Theorem divmuldivap 8733

Description: Multiplication of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divmuldivap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem divmuldivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 984	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)))
2		3anass 984	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)))
3		divclap 8699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
4		divclap 8699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
5		mulcl 8001	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
7		mulcl 8001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
8	7	ad2ant2r 509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
9	8	3adantr1 1158	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
10	9	3adantl1 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
11		mulap0 8675	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) # 0)
12	11	3adantr1 1158	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) # 0)
13	12	3adantl1 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) # 0)
14		divcanap3 8719	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) # 0) → (((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)))
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)))
16		simp2 1000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	16, 3	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ))
18		simp2 1000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
19	18, 4	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ))
20		mul4 8153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)) → ((𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) · (𝐷 · (𝐵 / 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))))
21	17, 19, 20	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) · (𝐷 · (𝐵 / 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))))
22		divcanap2 8701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) = 𝐴)
23		divcanap2 8701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → (𝐷 · (𝐵 / 𝐷)) = 𝐵)
24	22, 23	oveqan12d 5938	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) · (𝐷 · (𝐵 / 𝐷))) = (𝐴 · 𝐵))
25	21, 24	eqtr3d 2228	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) = (𝐴 · 𝐵))
26	25	oveq1d 5934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
27	15, 26	eqtr3d 2228	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
28	1, 2, 27	syl2anbr 292	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
29	28	an4s 588	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874   · cmul 7879   # cap 8602   / cdiv 8693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694

This theorem is referenced by:  divdivdivap  8734  divcanap5  8735  divmul13ap  8736  divmul24ap  8737  divmuldivapi  8793  divmuldivapd  8853  qmulcl  9705  mulexpzap  10653  expaddzap  10657  sqdivap  10677