ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodntrivap GIF version

Theorem fprodntrivap 11576
Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodntriv.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fprodntriv.2 (𝜑𝑁𝑍)
fprodntriv.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fprodntrivap (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem fprodntrivap
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodntriv.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
2 fprodntriv.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2eleqtrdi 2270 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 peano2uz 9572 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
53, 4syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
65, 2eleqtrrdi 2271 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
7 1ap0 8537 . . 3 1 # 0
8 eqid 2177 . . . 4 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
9 eluzelz 9526 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
109, 2eleq2s 2272 . . . . . 6 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
111, 10syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1211peano2zd 9367 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
13 seqex 10433 . . . . 5 seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V
1413a1i 9 . . . 4 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V)
15 1cnd 7964 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
17 fprodntriv.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
1817ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
1911ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2019zred 9364 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2119peano2zd 9367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2221zred 9364 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
23 elfzelz 10011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ ℤ)
2423adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
2524zred 9364 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
2620ltp1d 8876 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
27 elfzle1 10013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
2827adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
2920, 22, 25, 26, 28ltletrd 8370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < 𝑚)
30 zltnle 9288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑁))
3119, 24, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑁))
3229, 31mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚𝑁)
3332intnand 931 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ (𝑀𝑚𝑚𝑁))
3433intnand 931 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑚𝑚𝑁)))
35 elfz2 10002 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑚𝑚𝑁)))
3634, 35sylnibr 677 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁))
3718, 36ssneldd 3158 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚𝐴)
3837iffalsed 3544 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) = 1)
396ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
40 elfzuz 10007 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
4140adantl 277 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
422uztrn2 9534 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚𝑍)
4339, 41, 42syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚𝑍)
44 ax-1cn 7895 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
4538, 44eqeltrdi 2268 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
46 nfcv 2319 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚
47 nfv 1528 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑚𝐴
48 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
49 nfcv 2319 . . . . . . . . . 10 𝑘1
5047, 48, 49nfif 3562 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1)
51 eleq1w 2238 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
52 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
5351, 52ifbieq1d 3556 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
54 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)) = (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
5546, 50, 53, 54fvmptf 5604 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑍 ∧ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
5643, 45, 55syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
57 1ex 7943 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
5857fvconst2 5728 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
5941, 58syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
6038, 56, 593eqtr4d 2220 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚))
616ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
62 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
632uztrn2 9534 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑝𝑍)
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑝𝑍)
6517ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
6611ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
6766zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
68 peano2re 8083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
70 eluzelz 9526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑝 ∈ ℤ)
7170adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑝 ∈ ℤ)
7271zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑝 ∈ ℝ)
7367ltp1d 8876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
74 eluzle 9529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑝)
7574adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑝)
7667, 69, 72, 73, 75ltletrd 8370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < 𝑝)
77 zltnle 9288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
7866, 71, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
7976, 78mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑝𝑁)
8079intnand 931 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ (𝑀𝑝𝑝𝑁))
8180intnand 931 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑝𝑝𝑁)))
82 elfz2 10002 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑝𝑝𝑁)))
8381, 82sylnibr 677 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑀...𝑁))
8465, 83ssneldd 3158 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑝𝐴)
8584iffalsed 3544 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1) = 1)
8685, 44eqeltrdi 2268 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
87 nfcv 2319 . . . . . . . . 9 𝑘𝑝
88 nfv 1528 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑝𝐴
89 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑝 / 𝑘𝐵
9088, 89, 49nfif 3562 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1)
91 eleq1w 2238 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑝 → (𝑘𝐴𝑝𝐴))
92 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑝𝐵 = 𝑝 / 𝑘𝐵)
9391, 92ifbieq1d 3556 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑝 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1))
9487, 90, 93, 54fvmptf 5604 . . . . . . . 8 ((𝑝𝑍 ∧ if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑝) = if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1))
9564, 86, 94syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑝) = if(𝑝𝐴, 𝑝 / 𝑘𝐵, 1))
9695, 86eqeltrd 2254 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑝) ∈ ℂ)
9757fvconst2 5728 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑝) = 1)
9897adantl 277 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑝) = 1)
9998, 44eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑝 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑝) ∈ ℂ)
100 mulcl 7929 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (𝑝 · 𝑞) ∈ ℂ)
101100adantl 277 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ ℂ)
10216, 60, 96, 99, 101seq3fveq 10457 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛))
1038prodf1 11534 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
104103adantl 277 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
105102, 104eqtrd 2210 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = 1)
1068, 12, 14, 15, 105climconst 11282 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)
107 breq1 4003 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (𝑦 # 0 ↔ 1 # 0))
108 breq2 4004 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1))
109107, 108anbi12d 473 . . . 4 (𝑦 = 1 → ((𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (1 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)))
11057, 109spcev 2832 . . 3 ((1 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1) → ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
1117, 106, 110sylancr 414 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
112 seqeq1 10434 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) = seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))))
113112breq1d 4010 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
114113anbi2d 464 . . . 4 (𝑛 = (𝑁 + 1) → ((𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
115114exbidv 1825 . . 3 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
116115rspcev 2841 . 2 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
1176, 111, 116syl2anc 411 1 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wrex 2456  Vcvv 2737  csb 3057  wss 3129  ifcif 3534  {csn 3591   class class class wbr 4000  cmpt 4061   × cxp 4621  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983   # cap 8528  cz 9242  cuz 9517  ...cfz 9995  seqcseq 10431  cli 11270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271
This theorem is referenced by:  fprodssdc  11582
  Copyright terms: Public domain W3C validator