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Theorem ctinf 11977
Description: A set is countably infinite if and only if it has decidable equality, is countable, and is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctinf (𝐴 ≈ ℕ ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑦,𝑥

Proof of Theorem ctinf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 𝑘 𝑢 𝑔 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ctinfom 11975 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓(𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))))
21simplbi 272 . . 3 (𝐴 ≈ ℕ → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
31simprbi 273 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ → ∃𝑓(𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)))
4 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)) → 𝑓:ω–onto𝐴)
54a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ≈ ℕ → ((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)) → 𝑓:ω–onto𝐴))
65eximdv 1853 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ → (∃𝑓(𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴))
73, 6mpd 13 . . 3 (𝐴 ≈ ℕ → ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴)
8 nnenom 10237 . . . . . 6 ℕ ≈ ω
9 entr 6685 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
108, 9mpan2 422 . . . . 5 (𝐴 ≈ ℕ → 𝐴 ≈ ω)
1110ensymd 6684 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ → ω ≈ 𝐴)
12 endom 6664 . . . 4 (ω ≈ 𝐴 → ω ≼ 𝐴)
1311, 12syl 14 . . 3 (𝐴 ≈ ℕ → ω ≼ 𝐴)
142, 7, 133jca 1162 . 2 (𝐴 ≈ ℕ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴))
15 simp1 982 . . 3 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
16 3simpb 980 . . . 4 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴))
17 simp2 983 . . . 4 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴)
18 simp2 983 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝑓:ω–onto𝐴)
19 simpl1 985 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
20 equequ1 1689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 𝑦𝑢 = 𝑦))
2120dcbid 824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → (DECID 𝑥 = 𝑦DECID 𝑢 = 𝑦))
2221ralbidv 2438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑢 → (∀𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 DECID 𝑢 = 𝑦))
2322cbvralv 2657 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑢𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑢 = 𝑦)
2419, 23sylib 121 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∀𝑢𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑢 = 𝑦)
25 simpl3 987 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ω ≼ 𝐴)
26 fof 5352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ω–onto𝐴𝑓:ω⟶𝐴)
27 imassrn 4899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓𝑛) ⊆ ran 𝑓
28 frn 5288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ω⟶𝐴 → ran 𝑓𝐴)
2927, 28sstrid 3112 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ω⟶𝐴 → (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴)
3026, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ω–onto𝐴 → (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴)
3130ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴)
32313adantl1 1138 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴)
33 simpl2 986 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑓:ω–onto𝐴)
34 equequ1 1689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 = 𝑦𝑎 = 𝑦))
3534dcbid 824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (DECID 𝑥 = 𝑦DECID 𝑎 = 𝑦))
36 equequ2 1690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎 = 𝑦𝑎 = 𝑏))
3736dcbid 824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (DECID 𝑎 = 𝑦DECID 𝑎 = 𝑏))
3835, 37cbvral2v 2668 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑎𝐴𝑏𝐴 DECID 𝑎 = 𝑏)
39 ssralv 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 → (∀𝑏𝐴 DECID 𝑎 = 𝑏 → ∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏))
4030, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:ω–onto𝐴 → (∀𝑏𝐴 DECID 𝑎 = 𝑏 → ∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏))
4140ralimdv 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ω–onto𝐴 → (∀𝑎𝐴𝑏𝐴 DECID 𝑎 = 𝑏 → ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏))
42 ssralv 3165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 → (∀𝑎𝐴𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏 → ∀𝑎 ∈ (𝑓𝑛)∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏))
4330, 41, 42sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ω–onto𝐴 → (∀𝑎𝐴𝑏𝐴 DECID 𝑎 = 𝑏 → ∀𝑎 ∈ (𝑓𝑛)∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏))
4438, 43syl5bi 151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ω–onto𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑎 ∈ (𝑓𝑛)∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏))
4533, 19, 44sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∀𝑎 ∈ (𝑓𝑛)∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏)
46 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
47 fofun 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:ω–onto𝐴 → Fun 𝑓)
4847ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → Fun 𝑓)
