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Theorem prodssdc 11596
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
prodss.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
prodssdc.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
prodssdc.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
prodssdc.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
prodss.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 1)
prodss.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
prodssdc.b (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
prodssdc (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑦   𝐡,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑦   𝐢,𝑗,𝑛,𝑦   𝑗,𝑀,π‘˜,𝑛,𝑦   πœ‘,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem prodssdc
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 prodssdc.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 prodssdc.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
4 prodss.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
5 prodss.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
64, 5sstrd 3165 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7 prodssdc.a . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
8 simpr 110 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9 eleq1w 2238 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘š β†’ (𝑗 ∈ 𝐡 ↔ π‘š ∈ 𝐡))
109dcbid 838 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘š β†’ (DECID 𝑗 ∈ 𝐡 ↔ DECID π‘š ∈ 𝐡))
11 prodssdc.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐡)
1211adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐡)
1310, 12, 8rspcdva 2846 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ DECID π‘š ∈ 𝐡)
14 exmiddc 836 . . . . . . . 8 (DECID π‘š ∈ 𝐡 β†’ (π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡))
1513, 14syl 14 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡))
16 iftrue 3539 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
1716adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
18 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1918ex 115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
2019adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
21 eldif 3138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
22 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 1)
23 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ β„‚
2422, 23eqeltrdi 2268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2521, 24sylan2br 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2625expr 375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
27 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐴))
2827dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = π‘˜ β†’ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID π‘˜ ∈ 𝐴))
297adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
305sselda 3155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3128, 29, 30rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ DECID π‘˜ ∈ 𝐴)
32 exmiddc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (DECID π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
3420, 26, 33mpjaod 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3534ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚)
36 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ
3736nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚
38 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ 𝐢 = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
3938eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
4037, 39rspc 2835 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚ β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
4135, 40mpan9 281 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
4217, 41eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
4342ex 115 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚))
44 iffalse 3542 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = 1)
4544, 23eqeltrdi 2268 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
4645a1i 9 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚))
4743, 46jaod 717 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚))
4847adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚))
4915, 48mpd 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
50 nfcv 2319 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘š
51 nfv 1528 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ π‘š ∈ 𝐡
52 nfcv 2319 . . . . . . . 8 β„²π‘˜1
5351, 36, 52nfif 3562 . . . . . . 7 β„²π‘˜if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)
54 eleq1w 2238 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↔ π‘š ∈ 𝐡))
5554, 38ifbieq1d 3556 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
56 eqid 2177 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))
5750, 53, 55, 56fvmptf 5608 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
588, 49, 57syl2anc 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
59 iftrue 3539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
6059adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
624sselda 3155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐡)
6362, 41syldan 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
64 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
6564fvmpts 5594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
6661, 63, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
6760, 66eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
6867ex 115 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
6968adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
70 iffalse 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
7170adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
7271adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
73 eldif 3138 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
7422ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1)
7536nfeq1 2329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1
7638eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐢 = 1 ↔ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1))
7775, 76rspc 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1 β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1))
7874, 77mpan9 281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1)
7973, 78sylan2br 288 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1)
8072, 79eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
8180expr 375 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
82 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = π‘š β†’ (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ π‘š ∈ 𝐴))
8382dcbid 838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = π‘š β†’ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID π‘š ∈ 𝐴))
847adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
855sselda 3155 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8683, 84, 85rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ DECID π‘š ∈ 𝐴)
87 exmiddc 836 . . . . . . . . . . . 12 (DECID π‘š ∈ 𝐴 β†’ (π‘š ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
8886, 87syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
8969, 81, 88mpjaod 718 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
9089, 17eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9190ex 115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
924ssneld 3157 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
9392imp 124 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)
9493, 70syl 14 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
9544adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = 1)
9694, 95eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9796ex 115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
9891, 97jaod 717 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
9998adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
10015, 99mpd 13 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
10158, 100eqtr4d 2213 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1))
10218fmpttd 5671 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
103102ffvelcdmda 5651 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
1041, 2, 3, 6, 7, 101, 103zproddc 11586 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)))))
105 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ π‘š ∈ 𝐡)
106 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
107106fvmpts 5594 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ 𝐡 ∧ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
108105, 41, 107syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
109108ifeq1d 3551 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
110109ex 115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
111 iffalse 3542 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
112111, 44eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
113112a1i 9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
114110, 113jaod 717 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
115114adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘š ∈ 𝐡 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)))
11615, 115mpd 13 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
11758, 116eqtr4d 2213 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1))
11834fmpttd 5671 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
119118ffvelcdmda 5651 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
1201, 2, 3, 5, 11, 117, 119zproddc 11586 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)))))
121104, 120eqtr4d 2213 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
12218ralrimiva 2550 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ β„‚)
123 prodfct 11594 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ β„‚ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)
124122, 123syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)
125 prodfct 11594 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
12635, 125syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
127121, 124, 1263eqtr3d 2218 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  β¦‹csb 3057   βˆ– cdif 3126   βŠ† wss 3129  ifcif 3534   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064  β€˜cfv 5216  β„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   Β· cmul 7815   # cap 8537  β„€cz 9252  β„€β‰₯cuz 9527  seqcseq 10444   ⇝ cli 11285  βˆcprod 11557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-proddc 11558
This theorem is referenced by:  fprodssdc  11597
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