Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodssdc GIF version

Theorem prodssdc 11468
 Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1 (𝜑𝐴𝐵)
prodss.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
prodssdc.3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
prodssdc.a (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
prodssdc.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodss.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 1)
prodss.5 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
prodssdc.b (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
Assertion
Ref Expression
prodssdc (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑛,𝑦   𝐶,𝑗,𝑛,𝑦   𝑗,𝑀,𝑘,𝑛,𝑦   𝜑,𝑗,𝑘,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodssdc
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2157 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 prodssdc.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 prodssdc.3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
4 prodss.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
5 prodss.5 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
64, 5sstrd 3138 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
7 prodssdc.a . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
8 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
9 eleq1w 2218 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐵𝑚𝐵))
109dcbid 824 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗𝐵DECID 𝑚𝐵))
11 prodssdc.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
1211adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
1310, 12, 8rspcdva 2821 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐵)
14 exmiddc 822 . . . . . . . 8 (DECID 𝑚𝐵 → (𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵))
1513, 14syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵))
16 iftrue 3510 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
1716adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
18 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1918ex 114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
2019adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
21 eldif 3111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴))
22 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 1)
23 ax-1cn 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
2422, 23eqeltrdi 2248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2521, 24sylan2br 286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2625expr 373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
27 eleq1w 2218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
2827dcbid 824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑘𝐴))
297adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐵) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
305sselda 3128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3128, 29, 30rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐵) → DECID 𝑘𝐴)
32 exmiddc 822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
3420, 26, 33mpjaod 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
3534ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
36 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
3736nfel1 2310 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
38 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
3938eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
4037, 39rspc 2810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝐵 → (∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
4135, 40mpan9 279 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
4217, 41eqeltrd 2234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
4342ex 114 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ))
44 iffalse 3513 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 1)
4544, 23eqeltrdi 2248 . . . . . . . . . 10 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
4645a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ))
4743, 46jaod 707 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ))
4847adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ))
4915, 48mpd 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
50 nfcv 2299 . . . . . . 7 𝑘𝑚
51 nfv 1508 . . . . . . . 8 𝑘 𝑚𝐵
52 nfcv 2299 . . . . . . . 8 𝑘1
5351, 36, 52nfif 3533 . . . . . . 7 𝑘if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)
54 eleq1w 2218 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐵𝑚𝐵))
5554, 38ifbieq1d 3527 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
56 eqid 2157 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
5750, 53, 55, 56fvmptf 5557 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
588, 49, 57syl2anc 409 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
59 iftrue 3510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
6059adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
61 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
624sselda 3128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
6362, 41syldan 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
64 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
6564fvmpts 5543 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6661, 63, 65syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6760, 66eqtrd 2190 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6867ex 114 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
6968adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
70 iffalse 3513 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
7170adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
7271adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
73 eldif 3111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴))
7422ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1)
7536nfeq1 2309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 = 1
7638eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 1 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1))
7775, 76rspc 2810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1 → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1))
7874, 77mpan9 279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1)
7973, 78sylan2br 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1)
8072, 79eqtr4d 2193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
8180expr 373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → (¬ 𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
82 eleq1w 2218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐴𝑚𝐴))
8382dcbid 824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑚𝐴))
847adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝐵) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
855sselda 3128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝐵) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
8683, 84, 85rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝐵) → DECID 𝑚𝐴)
87 exmiddc 822 . . . . . . . . . . . 12 (DECID 𝑚𝐴 → (𝑚𝐴 ∨ ¬ 𝑚𝐴))
8886, 87syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → (𝑚𝐴 ∨ ¬ 𝑚𝐴))
8969, 81, 88mpjaod 708 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
9089, 17eqtr4d 2193 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9190ex 114 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚𝐵 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
924ssneld 3130 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (¬ 𝑚𝐵 → ¬ 𝑚𝐴))
9392imp 123 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚𝐵) → ¬ 𝑚𝐴)
9493, 70syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
9544adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 1)
9694, 95eqtr4d 2193 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9796ex 114 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
9891, 97jaod 707 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
9998adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
10015, 99mpd 13 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
10158, 100eqtr4d 2193 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1))
10218fmpttd 5619 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
103102ffvelrnda 5599 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1041, 2, 3, 6, 7, 101, 103zproddc 11458 . . 3 (𝜑 → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))))
105 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → 𝑚𝐵)
106 eqid 2157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
107106fvmpts 5543 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝐵𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
108105, 41, 107syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
109108ifeq1d 3522 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
110109ex 114 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
111 iffalse 3513 . . . . . . . . . 10 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
112111, 44eqtr4d 2193 . . . . . . . . 9 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
113112a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
114110, 113jaod 707 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
115114adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
11615, 115mpd 13 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
11758, 116eqtr4d 2193 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1))
11834fmpttd 5619 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
119118ffvelrnda 5599 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1201, 2, 3, 5, 11, 117, 119zproddc 11458 . . 3 (𝜑 → ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))))
121104, 120eqtr4d 2193 . 2 (𝜑 → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
12218ralrimiva 2530 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
123 prodfct 11466 . . 3 (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐶)
124122, 123syl 14 . 2 (𝜑 → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐶)
125 prodfct 11466 . . 3 (∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐵 𝐶)
12635, 125syl 14 . 2 (𝜑 → ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐵 𝐶)
127121, 124, 1263eqtr3d 2198 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335  ∃wex 1472   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ∃wrex 2436  ⦋csb 3031   ∖ cdif 3099   ⊆ wss 3102  ifcif 3505   class class class wbr 3965   ↦ cmpt 4025  ‘cfv 5167  ℂcc 7713  0cc0 7715  1c1 7716   · cmul 7720   # cap 8439  ℤcz 9150  ℤ≥cuz 9422  seqcseq 10326   ⇝ cli 11157  ∏cprod 11429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-proddc 11430 This theorem is referenced by:  fprodssdc  11469
 Copyright terms: Public domain W3C validator