Theorem recextlem1 8569

Description: Lemma for recexap 8571. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
recextlem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))

Proof of Theorem recextlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 7869	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		mulcl 7901	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 422	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		subcl 8118	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7	4, 6	sylan2 284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8	1, 5, 7	adddird 7945	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) + ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵)))))
9	1, 1, 5	subdid 8333	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))))
10	5, 1, 5	subdid 8333	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = (((i · 𝐵) · 𝐴) − ((i · 𝐵) · (i · 𝐵))))
11		mulcom 7903	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · 𝐴))
12	4, 11	sylan2 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · 𝐴))
13		ixi 8502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · i) = -1
14	13	oveq1i 5863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = (-1 · (𝐵 · 𝐵))
15		mulcl 7901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
16	15	mulm1d 8329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1 · (𝐵 · 𝐵)) = -(𝐵 · 𝐵))
17	14, 16	eqtr2id 2216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)))
18		mul4 8051	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
19	2, 2, 18	mpanl12 434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
21	20	anidms 395	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
22	21	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
23	12, 22	oveq12d 5871	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵)) = (((i · 𝐵) · 𝐴) − ((i · 𝐵) · (i · 𝐵))))
24	10, 23	eqtr4d 2206	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵)))
25	9, 24	oveq12d 5871	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) + ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵)))) = (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))))
26		mulcl 7901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
27	26	anidms 395	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
28	27	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
29		mulcl 7901	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
30	4, 29	sylan2 284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
31	15	negcld 8217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
32	31	anidms 395	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
34	28, 30, 33	npncand 8254	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)))
35	15	anidms 395	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
36		subneg 8168	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
37	27, 35, 36	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
38	34, 37	eqtrd 2203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
39	8, 25, 38	3eqtrd 2207	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  1c1 7775  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779   − cmin 8090  -cneg 8091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-neg 8093

This theorem is referenced by:  recexap  8571