ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum3 GIF version

Theorem fsum3 10833
Description: The value of a sum over a nonempty finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum.1 (𝑘 = (𝐹𝑛) → 𝐵 = 𝐶)
fsum.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fsum.3 (𝜑𝐹:(1...𝑀)–1-1-onto𝐴)
fsum.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsum.5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑛) = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
fsum3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0)))‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑛)

Proof of Theorem fsum3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsum.1 . . 3 (𝑘 = (𝐹𝑛) → 𝐵 = 𝐶)
2 fsum.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fsum.3 . . 3 (𝜑𝐹:(1...𝑀)–1-1-onto𝐴)
4 fsum.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 fsum.5 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑛) = 𝐶)
61, 2, 3, 4, 5fisum 10832 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0)), ℂ)‘𝑀))
7 1zzd 8831 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
8 elnnuz 9109 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
98biimpri 132 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → 𝑥 ∈ ℕ)
10 fveq2 5318 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑥 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑥))
1110eleq1d 2157 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → ((𝐺𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐺𝑥) ∈ ℂ))
121, 2, 3, 4, 5fsumgcl 10831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑛) ∈ ℂ)
1312ad2antrr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑥𝑀) → ∀𝑛 ∈ (1...𝑀)(𝐺𝑛) ∈ ℂ)
14 1zzd 8831 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑥𝑀) → 1 ∈ ℤ)
152ad2antrr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑥𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
1615nnzd 8921 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑥𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 eluzelz 9082 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → 𝑥 ∈ ℤ)
1817ad2antlr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑥𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
1914, 16, 183jca 1124 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑥𝑀) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
20 eluzle 9085 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → 1 ≤ 𝑥)
2120ad2antlr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑥𝑀) → 1 ≤ 𝑥)
22 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑥𝑀) → 𝑥𝑀)
2321, 22jca 301 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑥𝑀) → (1 ≤ 𝑥𝑥𝑀))
24 elfz2 9485 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑀)))
2519, 23, 24sylanbrc 409 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑥𝑀) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
2611, 13, 25rspcdva 2728 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑥𝑀) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
27 0cnd 7535 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑥𝑀) → 0 ∈ ℂ)
282nnzd 8921 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
29 zdcle 8877 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑥𝑀)
3017, 28, 29syl2anr 285 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑥𝑀)
3126, 27, 30ifcldadc 3424 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑥𝑀, (𝐺𝑥), 0) ∈ ℂ)
32 breq1 3854 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝑛𝑀𝑥𝑀))
3332, 10ifbieq1d 3417 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥 → if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0) = if(𝑥𝑀, (𝐺𝑥), 0))
34 eqid 2089 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0))
3533, 34fvmptg 5393 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ if(𝑥𝑀, (𝐺𝑥), 0) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑀, (𝐺𝑥), 0))
369, 31, 35syl2an2 562 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑀, (𝐺𝑥), 0))
3736, 31eqeltrd 2165 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0))‘𝑥) ∈ ℂ)
387, 37iseqseq3 9956 . . 3 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0)), ℂ) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0))))
3938fveq1d 5320 . 2 (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0)), ℂ)‘𝑀) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0)))‘𝑀))
406, 39eqtrd 2121 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑀, (𝐺𝑛), 0)))‘𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  DECID wdc 781  w3a 925   = wceq 1290  wcel 1439  wral 2360  ifcif 3397   class class class wbr 3851  cmpt 3905  1-1-ontowf1o 5027  cfv 5028  (class class class)co 5666  cc 7402  0cc0 7404  1c1 7405   + caddc 7407  cle 7577  cn 8476  cz 8804  cuz 9073  ...cfz 9478  seqcseq4 9905  seqcseq 9906  Σcsu 10796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518  ax-caucvg 7519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-q 9159  df-rp 9189  df-fz 9479  df-fzo 9608  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-ihash 10238  df-cj 10330  df-re 10331  df-im 10332  df-rsqrt 10485  df-abs 10486  df-clim 10721  df-isum 10797
This theorem is referenced by:  fsumcl2lem  10846  fsummulc2  10896
  Copyright terms: Public domain W3C validator