Theorem ismet2 15145

Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ismet2	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))

Proof of Theorem ismet2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metrel 15133	. . 3 ⊢ Rel Met
2		relelfvdm 5680	. . . 4 ⊢ ((Rel Met ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom Met)
3	2	elexd 2817	. . 3 ⊢ ((Rel Met ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
4	1, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
5		xmetrel 15134	. . . . 5 ⊢ Rel ∞Met
6		relelfvdm 5680	. . . . 5 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
7	5, 6	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8	7	elexd 2817	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝑋 ∈ V)
10		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
12		simplrl 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13	10, 11, 12	fovcdmd 6177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ)
14		simplrr 538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
15	10, 11, 14	fovcdmd 6177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)
16	13, 15	rexaddd 10132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
17	16	breq2d 4105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
18	17	ralbidva 2529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
19	18	anbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
20	19	2ralbidva 2555	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
22		ressxr 8266	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
23		fss 5501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
24	21, 22, 23	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
25	24	biantrurd 305	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
26	20, 25	bitr3d 190	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
27	26	pm5.32da 452	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))))
28		ancom 266	. . . 4 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))) ↔ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
29	27, 28	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
30		ismet 15135	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))))
31		isxmet 15136	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
32	31	anbi1d 465	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ↔ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
33	29, 30, 32	3bitr4d 220	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
34	4, 9, 33	pm5.21nii 712	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093   × cxp 4729  dom cdm 4731  Rel wrel 4736  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  0cc0 8075   + caddc 8078  ℝ^*cxr 8256   ≤ cle 8258   +_𝑒 cxad 10048  ∞Metcxmet 14612  Metcmet 14613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172  ax-rnegex 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-xadd 10051  df-xmet 14620  df-met 14621

This theorem is referenced by:  metxmet  15146  metres2  15172  xmetresbl  15231  bdmet  15293