Theorem fsum3cvg2 12139

Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsers.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumsers.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
fsumsers.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fsum3cvg2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)
2		nfv 1581	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
3		nfcsb1v 3180	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
4		nfcv 2392	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0
5	2, 3, 4	nfif 3666	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0)
6		eleq1w 2299	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
7		csbeq1a 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
8	6, 7	ifbieq1d 3660	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0))
9	1, 5, 8	cbvmpt 4221	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0))
10		fsumsers.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
12	3	nfel1 2403	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
13	7	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	12, 13	rspc 2923	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
15	11, 14	mpan9 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	6	dcbid 850	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑚 ∈ 𝐴))
17		fsumsers.dc	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
18	17	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
20		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	16, 19, 20	rspcdva 2934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑚 ∈ 𝐴)
22		fsumsers.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		fsumsers.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
24	9, 15, 21, 22, 23	fsum3cvg 12123	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ⇝ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
25		eluzel2 9905	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	22, 25	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27		fveq2 5690	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
28	27	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ))
29		fsumsers.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
30	10	adantlr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		0cnd 8309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
32	30, 31, 17	ifcldadc 3667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
33	29, 32	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	33	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
35	34	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
37	28, 35, 36	rspcdva 2934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
38		eluzelz 9910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
39		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
40	39	fvmpt2 5783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
41	38, 32, 40	syl2an2 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
42	29, 41	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
43	42	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
44		nffvmpt1 5701	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
45	44	nfeq2 2404	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
46		fveq2 5690	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
47		fveq2 5690	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
48	46, 47	eqeq12d 2253	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
49	45, 48	rspc 2923	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
50	43, 49	mpan9 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
51		addcl 8294	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
52	51	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
53	26, 37, 50, 52	seq3feq 10895	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
54	53	fveq1d 5692	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
55	24, 53, 54	3brtr4d 4157	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ⦋csb 3147   ⊆ wss 3220  ifcif 3635   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169   + caddc 8172  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390  seqcseq 10862   ⇝ cli 12022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023

This theorem is referenced by:  fsumsersdc  12140  fsum3cvg3  12141  ef0lem  12405