ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum3cvg2 GIF version

Theorem fsum3cvg2 11131
Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumsers.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
fsumsers.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fsum3cvg2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg2
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2258 . . . 4 𝑚if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)
2 nfv 1493 . . . . 5 𝑘 𝑚𝐴
3 nfcsb1v 3005 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
4 nfcv 2258 . . . . 5 𝑘0
52, 3, 4nfif 3470 . . . 4 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0)
6 eleq1w 2178 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
7 csbeq1a 2983 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
86, 7ifbieq1d 3464 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0))
91, 5, 8cbvmpt 3993 . . 3 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0))
10 fsumsers.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1110ralrimiva 2482 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
123nfel1 2269 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
137eleq1d 2186 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1412, 13rspc 2757 . . . 4 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1511, 14mpan9 279 . . 3 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
166dcbid 808 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → (DECID 𝑘𝐴DECID 𝑚𝐴))
17 fsumsers.dc . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
1817ralrimiva 2482 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝐴)
1918adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝐴)
20 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
2116, 19, 20rspcdva 2768 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐴)
22 fsumsers.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
23 fsumsers.4 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
249, 15, 21, 22, 23fsum3cvg 11114 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))) ⇝ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
25 eluzel2 9299 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2622, 25syl 14 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
27 fveq2 5389 . . . . 5 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
2827eleq1d 2186 . . . 4 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑥) ∈ ℂ))
29 fsumsers.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3010adantlr 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
31 0cnd 7727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
3230, 31, 17ifcldadc 3471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
3329, 32eqeltrd 2194 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3433ralrimiva 2482 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3534adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
36 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
3728, 35, 36rspcdva 2768 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
38 eluzelz 9303 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
39 eqid 2117 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4039fvmpt2 5472 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4138, 32, 40syl2an2 568 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4229, 41eqtr4d 2153 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
4342ralrimiva 2482 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
44 nffvmpt1 5400 . . . . . 6 𝑘((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
4544nfeq2 2270 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
46 fveq2 5389 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
47 fveq2 5389 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
4846, 47eqeq12d 2132 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) ↔ (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
4945, 48rspc 2757 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) → (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
5043, 49mpan9 279 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
51 addcl 7713 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5251adantl 275 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5326, 37, 50, 52seq3feq 10213 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))))
5453fveq1d 5391 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
5524, 53, 543brtr4d 3930 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  DECID wdc 804   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  csb 2975  wss 3041  ifcif 3444   class class class wbr 3899  cmpt 3959  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  0cc0 7588   + caddc 7591  cz 9022  cuz 9294  ...cfz 9758  seqcseq 10186  cli 11015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-fz 9759  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016
This theorem is referenced by:  fsumsersdc  11132  fsum3cvg3  11133  ef0lem  11293
  Copyright terms: Public domain W3C validator