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Theorem demoivreALT 12340

Description: Alternate proof of demoivre 12339. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0))
2		oveq1 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
3	2	fveq2d 5643	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘(0 · 𝐴)))
4	2	fveq2d 5643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘(0 · 𝐴)))
5	4	oveq2d 6034	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘(0 · 𝐴))))
6	3, 5	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))))
7	1, 6	eqeq12d 2246	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴))))))
8	7	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))))))
9		oveq2 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘))
10		oveq1 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑘 · 𝐴))
11	10	fveq2d 5643	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘(𝑘 · 𝐴)))
12	10	fveq2d 5643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘(𝑘 · 𝐴)))
13	12	oveq2d 6034	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
14	11, 13	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
15	9, 14	eqeq12d 2246	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
17		oveq2 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)))
18		oveq1 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))
19	18	fveq2d 5643	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))
20	18	fveq2d 5643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))
21	20	oveq2d 6034	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴))))
22	19, 21	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
23	17, 22	eqeq12d 2246	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴))))))
24	23	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))))
25		oveq2 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁))
26		oveq1 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
27	26	fveq2d 5643	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘(𝑁 · 𝐴)))
28	26	fveq2d 5643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
29	28	oveq2d 6034	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴))))
30	27, 29	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
31	25, 30	eqeq12d 2246	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴))))))
32	31	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))))
33		coscl 12273	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
34		ax-icn 8127	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
35		sincl 12272	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
36		mulcl 8159	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
38		addcl 8157	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
40		exp0 10806	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = 1)
41	39, 40	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = 1)
42		mul02 8566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
43	42	fveq2d 5643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(0 · 𝐴)) = (cos‘0))
44		cos0 12296	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘0) = 1
45	43, 44	eqtrdi 2280	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(0 · 𝐴)) = 1)
46	42	fveq2d 5643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(0 · 𝐴)) = (sin‘0))
47		sin0 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘0) = 0
48	46, 47	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(0 · 𝐴)) = 0)
49	48	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘(0 · 𝐴))) = (i · 0))
50	34	mul01i 8570	. . . . . . 7 ⊢ (i · 0) = 0
51	49, 50	eqtrdi 2280	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘(0 · 𝐴))) = 0)
52	45, 51	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))) = (1 + 0))
53		ax-1cn 8125	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
54	53	addridi 8321	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
55	52, 54	eqtrdi 2280	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))) = 1)
56	41, 55	eqtr4d 2267	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))))
57		expp1 10809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
60	59	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
61		oveq1 6025	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
62	61	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
63		nn0cn 9412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℂ)
64		mulcl 8159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ)
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ)
66		sinadd 12302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
69		sincl 12272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71		mulcom 8161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)))
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)))
73	72	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
74		mulcl 8159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
76		coscl 12273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
79		mulcl 8159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
81		addcom 8316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
84	83	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))) = (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
85	84	oveq2d 6034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
86		adddir 8170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
87		mullid 8177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
88	87	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
89	88	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
90	86, 89	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
91	63, 90	syl3an1 1306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
92	53, 91	mp3an2 1361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
93	92	fveq2d 5643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) = (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))
94	92	fveq2d 5643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) = (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))
95	94	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴))) = (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))))
96	93, 95	oveq12d 6036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))))
97		mulcl 8159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ → (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ))
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ))
102		muladd 8563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ))
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ))
106		mul4 8311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)) → ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = ((i · i) · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
107		ixi 8763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i · i) = -1
108	107	oveq1i 6028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
109	106, 108	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)) → ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
111	110	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
112	111	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
113		mul12 8308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) = (i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
114	34, 113	mp3an2 1361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) = (i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) = (i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
116		mul12 8308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
117	34, 116	mp3an2 1361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
119	115, 118	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
120		adddi 8164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
121	34, 120	mp3an1 1360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
123	119, 122	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
124	123	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
125	103, 112, 124	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
126		mulcl 8159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
128		mulm1 8579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ → (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
130	129	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
131	130	oveq1d 6033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
132		mulcl 8159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
134		negsub 8427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
136	135	oveq1d 6033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
137	125, 131, 136	3eqtrd 2268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
138		cosadd 12303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
140		mulcom 8161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
142	141	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
143	139, 142	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
144	143	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
145	137, 144	eqtr4d 2267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
147	146	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
148	60, 62, 147	3eqtrd 2268	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
149	148	exp31 364	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (𝐴 ∈ ℂ → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))))
150	149	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))))
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9594	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴))))))
152	151	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ∧ w3a 1004 = wceq 1397 ∈ wcel 2202 ‘cfv 5326 (class class class)co 6018 ℂcc 8030 0cc0 8032 1c1 8033 ici 8034 + caddc 8035 · cmul 8037 − cmin 8350 -cneg 8351 ℕ₀cn0 9402 ↑cexp 10801 sincsin 12210 cosccos 12211

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151 ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-disj 4065 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-isom 5335 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-irdg 6536 df-frec 6557 df-1o 6582 df-oadd 6586 df-er 6702 df-en 6910 df-dom 6911 df-fin 6912 df-sup 7183 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-ico 10129 df-fz 10244 df-fzo 10378 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-fac 10989 df-bc 11011 df-ihash 11039 df-cj 11407 df-re 11408 df-im 11409 df-rsqrt 11563 df-abs 11564 df-clim 11844 df-sumdc 11919 df-ef 12214 df-sin 12216 df-cos 12217

This theorem is referenced by: (None)

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