Theorem fimacnvdisj 5556

Description: The preimage of a class disjoint with a mapping's codomain is empty. (Contributed by FL, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnvdisj	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (◡𝐹 “ 𝐶) = ∅)

Proof of Theorem fimacnvdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4765	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 = dom ◡𝐹
2		frn 5522	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
4	1, 3	eqsstrrid 3289	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → dom ◡𝐹 ⊆ 𝐵)
5		ssdisj 3569	. . 3 ⊢ ((dom ◡𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
6	4, 5	sylancom 420	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
7		imadisj 5129	. 2 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐶) = ∅ ↔ (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
8	6, 7	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (◡𝐹 “ 𝐶) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  ^◡ccnv 4753  dom cdm 4754  ran crn 4755   “ cima 4757  ⟶wf 5353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-f 5361

This theorem is referenced by: (None)