ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  muladd11 GIF version

Theorem muladd11 8086
Description: A simple product of sums expansion. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
muladd11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))

Proof of Theorem muladd11
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 7901 . . . 4 1 ∈ ℂ
2 addcl 7933 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 424 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
4 adddi 7940 . . . 4 (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
51, 4mp3an2 1325 . . 3 (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
63, 5sylan 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
73mulridd 7971 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) · 1) = (1 + 𝐴))
87adantr 276 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 1) = (1 + 𝐴))
9 adddir 7945 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
101, 9mp3an1 1324 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
11 mullid 7952 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
1211adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
1312oveq1d 5887 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)) = (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))
1410, 13eqtrd 2210 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))
158, 14oveq12d 5890 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))
166, 15eqtrd 2210 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5872  cc 7806  1c1 7809   + caddc 7811   · cmul 7813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-mulcl 7906  ax-mulcom 7909  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-1rid 7915  ax-cnre 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-iota 5177  df-fv 5223  df-ov 5875
This theorem is referenced by:  muladd11r  8109  bernneq  10635
  Copyright terms: Public domain W3C validator