ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divmuldivap GIF version

Theorem divmuldivap 8671
Description: Multiplication of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divmuldivap (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ต) / (๐ถ ยท ๐ท)))

Proof of Theorem divmuldivap
StepHypRef Expression
1 3anass 982 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)))
2 3anass 982 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0) โ†” (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)))
3 divclap 8637 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โ†’ (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4 divclap 8637 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0) โ†’ (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
5 mulcl 7940 . . . . . 6 (((๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
63, 4, 5syl2an 289 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
7 mulcl 7940 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
87ad2ant2r 509 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
983adantr1 1156 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
1093adantl1 1153 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
11 mulap0 8613 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) # 0)
12113adantr1 1156 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) # 0)
13123adantl1 1153 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) # 0)
14 divcanap3 8657 . . . . 5 ((((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ท) # 0) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ท) ยท ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท))) / (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)))
156, 10, 13, 14syl3anc 1238 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ท) ยท ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท))) / (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)))
16 simp2 998 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1716, 3jca 306 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚))
18 simp2 998 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1918, 4jca 306 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚))
20 mul4 8091 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ถ ยท (๐ด / ๐ถ)) ยท (๐ท ยท (๐ต / ๐ท))) = ((๐ถ ยท ๐ท) ยท ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท))))
2117, 19, 20syl2an 289 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ ((๐ถ ยท (๐ด / ๐ถ)) ยท (๐ท ยท (๐ต / ๐ท))) = ((๐ถ ยท ๐ท) ยท ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท))))
22 divcanap2 8639 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โ†’ (๐ถ ยท (๐ด / ๐ถ)) = ๐ด)
23 divcanap2 8639 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0) โ†’ (๐ท ยท (๐ต / ๐ท)) = ๐ต)
2422, 23oveqan12d 5896 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ ((๐ถ ยท (๐ด / ๐ถ)) ยท (๐ท ยท (๐ต / ๐ท))) = (๐ด ยท ๐ต))
2521, 24eqtr3d 2212 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) ยท ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท))) = (๐ด ยท ๐ต))
2625oveq1d 5892 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ท) ยท ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท))) / (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ต) / (๐ถ ยท ๐ท)))
2715, 26eqtr3d 2212 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ต) / (๐ถ ยท ๐ท)))
281, 2, 27syl2anbr 292 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ต) / (๐ถ ยท ๐ท)))
2928an4s 588 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ต) / (๐ถ ยท ๐ท)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  0cc0 7813   ยท cmul 7818   # cap 8540   / cdiv 8631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632
This theorem is referenced by:  divdivdivap  8672  divcanap5  8673  divmul13ap  8674  divmul24ap  8675  divmuldivapi  8731  divmuldivapd  8791  qmulcl  9639  mulexpzap  10562  expaddzap  10566  sqdivap  10586
  Copyright terms: Public domain W3C validator