Theorem nfif 3419

Description: Bound-variable hypothesis builder for a conditional operator. (Contributed by NM, 16-Feb-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfif.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
nfif.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfif.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfif	⊢ Ⅎ𝑥if(𝜑, 𝐴, 𝐵)

Proof of Theorem nfif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfif.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → Ⅎ𝑥𝜑)
3		nfif.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → Ⅎ𝑥𝐴)
5		nfif.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → Ⅎ𝑥𝐵)
7	2, 4, 6	nfifd 3418	. 2 ⊢ (⊤ → Ⅎ𝑥if(𝜑, 𝐴, 𝐵))
8	7	mptru 1298	1 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝜑, 𝐴, 𝐵)

Syntax hints:  ⊤wtru 1290  Ⅎwnf 1394  Ⅎwnfc 2215  ifcif 3393

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-if 3394

This theorem is referenced by:  nfsum1  10745  nfsum  10746  isumrblem  10765  isummolem2a  10771  zisum  10774  fisum  10778  isumss  10783  isumss2  10785  fisumcvg2  10786  fsum3cvg2  10787