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Theorem demoivreALT 11794
Description: Alternate proof of demoivre 11793. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
demoivreALT ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))))

Proof of Theorem demoivreALT
Dummy variables π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5896 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑0))
2 oveq1 5895 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) = (0 Β· 𝐴))
32fveq2d 5531 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (cosβ€˜(0 Β· 𝐴)))
42fveq2d 5531 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)))
54oveq2d 5904 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))) = (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴))))
63, 5oveq12d 5906 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) = ((cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)))))
71, 6eqeq12d 2202 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) ↔ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑0) = ((cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴))))))
87imbi2d 230 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑0) = ((cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)))))))
9 oveq2 5896 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜))
10 oveq1 5895 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) = (π‘˜ Β· 𝐴))
1110fveq2d 5531 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))
1210fveq2d 5531 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))
1312oveq2d 5904 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))) = (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))
1411, 13oveq12d 5906 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
159, 14eqeq12d 2202 . . . 4 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) ↔ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
1615imbi2d 230 . . 3 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
17 oveq2 5896 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)))
18 oveq1 5895 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) = ((π‘˜ + 1) Β· 𝐴))
1918fveq2d 5531 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))
2018fveq2d 5531 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))
2120oveq2d 5904 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))) = (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴))))
2219, 21oveq12d 5906 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))
2317, 22eqeq12d 2202 . . . 4 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) ↔ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴))))))
2423imbi2d 230 . . 3 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))))
25 oveq2 5896 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁))
26 oveq1 5895 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑁 Β· 𝐴))
2726fveq2d 5531 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))
2826fveq2d 5531 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))
2928oveq2d 5904 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))) = (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴))))
3027, 29oveq12d 5906 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))))
3125, 30eqeq12d 2202 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) ↔ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴))))))
3231imbi2d 230 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))))))
33 coscl 11728 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
34 ax-icn 7919 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
35 sincl 11727 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
36 mulcl 7951 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
3734, 35, 36sylancr 414 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
38 addcl 7949 . . . . . 6 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
3933, 37, 38syl2anc 411 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
40 exp0 10537 . . . . 5 (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑0) = 1)
4139, 40syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑0) = 1)
42 mul02 8357 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (0 Β· 𝐴) = 0)
4342fveq2d 5531 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) = (cosβ€˜0))
44 cos0 11751 . . . . . . 7 (cosβ€˜0) = 1
4543, 44eqtrdi 2236 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) = 1)
4642fveq2d 5531 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)) = (sinβ€˜0))
47 sin0 11750 . . . . . . . . 9 (sinβ€˜0) = 0
4846, 47eqtrdi 2236 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)) = 0)
4948oveq2d 5904 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴))) = (i Β· 0))
5034mul01i 8361 . . . . . . 7 (i Β· 0) = 0
5149, 50eqtrdi 2236 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴))) = 0)
5245, 51oveq12d 5906 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)))) = (1 + 0))
53 ax-1cn 7917 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
5453addid1i 8112 . . . . 5 (1 + 0) = 1
5552, 54eqtrdi 2236 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)))) = 1)
5641, 55eqtr4d 2223 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑0) = ((cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)))))
57 expp1 10540 . . . . . . . . 9 ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
5839, 57sylan 283 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
5958ancoms 268 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
6059adantr 276 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
61 oveq1 5895 . . . . . . 7 ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
6261adantl 277 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
63 nn0cn 9199 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
64 mulcl 7951 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ β„‚)
6563, 64sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ β„‚)
66 sinadd 11757 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) = (((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
6765, 66sylancom 420 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) = (((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
6833adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
69 sincl 11727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
7065, 69syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
71 mulcom 7953 . . . . . . . . . . . . 13 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) = ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)))
7268, 70, 71syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) = ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)))
7372oveq1d 5903 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) + ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) = (((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
74 mulcl 7951 . . . . . . . . . . . . 13 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
7568, 70, 74syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
76 coscl 11728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
7765, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
7835adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
79 mulcl 7951 . . . . . . . . . . . . 13 (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
8077, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
81 addcom 8107 . . . . . . . . . . . 12 ((((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) + ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
8275, 80, 81syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) + ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
