴 → (𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))))
8786eximdv 1878 . . . 4 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 → ∃𝑓(𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))))
8816, 17, 87sylc 62 . . 3 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)))
8915, 88, 1sylanbrc 417 . 2 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ ℕ)
9014, 89impbii 126 1 (𝐴 ≈ ℕ ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wex 1490  wcel 2146  wral 2453  wrex 2454  wss 3127   class class class wbr 3998  Tr wtr 4096  Ord word 4356  ωcom 4583  dom cdm 4620  ran crn 4621  cres 4622  cima 4623  Fun wfun 5202  wf 5204  ontowfo 5206  cfv 5208  cen 6728  cdom 6729  Fincfn 6730  cn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-er 6525  df-pm 6641  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-dju 7027  df-inl 7036  df-inr 7037  df-case 7073  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-fz 9978  df-seqfrec 10414
This theorem is referenced by:  qnnen  12397  unbendc  12420
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