ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimacnvdisj GIF version

Theorem fimacnvdisj 5158
Description: The preimage of a class disjoint with a mapping's codomain is empty. (Contributed by FL, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnvdisj ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐵𝐶) = ∅) → (𝐹𝐶) = ∅)

Proof of Theorem fimacnvdisj
StepHypRef Expression
1 df-rn 4422 . . . 4 ran 𝐹 = dom 𝐹
2 frn 5134 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
32adantr 270 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐵𝐶) = ∅) → ran 𝐹𝐵)
41, 3syl5eqssr 3060 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐵𝐶) = ∅) → dom 𝐹𝐵)
5 ssdisj 3327 . . 3 ((dom 𝐹𝐵 ∧ (𝐵𝐶) = ∅) → (dom 𝐹𝐶) = ∅)
64, 5sylancom 411 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐵𝐶) = ∅) → (dom 𝐹𝐶) = ∅)
7 imadisj 4761 . 2 ((𝐹𝐶) = ∅ ↔ (dom 𝐹𝐶) = ∅)
86, 7sylibr 132 1 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐵𝐶) = ∅) → (𝐹𝐶) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  cin 2987  wss 2988  c0 3275  ccnv 4410  dom cdm 4411  ran crn 4412  cima 4414  wf 4977
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-br 3821  df-opab 3875  df-xp 4417  df-cnv 4419  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-f 4985
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator