Theorem fimacnvdisj 5439

Description: The preimage of a class disjoint with a mapping's codomain is empty. (Contributed by FL, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnvdisj	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (◡𝐹 “ 𝐶) = ∅)

Proof of Theorem fimacnvdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4671	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 = dom ◡𝐹
2		frn 5413	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
4	1, 3	eqsstrrid 3227	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → dom ◡𝐹 ⊆ 𝐵)
5		ssdisj 3504	. . 3 ⊢ ((dom ◡𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
6	4, 5	sylancom 420	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
7		imadisj 5028	. 2 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐶) = ∅ ↔ (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
8	6, 7	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (◡𝐹 “ 𝐶) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∩ cin 3153   ⊆ wss 3154  ∅c0 3447  ^◡ccnv 4659  dom cdm 4660  ran crn 4661   “ cima 4663  ⟶wf 5251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-f 5259

This theorem is referenced by: (None)