ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodssdc GIF version

Theorem prodssdc 11592
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1 (𝜑𝐴𝐵)
prodss.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
prodssdc.3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
prodssdc.a (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
prodssdc.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodss.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 1)
prodss.5 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
prodssdc.b (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
Assertion
Ref Expression
prodssdc (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑛,𝑦   𝐶,𝑗,𝑛,𝑦   𝑗,𝑀,𝑘,𝑛,𝑦   𝜑,𝑗,𝑘,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodssdc
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 prodssdc.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 prodssdc.3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
4 prodss.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
5 prodss.5 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
64, 5sstrd 3165 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
7 prodssdc.a . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
8 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
9 eleq1w 2238 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐵𝑚𝐵))
109dcbid 838 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗𝐵DECID 𝑚𝐵))
11 prodssdc.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
1211adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
1310, 12, 8rspcdva 2846 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐵)
14 exmiddc 836 . . . . . . . 8 (DECID 𝑚𝐵 → (𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵))
1513, 14syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵))
16 iftrue 3539 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
1716adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
18 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1918ex 115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
2019adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
21 eldif 3138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴))
22 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 1)
23 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
2422, 23eqeltrdi 2268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2521, 24sylan2br 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2625expr 375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
27 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
2827dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑘𝐴))
297adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐵) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
305sselda 3155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3128, 29, 30rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐵) → DECID 𝑘𝐴)
32 exmiddc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
3420, 26, 33mpjaod 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
3534ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
36 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
3736nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
38 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
3938eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
4037, 39rspc 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝐵 → (∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
4135, 40mpan9 281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
4217, 41eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
4342ex 115 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ))
44 iffalse 3542 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 1)
4544, 23eqeltrdi 2268 . . . . . . . . . 10 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
4645a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ))
4743, 46jaod 717 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ))
4847adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ))
4915, 48mpd 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
50 nfcv 2319 . . . . . . 7 𝑘𝑚
51 nfv 1528 . . . . . . . 8 𝑘 𝑚𝐵
52 nfcv 2319 . . . . . . . 8 𝑘1
5351, 36, 52nfif 3562 . . . . . . 7 𝑘if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)
54 eleq1w 2238 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐵𝑚𝐵))
5554, 38ifbieq1d 3556 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
56 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
5750, 53, 55, 56fvmptf 5608 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
588, 49, 57syl2anc 411 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
59 iftrue 3539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
6059adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
624sselda 3155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
6362, 41syldan 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
64 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
6564fvmpts 5594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6661, 63, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6760, 66eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6867ex 115 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
6968adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
70 iffalse 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
7170adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
7271adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
73 eldif 3138 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴))
7422ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1)
7536nfeq1 2329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 = 1
7638eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 1 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1))
7775, 76rspc 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1 → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1))
7874, 77mpan9 281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1)
7973, 78sylan2br 288 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1)
8072, 79eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
8180expr 375 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → (¬ 𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
82 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐴𝑚𝐴))
8382dcbid 838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑚𝐴))
847adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝐵) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
855sselda 3155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝐵) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
8683, 84, 85rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝐵) → DECID 𝑚𝐴)
87 exmiddc 836 . . . . . . . . . . . 12 (DECID 𝑚𝐴 → (𝑚𝐴 ∨ ¬ 𝑚𝐴))
8886, 87syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → (𝑚𝐴 ∨ ¬ 𝑚𝐴))
8969, 81, 88mpjaod 718 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
9089, 17eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9190ex 115 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚𝐵 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
924ssneld 3157 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (¬ 𝑚𝐵 → ¬ 𝑚𝐴))
9392imp 124 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚𝐵) → ¬ 𝑚𝐴)
9493, 70syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
9544adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 1)
9694, 95eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9796ex 115 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
9891, 97jaod 717 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
9998adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
10015, 99mpd 13 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
10158, 100eqtr4d 2213 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1))
10218fmpttd 5671 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
103102ffvelcdmda 5651 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1041, 2, 3, 6, 7, 101, 103zproddc 11582 . . 3 (𝜑 → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))))
105 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → 𝑚𝐵)
106 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
107106fvmpts 5594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝐵𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
108105, 41, 107syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
109108ifeq1d 3551 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
110109ex 115 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
111 iffalse 3542 . . . . . . . . . 10 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
112111, 44eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
113112a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
114110, 113jaod 717 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
115114adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚𝐵 ∨ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)))
11615, 115mpd 13 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
11758, 116eqtr4d 2213 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1))
11834fmpttd 5671 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
119118ffvelcdmda 5651 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1201, 2, 3, 5, 11, 117, 119zproddc 11582 . . 3 (𝜑 → ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))))
121104, 120eqtr4d 2213 . 2 (𝜑 → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
12218ralrimiva 2550 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
123 prodfct 11590 . . 3 (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐶)
124122, 123syl 14 . 2 (𝜑 → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐶)
125 prodfct 11590 . . 3 (∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐵 𝐶)
12635, 125syl 14 . 2 (𝜑 → ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐵 𝐶)
127121, 124, 1263eqtr3d 2218 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  csb 3057  cdif 3126  wss 3129  ifcif 3534   class class class wbr 4003  cmpt 4064  cfv 5216  cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   · cmul 7815   # cap 8536  cz 9251  cuz 9526  seqcseq 10442  cli 11281  cprod 11553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-cj 10846  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-proddc 11554
This theorem is referenced by:  fprodssdc  11593
  Copyright terms: Public domain W3C validator