Theorem muladd11 7895

Description: A simple product of sums expansion. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
muladd11	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))

Proof of Theorem muladd11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7713	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		addcl 7745	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 420	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
4		adddi 7752	. . . 4 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
5	1, 4	mp3an2 1303	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
6	3, 5	sylan 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
7	3	mulid1d 7783	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) · 1) = (1 + 𝐴))
8	7	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 1) = (1 + 𝐴))
9		adddir 7757	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
10	1, 9	mp3an1 1302	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
11		mulid2 7764	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
12	11	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
13	12	oveq1d 5789	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)) = (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))
14	10, 13	eqtrd 2172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))
15	8, 14	oveq12d 5792	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))
16	6, 15	eqtrd 2172	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-mulcl 7718  ax-mulcom 7721  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-1rid 7727  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777

This theorem is referenced by:  muladd11r  7918  bernneq  10412