49 ordom 4527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ord ω
50 ordtr 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord ω → Tr ω)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Tr ω
52 trss 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Tr ω → (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω))
5351, 46, 52mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
5426fdmd 5286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:ω–onto𝐴 → dom 𝑓 = ω)
5554ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → dom 𝑓 = ω)
5653, 55sseqtrrd 3140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ dom 𝑓)
57 fores 5361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝑓𝑛 ⊆ dom 𝑓) → (𝑓𝑛):𝑛onto→(𝑓𝑛))
5848, 56, 57syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓𝑛):𝑛onto→(𝑓𝑛))
59 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑓 ∈ V
6059resex 4867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓𝑛) ∈ V
61 foeq1 5348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = (𝑓𝑛) → (𝑔:𝑛onto→(𝑓𝑛) ↔ (𝑓𝑛):𝑛onto→(𝑓𝑛)))
6260, 61spcev 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓𝑛):𝑛onto→(𝑓𝑛) → ∃𝑔 𝑔:𝑛onto→(𝑓𝑛))
6358, 62syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:𝑛onto→(𝑓𝑛))
64 foeq2 5349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑛 → (𝑔:𝑚onto→(𝑓𝑛) ↔ 𝑔:𝑛onto→(𝑓𝑛)))
6564exbidv 1798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → (∃𝑔 𝑔:𝑚onto→(𝑓𝑛) ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑛onto→(𝑓𝑛)))
6665rspcev 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ω ∧ ∃𝑔 𝑔:𝑛onto→(𝑓𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω ∃𝑔 𝑔:𝑚onto→(𝑓𝑛))
6746, 63, 66syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑚 ∈ ω ∃𝑔 𝑔:𝑚onto→(𝑓𝑛))
68673adantl1 1138 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑚 ∈ ω ∃𝑔 𝑔:𝑚onto→(𝑓𝑛))
69 fidcenum 6851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑛) ∈ Fin ↔ (∀𝑎 ∈ (𝑓𝑛)∀𝑏 ∈ (𝑓𝑛)DECID 𝑎 = 𝑏 ∧ ∃𝑚 ∈ ω ∃𝑔 𝑔:𝑚onto→(𝑓𝑛)))
7045, 68, 69sylanbrc 414 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓𝑛) ∈ Fin)
7124, 25, 32, 70inffinp1 11976 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑢𝐴 ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))
72 simprl 521 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) → 𝑢𝐴)
73 foelrn 5661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ω–onto𝐴𝑢𝐴) → ∃𝑘 ∈ ω 𝑢 = (𝑓𝑘))
7433, 72, 73syl2an2r 585 . . . . . . . . . . 11 ((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) → ∃𝑘 ∈ ω 𝑢 = (𝑓𝑘))
75 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑢 = (𝑓𝑘)) → 𝑢 = (𝑓𝑘))
76 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) → ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))
7776ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑢 = (𝑓𝑘)) → ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))
7875, 77eqneltrrd 2237 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑢 = (𝑓𝑘)) → ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))
7978ex 114 . . . . . . . . . . . 12 (((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑢 = (𝑓𝑘) → ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)))
8079reximdva 2537 . . . . . . . . . . 11 ((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) → (∃𝑘 ∈ ω 𝑢 = (𝑓𝑘) → ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)))
8174, 80mpd 13 . . . . . . . . . 10 ((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑓𝑛))) → ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))
8271, 81rexlimddv 2557 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))
8382ralrimiva 2508 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))
8418, 83jca 304 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)))
85843com23 1188 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴𝑓:ω–onto𝐴) → (𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)))
86853expia 1184 . . . . 5 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑓:ω–onto𝐴 → (𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))))
8786eximdv 1853 . . . 4 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 → ∃𝑓(𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛))))
8816, 17, 87sylc 62 . . 3 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝑓𝑛)))
8915, 88, 1sylanbrc 414 . 2 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ ℕ)
9014, 89impbii 125 1 (𝐴 ≈ ℕ ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 820  w3a 963   = wceq 1332  wex 1469  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  wss 3075   class class class wbr 3936  Tr wtr 4033  Ord word 4291  ωcom 4511  dom cdm 4546  ran crn 4547  cres 4548  cima 4549  Fun wfun 5124  wf 5126  ontowfo 5128  cfv 5130  cen 6639  cdom 6640  Fincfn 6641  cn 8743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-1o 6320  df-er 6436  df-pm 6552  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-dju 6930  df-inl 6939  df-inr 6940  df-case 6976  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-seqfrec 10249
This theorem is referenced by:  qnnen  11978
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