Theorem brcnv 4963

Description: The converse of a binary relation swaps arguments. Theorem 11 of [Suppes] p. 61. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelcnv.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opelcnv.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brcnv	⊢ (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴)

Proof of Theorem brcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelcnv.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		opelcnv.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		brcnvg 4961	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 ⊢ (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4130  ^◡ccnv 4773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-cnv 4782

This theorem is used by:  cnvco  4965  dfrn2  4968  dfdm4  4973  cnvsym  5171  intasym  5172  asymref  5173  qfto  5177  dminss  5202  imainss  5203  dminxp  5232  cnvcnv3  5237  cnvpom  5330  cnvsom  5331  dffun2  5387  funcnvsn  5426  funcnv2  5441  funcnveq  5444  fun2cnv  5445  imadif  5461  f1ompt  5859  f1eqcocnv  5997  fliftcnv  6001  isocnv2  6018  ercnv  6828  ecid  6872  cnvinfex  7358  eqinfti  7360  infvalti  7362  infmoti  7368  dfinfre  9286  pw1nct  17033