Theorem funopabeq 5223

Description: A class of ordered pairs of values is a function. (Contributed by NM, 14-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
funopabeq	⊢ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑦 = 𝐴}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem funopabeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab 5222	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑦 = 𝐴} ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦 = 𝐴)
2		moeq 2900	. 2 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐴
3	1, 2	mpgbir 1441	1 ⊢ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑦 = 𝐴}

Syntax hints:   = wceq 1343  ∃*wmo 2015  {copab 4041  Fun wfun 5181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-fun 5189

This theorem is referenced by:  funopab4  5224