Theorem mulexp 10947

Description: Nonnegative integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mulexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem mulexp

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6060	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑0))
2		oveq2 6060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
3		oveq2 6060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑0))
4	2, 3	oveq12d 6070	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))
5	1, 4	eqeq12d 2249	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0))))
6	5	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))))
7		oveq2 6060	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘))
8		oveq2 6060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
9		oveq2 6060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑘))
10	8, 9	oveq12d 6070	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)))
11	7, 10	eqeq12d 2249	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘))))
12	11	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)))))
13		oveq2 6060	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)))
14		oveq2 6060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
15		oveq2 6060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
16	14, 15	oveq12d 6070	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
17	13, 16	eqeq12d 2249	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
18	17	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
19		oveq2 6060	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁))
20		oveq2 6060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
21		oveq2 6060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑁))
22	20, 21	oveq12d 6070	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
23	19, 22	eqeq12d 2249	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))))
24	23	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))))
25		mulcl 8259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
26		exp0 10912	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = 1)
27	25, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = 1)
28		exp0 10912	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
29		exp0 10912	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
30	28, 29	oveqan12d 6071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)) = (1 · 1))
31		1t1e1 9395	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
32	30, 31	eqtrdi 2283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)) = 1)
33	27, 32	eqtr4d 2270	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))
34		expp1 10915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
35	25, 34	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
36	35	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘))) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
37		oveq1 6059	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)))
38		expcl 10926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
39		expcl 10926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
40	38, 39	anim12i 338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ))
41	40	anandirs 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ))
42		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
43		mul4 8410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) · ((𝐵↑𝑘) · 𝐵)))
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) · ((𝐵↑𝑘) · 𝐵)))
45		expp1 10915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
46	45	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
47		expp1 10915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
48	47	adantll 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
49	46, 48	oveq12d 6070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) · ((𝐵↑𝑘) · 𝐵)))
50	44, 49	eqtr4d 2270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
51	37, 50	sylan9eqr 2289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘))) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
52	36, 51	eqtrd 2267	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘))) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
53	52	exp31 364	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
54	53	com12 30	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
55	54	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
56	6, 12, 18, 24, 33, 55	nn0ind 9698	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))))
57	56	expdcom 1488	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))))
58	57	3imp 1220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132  1c1 8133   + caddc 8135   · cmul 8137  ℕ₀cn0 9501  ↑cexp 10907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-seqfrec 10817  df-exp 10908

This theorem is referenced by:  mulexpzap  10948  expdivap  10959  expubnd  10965  sqmul  10970  mulexpd  11058  efi4p  12411