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Theorem prodssdc 11611
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
prodss.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
prodssdc.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
prodssdc.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
prodssdc.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
prodss.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 1)
prodss.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
prodssdc.b (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
prodssdc (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑦   𝐡,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑦   𝐢,𝑗,𝑛,𝑦   𝑗,𝑀,π‘˜,𝑛,𝑦   πœ‘,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem prodssdc
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2187 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 prodssdc.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 prodssdc.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
4 prodss.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
5 prodss.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
64, 5sstrd 3177 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7 prodssdc.a . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
8 simpr 110 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9 eleq1w 2248 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘š β†’ (𝑗 ∈ 𝐡 ↔ π‘š ∈ 𝐡))
109dcbid 839 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘š β†’ (DECID 𝑗 ∈ 𝐡 ↔ DECID π‘š ∈ 𝐡))
11 prodssdc.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐡)
1211adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐡)
1310, 12, 8rspcdva 2858 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ DECID π‘š ∈ 𝐡)
14 exmiddc 837 . . . . . . . 8 (DECID π‘š ∈ 𝐡 β†’ (π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡))
1513, 14syl 14 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡))
16 iftrue 3551 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
1716adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
18 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1918ex 115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
2019adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
21 eldif 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
22 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 1)
23 ax-1cn 7918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ β„‚
2422, 23eqeltrdi 2278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2521, 24sylan2br 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2625expr 375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
27 eleq1w 2248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐴))
2827dcbid 839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = π‘˜ β†’ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID π‘˜ ∈ 𝐴))
297adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
305sselda 3167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3128, 29, 30rspcdva 2858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ DECID π‘˜ ∈ 𝐴)
32 exmiddc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (DECID π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
3420, 26, 33mpjaod 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3534ralrimiva 2560 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚)
36 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ
3736nfel1 2340 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚
38 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ 𝐢 = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
3938eleq1d 2256 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
4037, 39rspc 2847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚ β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
4135, 40mpan9 281 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
4217, 41eqeltrd 2264 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
4342ex 115 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚))
44 iffalse 3554 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = 1)
4544, 23eqeltrdi 2278 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
4645a1i 9 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚))
4743, 46jaod 718 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚))
4847adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚))
4915, 48mpd 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
50 nfcv 2329 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘š
51 nfv 1538 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ π‘š ∈ 𝐡
52 nfcv 2329 . . . . . . . 8 β„²π‘˜1
5351, 36, 52nfif 3574 . . . . . . 7 β„²π‘˜if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)
54 eleq1w 2248 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↔ π‘š ∈ 𝐡))
5554, 38ifbieq1d 3568 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
56 eqid 2187 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))
5750, 53, 55, 56fvmptf 5621 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
588, 49, 57syl2anc 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
59 iftrue 3551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
6059adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
624sselda 3167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐡)
6362, 41syldan 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
64 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
6564fvmpts 5607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
6661, 63, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
6760, 66eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
6867ex 115 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
6968adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
70 iffalse 3554 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
7170adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
7271adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
73 eldif 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
7422ralrimiva 2560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1)
7536nfeq1 2339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1
7638eqeq1d 2196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐢 = 1 ↔ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1))
7775, 76rspc 2847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1 β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1))
7874, 77mpan9 281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1)
7973, 78sylan2br 288 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1)
8072, 79eqtr4d 2223 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
8180expr 375 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
82 eleq1w 2248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = π‘š β†’ (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ π‘š ∈ 𝐴))
8382dcbid 839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = π‘š β†’ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID π‘š ∈ 𝐴))
847adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
855sselda 3167 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8683, 84, 85rspcdva 2858 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ DECID π‘š ∈ 𝐴)
87 exmiddc 837 . . . . . . . . . . . 12 (DECID π‘š ∈ 𝐴 β†’ (π‘š ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
8886, 87syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
8969, 81, 88mpjaod 719 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
9089, 17eqtr4d 2223 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9190ex 115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
924ssneld 3169 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
9392imp 124 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)
9493, 70syl 14 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
9544adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = 1)
9694, 95eqtr4d 2223 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9796ex 115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
9891, 97jaod 718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
9998adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
10015, 99mpd 13 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
10158, 100eqtr4d 2223 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1))
10218fmpttd 5684 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
103102ffvelcdmda 5664 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
1041, 2, 3, 6, 7, 101, 103zproddc 11601 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)))))
105 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ π‘š ∈ 𝐡)
106 eqid 2187 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
107106fvmpts 5607 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ 𝐡 ∧ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
108105, 41, 107syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
109108ifeq1d 3563 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
110109ex 115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
111 iffalse 3554 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
112111, 44eqtr4d 2223 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
113112a1i 9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
114110, 113jaod 718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
115114adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
11615, 115mpd 13 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
11758, 116eqtr4d 2223 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1))
11834fmpttd 5684 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
119118ffvelcdmda 5664 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
1201, 2, 3, 5, 11, 117, 119zproddc 11601 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)))))
121104, 120eqtr4d 2223 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
12218ralrimiva 2560 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ β„‚)
123 prodfct 11609 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ β„‚ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)
124122, 123syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)
125 prodfct 11609 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
12635, 125syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
127121, 124, 1263eqtr3d 2228 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363  βˆƒwex 1502   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  βˆƒwrex 2466  β¦‹csb 3069   βˆ– cdif 3138   βŠ† wss 3141  ifcif 3546   class class class wbr 4015   ↦ cmpt 4076  β€˜cfv 5228  β„‚cc 7823  0cc0 7825  1c1 7826   Β· cmul 7830   # cap 8552  β„€cz 9267  β„€β‰₯cuz 9542  seqcseq 10459   ⇝ cli 11300  βˆcprod 11572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-proddc 11573
This theorem is referenced by:  fprodssdc  11612
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