Theorem recextlem1 8094

Description: Lemma for recexap 8096. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
recextlem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))

Proof of Theorem recextlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 7419	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		mulcl 7448	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 415	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	adantl 271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		subcl 7660	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7	4, 6	sylan2 280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8	1, 5, 7	adddird 7492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) + ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵)))))
9	1, 1, 5	subdid 7871	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))))
10	5, 1, 5	subdid 7871	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = (((i · 𝐵) · 𝐴) − ((i · 𝐵) · (i · 𝐵))))
11		mulcom 7450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · 𝐴))
12	4, 11	sylan2 280	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · 𝐴))
13		ixi 8036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · i) = -1
14	13	oveq1i 5644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = (-1 · (𝐵 · 𝐵))
15		mulcl 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
16	15	mulm1d 7867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1 · (𝐵 · 𝐵)) = -(𝐵 · 𝐵))
17	14, 16	syl5req 2133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)))
18		mul4 7593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
19	2, 2, 18	mpanl12 427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
21	20	anidms 389	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
22	21	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
23	12, 22	oveq12d 5652	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵)) = (((i · 𝐵) · 𝐴) − ((i · 𝐵) · (i · 𝐵))))
24	10, 23	eqtr4d 2123	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵)))
25	9, 24	oveq12d 5652	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) + ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵)))) = (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))))
26		mulcl 7448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
27	26	anidms 389	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
28	27	adantr 270	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
29		mulcl 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
30	4, 29	sylan2 280	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
31	15	negcld 7759	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
32	31	anidms 389	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	adantl 271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
34	28, 30, 33	npncand 7796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)))
35	15	anidms 389	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
36		subneg 7710	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
37	27, 35, 36	syl2an 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
38	34, 37	eqtrd 2120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
39	8, 25, 38	3eqtrd 2124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  (class class class)co 5634  ℂcc 7327  1c1 7330  ici 7331   + caddc 7332   · cmul 7334   − cmin 7632  -cneg 7633

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-setind 4343  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-sub 7634  df-neg 7635

This theorem is referenced by:  recexap  8096