Theorem recextlem1 8611

Description: Lemma for recexap 8613. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
recextlem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))

Proof of Theorem recextlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 7909	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		mulcl 7941	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		subcl 8159	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7	4, 6	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8	1, 5, 7	adddird 7986	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) + ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵)))))
9	1, 1, 5	subdid 8374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))))
10	5, 1, 5	subdid 8374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = (((i · 𝐵) · 𝐴) − ((i · 𝐵) · (i · 𝐵))))
11		mulcom 7943	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · 𝐴))
12	4, 11	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · 𝐴))
13		ixi 8543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · i) = -1
14	13	oveq1i 5888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = (-1 · (𝐵 · 𝐵))
15		mulcl 7941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
16	15	mulm1d 8370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1 · (𝐵 · 𝐵)) = -(𝐵 · 𝐵))
17	14, 16	eqtr2id 2223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)))
18		mul4 8092	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
19	2, 2, 18	mpanl12 436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
21	20	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
22	21	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
23	12, 22	oveq12d 5896	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵)) = (((i · 𝐵) · 𝐴) − ((i · 𝐵) · (i · 𝐵))))
24	10, 23	eqtr4d 2213	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵)))
25	9, 24	oveq12d 5896	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) + ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵)))) = (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))))
26		mulcl 7941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
27	26	anidms 397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
28	27	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
29		mulcl 7941	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
30	4, 29	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
31	15	negcld 8258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
32	31	anidms 397	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
34	28, 30, 33	npncand 8295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)))
35	15	anidms 397	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
36		subneg 8209	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
37	27, 35, 36	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
38	34, 37	eqtrd 2210	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
39	8, 25, 38	3eqtrd 2214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5878  ℂcc 7812  1c1 7815  ici 7816   + caddc 7817   · cmul 7819   − cmin 8131  -cneg 8132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-sub 8133  df-neg 8134

This theorem is referenced by:  recexap  8613