Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodntrivap GIF version

Theorem fprodntrivap 11463
 Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodntriv.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fprodntriv.2 (𝜑𝑁𝑍)
fprodntriv.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fprodntrivap (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem fprodntrivap
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodntriv.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
2 fprodntriv.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2eleqtrdi 2250 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 peano2uz 9477 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
53, 4syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
65, 2eleqtrrdi 2251 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
7 1ap0 8448 . . 3 1 # 0
8 eqid 2157 . . . 4 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
9 eluzelz 9431 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
109, 2eleq2s 2252 . . . . . 6 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
111, 10syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1211peano2zd 9272 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
13 seqex 10328 . . . . 5 seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V
1413a1i 9 . . . 4 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V)
15 1cnd 7877 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
17 fprodntriv.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
1817ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
1911ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2019zred 9269 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2119peano2zd 9272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2221zred 9269 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
23 elfzelz 9910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ ℤ)
2423adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
2524zred 9269 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
2620ltp1d 8784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
27 elfzle1 9911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
2827adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
2920, 22, 25, 26, 28ltletrd 8281 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < 𝑚)
30 zltnle 9196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑁))
3119, 24, 30syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑁))
3229, 31mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚𝑁)
3332intnand 917 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ (𝑀𝑚𝑚𝑁))
3433intnand 917 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑚𝑚𝑁)))
35 elfz2 9901 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑚𝑚𝑁)))
3634, 35sylnibr 667 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁))
3718, 36ssneldd 3131 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚𝐴)
3837iffalsed 3515 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) = 1)
396ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
40 elfzuz 9906 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
4140adantl 275 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
422uztrn2 9439 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚𝑍)
4339, 41, 42syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚𝑍)
44 ax-1cn 7808 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
4538, 44eqeltrdi 2248 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
46 nfcv 2299 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚
47 nfv 1508 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑚𝐴
48 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
49 nfcv 2299 . . . . . . . . . 10 𝑘1
5047, 48, 49nfif 3533 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1)
51 eleq1w 2218 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
52 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
5351, 52ifbieq1d 3527 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
54 eqid 2157 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)) = (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
5546, 50, 53, 54fvmptf 5557 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑍 ∧ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
5643, 45, 55syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
57 1ex 7856 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
5857fvconst2 5680 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
5941, 58syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
6038, 56, 593eqtr4d 2200 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚))
616ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
62 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
632uztrn2 9439 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑝𝑍)
6461, 62, 63syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑝𝑍)
6517ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
6611ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
6766zred 9269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
68 peano2re 7994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
70 eluzelz 9431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑝 ∈ ℤ)
7170adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑝 ∈ ℤ)
7271zred 9269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑝 ∈ ℝ)
7367ltp1d 8784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
74 eluzle 9434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑝)
7574adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑝)
7667, 69, 72, 73, 75ltletrd 8281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < 𝑝)
77 zltnle 9196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
7866, 71, 77syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
7976, 78mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑝𝑁)
8079intnand 917 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ (𝑀𝑝𝑝𝑁))
8180intnand 917 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑝𝑝𝑁)))
82 elfz2 9901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑝𝑝𝑁)))
8381, 82sylnibr 667 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑀...𝑁))
8465, 83ssneldd 3131 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑝𝐴)
8584iffalsed 3515 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1) = 1)
8685, 44eqeltrdi 2248 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
87 nfcv 2299 . . . . . . . . 9 𝑘𝑝
88 nfv 1508 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑝𝐴
89 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑝 / 𝑘𝐵
9088, 89, 49nfif 3533 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1)
91 eleq1w 2218 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑝 → (𝑘𝐴𝑝𝐴))
92 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑝𝐵 = 𝑝 / 𝑘𝐵)
9391, 92ifbieq1d 3527 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑝 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1))
9487, 90, 93, 54fvmptf 5557 . . . . . . . 8 ((𝑝𝑍 ∧ if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑝) = if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1))
9564, 86, 94syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑝) = if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1))
9695, 86eqeltrd 2234 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑝) ∈ ℂ)
9757fvconst2 5680 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑝) = 1)
9897adantl 275 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑝) = 1)
9998, 44eqeltrdi 2248 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑝) ∈ ℂ)
100 mulcl 7842 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (𝑝 · 𝑞) ∈ ℂ)
101100adantl 275 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ ℂ)
10216, 60, 96, 99, 101seq3fveq 10352 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛))
1038prodf1 11421 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
104103adantl 275 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
105102, 104eqtrd 2190 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = 1)
1068, 12, 14, 15, 105climconst 11169 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)
107 breq1 3968 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (𝑦 # 0 ↔ 1 # 0))
108 breq2 3969 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1))
109107, 108anbi12d 465 . . . 4 (𝑦 = 1 → ((𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (1 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)))
11057, 109spcev 2807 . . 3 ((1 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1) → ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
1117, 106, 110sylancr 411 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
112 seqeq1 10329 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) = seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))))
113112breq1d 3975 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
114113anbi2d 460 . . . 4 (𝑛 = (𝑁 + 1) → ((𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
115114exbidv 1805 . . 3 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
116115rspcev 2816 . 2 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
1176, 111, 116syl2anc 409 1 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1335  ∃wex 1472   ∈ wcel 2128  ∃wrex 2436  Vcvv 2712  ⦋csb 3031   ⊆ wss 3102  ifcif 3505  {csn 3560   class class class wbr 3965   ↦ cmpt 4025   × cxp 4581  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℂcc 7713  ℝcr 7714  0cc0 7715  1c1 7716   + caddc 7718   · cmul 7720   < clt 7895   ≤ cle 7896   # cap 8439  ℤcz 9150  ℤ≥cuz 9422  ...cfz 9894  seqcseq 10326   ⇝ cli 11157 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-rp 9543  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158 This theorem is referenced by:  fprodssdc  11469
 Copyright terms: Public domain W3C validator