ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum3cvg2 GIF version

Theorem fsum3cvg2 11437
Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumsers.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
fsumsers.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fsum3cvg2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg2
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2332 . . . 4 𝑚if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)
2 nfv 1539 . . . . 5 𝑘 𝑚𝐴
3 nfcsb1v 3105 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
4 nfcv 2332 . . . . 5 𝑘0
52, 3, 4nfif 3577 . . . 4 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0)
6 eleq1w 2250 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
7 csbeq1a 3081 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
86, 7ifbieq1d 3571 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0))
91, 5, 8cbvmpt 4113 . . 3 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0))
10 fsumsers.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1110ralrimiva 2563 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
123nfel1 2343 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
137eleq1d 2258 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1412, 13rspc 2850 . . . 4 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1511, 14mpan9 281 . . 3 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
166dcbid 839 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → (DECID 𝑘𝐴DECID 𝑚𝐴))
17 fsumsers.dc . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
1817ralrimiva 2563 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝐴)
1918adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝐴)
20 simpr 110 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
2116, 19, 20rspcdva 2861 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐴)
22 fsumsers.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
23 fsumsers.4 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
249, 15, 21, 22, 23fsum3cvg 11421 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))) ⇝ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
25 eluzel2 9564 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2622, 25syl 14 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
27 fveq2 5534 . . . . 5 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
2827eleq1d 2258 . . . 4 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑥) ∈ ℂ))
29 fsumsers.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3010adantlr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
31 0cnd 7981 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
3230, 31, 17ifcldadc 3578 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
3329, 32eqeltrd 2266 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3433ralrimiva 2563 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3534adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
36 simpr 110 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
3728, 35, 36rspcdva 2861 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
38 eluzelz 9568 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
39 eqid 2189 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4039fvmpt2 5620 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4138, 32, 40syl2an2 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4229, 41eqtr4d 2225 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
4342ralrimiva 2563 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
44 nffvmpt1 5545 . . . . . 6 𝑘((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
4544nfeq2 2344 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
46 fveq2 5534 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
47 fveq2 5534 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
4846, 47eqeq12d 2204 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) ↔ (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
4945, 48rspc 2850 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) → (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
5043, 49mpan9 281 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
51 addcl 7967 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5251adantl 277 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5326, 37, 50, 52seq3feq 10505 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))))
5453fveq1d 5536 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
5524, 53, 543brtr4d 4050 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  csb 3072  wss 3144  ifcif 3549   class class class wbr 4018  cmpt 4079  cfv 5235  (class class class)co 5897  cc 7840  0cc0 7842   + caddc 7845  cz 9284  cuz 9559  ...cfz 10040  seqcseq 10478  cli 11321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-rp 9686  df-fz 10041  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322
This theorem is referenced by:  fsumsersdc  11438  fsum3cvg3  11439  ef0lem  11703
  Copyright terms: Public domain W3C validator