Theorem fprodntrivap 11547

Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodntriv.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fprodntriv.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
fprodntriv.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fprodntrivap	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem fprodntrivap

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodntriv.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
2		fprodntriv.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleqtrdi 2263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		peano2uz 9542	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	5, 2	eleqtrrdi 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
7		1ap0 8509	. . 3 ⊢ 1 # 0
8		eqid 2170	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
9		eluzelz 9496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9, 2	eleq2s 2265	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 9337	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
13		seqex 10403	. . . . 5 ⊢ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V)
15		1cnd 7936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
17		fprodntriv.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
18	17	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
19	11	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℝ)
21	19	peano2zd 9337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
22	21	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
23		elfzelz 9981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	23	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
25	24	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
26	20	ltp1d 8846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
27		elfzle1 9983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
28	27	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
29	20, 22, 25, 26, 28	ltletrd 8342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < 𝑚)
30		zltnle 9258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁))
31	19, 24, 30	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁))
32	29, 31	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ≤ 𝑁)
33	32	intnand 926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ (𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑁))
34	33	intnand 926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑁)))
35		elfz2 9972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑁)))
36	34, 35	sylnibr 672	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁))
37	18, 36	ssneldd 3150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
38	37	iffalsed 3536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1) = 1)
39	6	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
40		elfzuz 9977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
41	40	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
42	2	uztrn2 9504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ 𝑍)
43	39, 41, 42	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
44		ax-1cn 7867	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
45	38, 44	eqeltrdi 2261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ)
46		nfcv 2312	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
47		nfv 1521	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
48		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
49		nfcv 2312	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘1
50	47, 48, 49	nfif 3554	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1)
51		eleq1w 2231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
52		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
53	51, 52	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1))
54		eqid 2170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
55	46, 50, 53, 54	fvmptf 5588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1))
56	43, 45, 55	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1))
57		1ex 7915	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
58	57	fvconst2 5712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
59	41, 58	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
60	38, 56, 59	3eqtr4d 2213	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚))
61	6	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
62		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
63	2	uztrn2 9504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑝 ∈ 𝑍)
64	61, 62, 63	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑝 ∈ 𝑍)
65	17	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
66	11	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
67	66	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
68		peano2re 8055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
70		eluzelz 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → 𝑝 ∈ ℤ)
71	70	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑝 ∈ ℤ)
72	71	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑝 ∈ ℝ)
73	67	ltp1d 8846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
74		eluzle 9499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑝)
75	74	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑝)
76	67, 69, 72, 73, 75	ltletrd 8342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < 𝑝)
77		zltnle 9258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
78	66, 71, 77	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
79	76, 78	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)
80	79	intnand 926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ¬ (𝑀 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁))
81	80	intnand 926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)))
82		elfz2 9972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)))
83	81, 82	sylnibr 672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑀...𝑁))
84	65, 83	ssneldd 3150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑝 ∈ 𝐴)
85	84	iffalsed 3536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → if(𝑝 ∈ 𝐴, ⦋𝑝 / 𝑘⦌𝐵, 1) = 1)
86	85, 44	eqeltrdi 2261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → if(𝑝 ∈ 𝐴, ⦋𝑝 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ)
87		nfcv 2312	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑝
88		nfv 1521	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑝 ∈ 𝐴
89		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑝 / 𝑘⦌𝐵
90	88, 89, 49	nfif 3554	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑝 ∈ 𝐴, ⦋𝑝 / 𝑘⦌𝐵, 1)
91		eleq1w 2231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑝 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑝 ∈ 𝐴))
92		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑝 → 𝐵 = ⦋𝑝 / 𝑘⦌𝐵)
93	91, 92	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑝 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑝 ∈ 𝐴, ⦋𝑝 / 𝑘⦌𝐵, 1))
94	87, 90, 93, 54	fvmptf 5588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∧ if(𝑝 ∈ 𝐴, ⦋𝑝 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))‘𝑝) = if(𝑝 ∈ 𝐴, ⦋𝑝 / 𝑘⦌𝐵, 1))
95	64, 86, 94	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))‘𝑝) = if(𝑝 ∈ 𝐴, ⦋𝑝 / 𝑘⦌𝐵, 1))
96	95, 86	eqeltrd 2247	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))‘𝑝) ∈ ℂ)
97	57	fvconst2 5712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑝) = 1)
98	97	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑝) = 1)
99	98, 44	eqeltrdi 2261	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑝) ∈ ℂ)
100		mulcl 7901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (𝑝 · 𝑞) ∈ ℂ)
101	100	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ ℂ)
102	16, 60, 96, 99, 101	seq3fveq 10427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛))
103	8	prodf1 11505	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
104	103	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
105	102, 104	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = 1)
106	8, 12, 14, 15, 105	climconst 11253	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)
107		breq1 3992	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦 # 0 ↔ 1 # 0))
108		breq2 3993	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1))
109	107, 108	anbi12d 470	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (1 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)))
110	57, 109	spcev 2825	. . 3 ⊢ ((1 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1) → ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
111	7, 106, 110	sylancr 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
112		seqeq1 10404	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) = seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))))
113	112	breq1d 3999	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
114	113	anbi2d 461	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → ((𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
115	114	exbidv 1818	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
116	115	rspcev 2834	. 2 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
117	6, 111, 116	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449  Vcvv 2730  ⦋csb 3049   ⊆ wss 3121  ifcif 3526  {csn 3583   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050   × cxp 4609  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   ≤ cle 7955   # cap 8500  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965  seqcseq 10401   ⇝ cli 11241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242

This theorem is referenced by:  fprodssdc  11553