Theorem fsum3cvg2 11401

Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsers.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumsers.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
fsumsers.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fsum3cvg2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2319	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)
2		nfv 1528	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
3		nfcsb1v 3090	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
4		nfcv 2319	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0
5	2, 3, 4	nfif 3562	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0)
6		eleq1w 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
7		csbeq1a 3066	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
8	6, 7	ifbieq1d 3556	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0))
9	1, 5, 8	cbvmpt 4098	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0))
10		fsumsers.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
12	3	nfel1 2330	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
13	7	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	12, 13	rspc 2835	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
15	11, 14	mpan9 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	6	dcbid 838	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑚 ∈ 𝐴))
17		fsumsers.dc	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
18	17	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
20		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	16, 19, 20	rspcdva 2846	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑚 ∈ 𝐴)
22		fsumsers.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		fsumsers.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
24	9, 15, 21, 22, 23	fsum3cvg 11385	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ⇝ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
25		eluzel2 9532	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	22, 25	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27		fveq2 5515	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
28	27	eleq1d 2246	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ))
29		fsumsers.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
30	10	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		0cnd 7949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
32	30, 31, 17	ifcldadc 3563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
33	29, 32	eqeltrd 2254	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	33	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
35	34	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
37	28, 35, 36	rspcdva 2846	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
38		eluzelz 9536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
39		eqid 2177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
40	39	fvmpt2 5599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
41	38, 32, 40	syl2an2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
42	29, 41	eqtr4d 2213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
43	42	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
44		nffvmpt1 5526	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
45	44	nfeq2 2331	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
46		fveq2 5515	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
47		fveq2 5515	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
48	46, 47	eqeq12d 2192	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
49	45, 48	rspc 2835	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
50	43, 49	mpan9 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
51		addcl 7935	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
52	51	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
53	26, 37, 50, 52	seq3feq 10471	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
54	53	fveq1d 5517	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
55	24, 53, 54	3brtr4d 4035	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ⦋csb 3057   ⊆ wss 3129  ifcif 3534   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  0cc0 7810   + caddc 7813  ℤcz 9252  ℤ_≥cuz 9527  ...cfz 10007  seqcseq 10444   ⇝ cli 11285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-fz 10008  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286

This theorem is referenced by:  fsumsersdc  11402  fsum3cvg3  11403  ef0lem  11667