8367, 73, 823eqtr2d 2226 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
8483oveq2d 5904 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))) = (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
8584oveq2d 5904 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)))) = ((cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
86 adddir 7961 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝐴) = ((π‘˜ Β· 𝐴) + (1 Β· 𝐴)))
87 mullid 7968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
8887oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((π‘˜ Β· 𝐴) + (1 Β· 𝐴)) = ((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))
89883ad2ant3 1021 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ Β· 𝐴) + (1 Β· 𝐴)) = ((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))
9086, 89eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝐴) = ((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))
9163, 90syl3an1 1281 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝐴) = ((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))
9253, 91mp3an2 1335 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝐴) = ((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))
9392fveq2d 5531 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) = (cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)))
9492fveq2d 5531 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) = (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)))
9594oveq2d 5904 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴))) = (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))))
9693, 95oveq12d 5906 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))) = ((cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)))))
97 mulcl 7951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
9834, 97mpan 424 . . . . . . . . . . . . 13 ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
9965, 69, 983syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
10033, 37jca 306 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚))
101100adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚))
102 muladd 8354 . . . . . . . . . . . 12 ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
10377, 99, 101, 102syl21anc 1247 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
10478, 34jctil 312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚))
10570, 34jctil 312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚))
106 mul4 8102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) ∧ (i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚)) β†’ ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = ((i Β· i) Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
107 ixi 8553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i Β· i) = -1
108107oveq1i 5898 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i Β· i) Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))
109106, 108eqtrdi 2236 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) ∧ (i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚)) β†’ ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
110104, 105, 109syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
111110oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
112111oveq1d 5903 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
113 mul12 8099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) = (i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
11434, 113mp3an2 1335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) = (i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
11577, 78, 114syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) = (i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
116 mul12 8099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
11734, 116mp3an2 1335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
11868, 70, 117syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
119115, 118oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = ((i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) + (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
120 adddi 7956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = ((i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) + (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
12134, 120mp3an1 1334 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = ((i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) + (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
12280, 75, 121syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = ((i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) + (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
123119, 122eqtr4d 2223 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
124123oveq2d 5904 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
125103, 112, 1243eqtrd 2224 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
126 mulcl 7951 . . . . . . . . . . . . . 14 (((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
12778, 70, 126syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
128 mulm1 8370 . . . . . . . . . . . . 13 (((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚ β†’ (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))
129127, 128syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))
130129oveq2d 5904 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
131130oveq1d 5903 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
132 mulcl 7951 . . . . . . . . . . . . 13 (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
13377, 68, 132syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
134 negsub 8218 . . . . . . . . . . . 12 ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
135133, 127, 134syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
136135oveq1d 5903 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
137125, 131, 1363eqtrd 2224 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
138 cosadd 11758 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
13965, 138sylancom 420 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
140 mulcom 7953 . . . . . . . . . . . . 13 (((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))
14170, 78, 140syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))
142141oveq2d 5904 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
143139, 142eqtrd 2220 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
144143oveq1d 5903 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
145137, 144eqtr4d 2223 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
14685, 96, 1453eqtr4rd 2231 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))
147146adantr 276 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))
14860, 62, 1473eqtrd 2224 . . . . 5 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))
149148exp31 364 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))))
150149a2d 26 . . 3 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))))
1518, 16, 24, 32, 56, 150nn0ind 9380 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴))))))
152151impcom 125 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„‚cc 7822  0cc0 7824  1c1 7825  ici 7826   + caddc 7827   Β· cmul 7829   βˆ’ cmin 8141  -cneg 8142  β„•0cn0 9189  β†‘cexp 10532  sincsin 11665  cosccos 11666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-sup 6996  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-ico 9907  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-fac 10719  df-bc 10741  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375  df-ef 11669  df-sin 11671  df-cos 11672
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