Theorem fimacnvdisj 5509

Description: The preimage of a class disjoint with a mapping's codomain is empty. (Contributed by FL, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnvdisj	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (◡𝐹 “ 𝐶) = ∅)

Proof of Theorem fimacnvdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4729	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 = dom ◡𝐹
2		frn 5481	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
4	1, 3	eqsstrrid 3271	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → dom ◡𝐹 ⊆ 𝐵)
5		ssdisj 3548	. . 3 ⊢ ((dom ◡𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
6	4, 5	sylancom 420	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
7		imadisj 5089	. 2 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐶) = ∅ ↔ (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
8	6, 7	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (◡𝐹 “ 𝐶) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  ^◡ccnv 4717  dom cdm 4718  ran crn 4719   “ cima 4721  ⟶wf 5313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-f 5321

This theorem is referenced by: (None)