ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodntrivap GIF version

Theorem fprodntrivap 11611
Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodntriv.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
fprodntriv.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
fprodntriv.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ (๐‘€...๐‘))
Assertion
Ref Expression
fprodntrivap (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ฆ,๐‘˜,๐‘›)   ๐‘(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodntrivap
Dummy variables ๐‘š ๐‘ ๐‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodntriv.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
2 fprodntriv.1 . . . . 5 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
31, 2eleqtrdi 2282 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4 peano2uz 9602 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
53, 4syl 14 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
65, 2eleqtrrdi 2283 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘)
7 1ap0 8566 . . 3 1 # 0
8 eqid 2189 . . . 4 (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))
9 eluzelz 9556 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
109, 2eleq2s 2284 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
111, 10syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1211peano2zd 9397 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
13 seqex 10466 . . . . 5 seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โˆˆ V
1413a1i 9 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โˆˆ V)
15 1cnd 7992 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
16 simpr 110 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)))
17 fprodntriv.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ (๐‘€...๐‘))
1817ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐ด โІ (๐‘€...๐‘))
1911ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2019zred 9394 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2119peano2zd 9397 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
2221zred 9394 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
23 elfzelz 10044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
2423adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
2524zred 9394 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
2620ltp1d 8906 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
27 elfzle1 10046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ๐‘š)
2827adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ๐‘š)
2920, 22, 25, 26, 28ltletrd 8399 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘ < ๐‘š)
30 zltnle 9318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ < ๐‘š โ†” ยฌ ๐‘š โ‰ค ๐‘))
3119, 24, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ < ๐‘š โ†” ยฌ ๐‘š โ‰ค ๐‘))
3229, 31mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ ๐‘š โ‰ค ๐‘)
3332intnand 932 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ (๐‘€ โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š โ‰ค ๐‘))
3433intnand 932 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š โ‰ค ๐‘)))
35 elfz2 10034 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š โ‰ค ๐‘)))
3634, 35sylnibr 678 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ ๐‘š โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3718, 36ssneldd 3173 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ ๐‘š โˆˆ ๐ด)
3837iffalsed 3559 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = 1)
396ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘)
40 elfzuz 10040 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›) โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)))
4140adantl 277 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)))
422uztrn2 9564 . . . . . . . . 9 (((๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘)
4339, 41, 42syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘)
44 ax-1cn 7923 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
4538, 44eqeltrdi 2280 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
46 nfcv 2332 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜๐‘š
47 nfv 1539 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘š โˆˆ ๐ด
48 nfcsb1v 3105 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต
49 nfcv 2332 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜1
5047, 48, 49nfif 3577 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
51 eleq1w 2250 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘š โˆˆ ๐ด))
52 csbeq1a 3081 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
5351, 52ifbieq1d 3571 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
54 eqid 2189 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
5546, 50, 53, 54fvmptf 5624 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ ๐‘ โˆง if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘š) = if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
5643, 45, 55syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘š) = if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
57 1ex 7971 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ V
5857fvconst2 5748 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1})โ€˜๐‘š) = 1)
5941, 58syl 14 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1})โ€˜๐‘š) = 1)
6038, 56, 593eqtr4d 2232 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘š) = (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1})โ€˜๐‘š))
616ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘)
62 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)))
632uztrn2 9564 . . . . . . . . 9 (((๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
6517ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โІ (๐‘€...๐‘))
6611ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6766zred 9394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
68 peano2re 8112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
70 eluzelz 9556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7170adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7271zred 9394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
7367ltp1d 8906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
74 eluzle 9559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ๐‘)
7574adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ๐‘)
7667, 69, 72, 73, 75ltletrd 8399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘ < ๐‘)
77 zltnle 9318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ < ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ โ‰ค ๐‘))
7866, 71, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘ < ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ โ‰ค ๐‘))
7976, 78mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ โ‰ค ๐‘)
8079intnand 932 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ยฌ (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘))
8180intnand 932 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ยฌ ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘)))
82 elfz2 10034 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘)))
8381, 82sylnibr 678 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
8465, 83ssneldd 3173 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐ด)
8584iffalsed 3559 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = 1)
8685, 44eqeltrdi 2280 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
87 nfcv 2332 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜๐‘
88 nfv 1539 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘ โˆˆ ๐ด
89 nfcsb1v 3105 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต
9088, 89, 49nfif 3577 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
91 eleq1w 2250 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ โˆˆ ๐ด))
92 csbeq1a 3081 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
9391, 92ifbieq1d 3571 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
9487, 90, 93, 54fvmptf 5624 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
9564, 86, 94syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
9695, 86eqeltrd 2266 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
9757fvconst2 5748 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1})โ€˜๐‘) = 1)
9897adantl 277 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1})โ€˜๐‘) = 1)
9998, 44eqeltrdi 2280 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1})โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
100 mulcl 7957 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„‚)
101100adantl 277 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„‚)
10216, 60, 96, 99, 101seq3fveq 10490 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))โ€˜๐‘›) = (seq(๐‘ + 1)( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1}))โ€˜๐‘›))
1038prodf1 11569 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1}))โ€˜๐‘›) = 1)
104103adantl 277 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1}))โ€˜๐‘›) = 1)
105102, 104eqtrd 2222 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))โ€˜๐‘›) = 1)
1068, 12, 14, 15, 105climconst 11317 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ 1)
107 breq1 4021 . . . . 5 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (๐‘ฆ # 0 โ†” 1 # 0))
108 breq2 4022 . . . . 5 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ 1))
109107, 108anbi12d 473 . . . 4 (๐‘ฆ = 1 โ†’ ((๐‘ฆ # 0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (1 # 0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ 1)))
11057, 109spcev 2847 . . 3 ((1 # 0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
1117, 106, 110sylancr 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
112 seqeq1 10467 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))))
113112breq1d 4028 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ (seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
114113anbi2d 464 . . . 4 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ # 0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
115114exbidv 1836 . . 3 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
116115rspcev 2856 . 2 (((๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
1176, 111, 116syl2anc 411 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 980   = wceq 1364  โˆƒwex 1503   โˆˆ wcel 2160  โˆƒwrex 2469  Vcvv 2752  โฆ‹csb 3072   โІ wss 3144  ifcif 3549  {csn 3607   class class class wbr 4018   โ†ฆ cmpt 4079   ร— cxp 4639  โ€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7828  โ„cr 7829  0cc0 7830  1c1 7831   + caddc 7833   ยท cmul 7835   < clt 8011   โ‰ค cle 8012   # cap 8557  โ„คcz 9272  โ„คโ‰ฅcuz 9547  ...cfz 10027  seqcseq 10464   โ‡ cli 11305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-rp 9673  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-cj 10870  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306
This theorem is referenced by:  fprodssdc  11617
  Copyright terms: Public domain W3C validator