Theorem ismet2 13521

Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ismet2	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))

Proof of Theorem ismet2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metrel 13509	. . 3 ⊢ Rel Met
2		relelfvdm 5543	. . . 4 ⊢ ((Rel Met ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom Met)
3	2	elexd 2750	. . 3 ⊢ ((Rel Met ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
4	1, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
5		xmetrel 13510	. . . . 5 ⊢ Rel ∞Met
6		relelfvdm 5543	. . . . 5 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
7	5, 6	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8	7	elexd 2750	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝑋 ∈ V)
10		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
12		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13	10, 11, 12	fovcdmd 6013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ)
14		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
15	10, 11, 14	fovcdmd 6013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)
16	13, 15	rexaddd 9841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
17	16	breq2d 4012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
18	17	ralbidva 2473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
19	18	anbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
20	19	2ralbidva 2499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
22		ressxr 7991	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
23		fss 5373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
24	21, 22, 23	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
25	24	biantrurd 305	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
26	20, 25	bitr3d 190	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
27	26	pm5.32da 452	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))))
28		ancom 266	. . . 4 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))) ↔ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
29	27, 28	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
30		ismet 13511	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))))
31		isxmet 13512	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
32	31	anbi1d 465	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ↔ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
33	29, 30, 32	3bitr4d 220	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
34	4, 9, 33	pm5.21nii 704	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  Vcvv 2737   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4000   × cxp 4621  dom cdm 4623  Rel wrel 4628  ⟶wf 5208  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℝcr 7801  0cc0 7802   + caddc 7805  ℝ^*cxr 7981   ≤ cle 7983   +_𝑒 cxad 9757  ∞Metcxmet 13147  Metcmet 13148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899  ax-rnegex 7911

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-xadd 9760  df-xmet 13155  df-met 13156

This theorem is referenced by:  metxmet  13522  metres2  13548  xmetresbl  13607  bdmet  13669