ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recextlem1 GIF version

Theorem recextlem1 8621
Description: Lemma for recexap 8623. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
recextlem1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))

Proof of Theorem recextlem1
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ax-icn 7919 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
3 mulcl 7951 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
42, 3mpan 424 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
54adantl 277 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 subcl 8169 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
74, 6sylan2 286 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
81, 5, 7adddird 7996 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) + ((i ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))))
91, 1, 5subdid 8384 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต))))
105, 1, 5subdid 8384 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = (((i ยท ๐ต) ยท ๐ด) โˆ’ ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต))))
11 mulcom 7953 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) ยท ๐ด))
124, 11sylan2 286 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) ยท ๐ด))
13 ixi 8553 . . . . . . . . . 10 (i ยท i) = -1
1413oveq1i 5898 . . . . . . . . 9 ((i ยท i) ยท (๐ต ยท ๐ต)) = (-1 ยท (๐ต ยท ๐ต))
15 mulcl 7951 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1615mulm1d 8380 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท (๐ต ยท ๐ต)) = -(๐ต ยท ๐ต))
1714, 16eqtr2id 2233 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) = ((i ยท i) ยท (๐ต ยท ๐ต)))
18 mul4 8102 . . . . . . . . 9 (((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐ต ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
192, 2, 18mpanl12 436 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐ต ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
2017, 19eqtrd 2220 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
2120anidms 397 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
2221adantl 277 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
2312, 22oveq12d 5906 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)) = (((i ยท ๐ต) ยท ๐ด) โˆ’ ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต))))
2410, 23eqtr4d 2223 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)))
259, 24oveq12d 5906 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) + ((i ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))) = (((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต))) + ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต))))
26 mulcl 7951 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2726anidms 397 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2827adantr 276 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
29 mulcl 7951 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
304, 29sylan2 286 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3115negcld 8268 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3231anidms 397 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3332adantl 277 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3428, 30, 33npncand 8305 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต))) + ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)))
3515anidms 397 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
36 subneg 8219 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
3727, 35, 36syl2an 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
3834, 37eqtrd 2220 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต))) + ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
398, 25, 383eqtrd 2224 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  1c1 7825  ici 7826   + caddc 7827   ยท cmul 7829   โˆ’ cmin 8141  -cneg 8142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8143  df-neg 8144
This theorem is referenced by:  recexap  8623
  Copyright terms: Public domain W3C validator